江苏省苏州新草桥中学2020届九年级第二次模拟考试数学试卷

2019～2020学年第二学期新草桥中学初三二模试卷
数 学
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案填在答题卡相应位置上． 1．若分式
2
2
x -有意义，则x 应满足的条件是（▲）． A ．2x ≠ B ．2x = C ．0x = D ．2x ≥ 2．有一组数据：2、4、5、5、8，这组数据的中位数是（▲）． A ．2 B ．4 C ． 5 D ．8
3．据统计，截至2020年6月9日，中国境外累计确诊新冠肺炎人数约为710万。

710万
用科学记数法可表示为（▲）． A ．6
0.7110⨯
B ．6
7.110⨯
C ．5
7.110⨯
D ．6
7110⨯
4．如图，数轴上点A 表示的数为－2，点B 表示的数为m ，若原点O 为线段AB 的一个黄金分割点（AO ＞BO
），则点B 表示的数为（▲）． A
B
1 C
D
（第4题图）
5．抛物线()2
31y x =-+的顶点坐标是（▲）．
A ．()3,1-
B ．()3,1--
C ．()3,1-
D ．()3,1
6．将一副三角板(30)A ∠=︒按如图所示方式摆放，若//AB EF ，则1∠等于（▲）． A ．75︒
B ．90︒
C ．105︒
D ．115︒
（第6题图）
（第7题图）
7．如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是（▲）．
A ．49
B ．59
C ．15
D ．14
8．对于实数a 、b ，我们定义max {a ，b }表示a 、b 两数中较大的数，如max {2，5}＝5， max {3，3}＝3．则以x 为自变量的函数y ＝max {－x ＋3，2x －1}的最小值为（▲）． A ．－1
B ．3
C ．43
D ．53
9．如图，矩形 ABCD ，由①②③④四块小矩形拼成（四块小矩形放置是既不重叠，也无空隙），其中②②两块矩形全等，若要求出②②两块矩形的周长之和，则需知道（▲） A ．矩形ABCD 的周长 B ．矩形②的周长
C ．AB 的长
D ．BC 的长
（第9题图）
（第10题图）
10．如图，点O 是边长为
的等边△ABC 的内心，将△OBC 绕点O 逆时针旋转30°得到△OB 1C 1，B 1C 1交BC 于点D ，B 1C 1交AC 于点E ，则DE ＝（▲）
A ．2 B
．2 C
1 D
．3二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相应位置
上．
11．9的算术平方根是▲. 12．因式分解：24x -＝▲． 13．计算：53x x 的结果等于▲．
14．若一次函数24y x =+的图像经过点(2,)P n ，则n =▲．
15．如图，在菱形网格中，A 、B 、C 、D 为4个格点，若∠A ＝60°，则tan ∠BCD ＝▲． 16．如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，垂足为O ，若AB ＝3，BC ＝5，CD ＝6，则 AD ＝▲．
11
（第15题图）（第16题图）
17．如图，△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等三角形，AB＝AC＝6cm．BC＝4cm，将△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△D1B1C1，连接AC1，BD1．如果四边形ABD1C1是矩形，那么平移的距离为▲cm．
（第17题图）（第18题图）
18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，P为△ABC外以AB为直径的半圆上一动点，当点P从点A运动到点B时，线段CP的中点Q运动的路线长为▲．
三、解答题：本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时
应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
19．（本题满分5
分）计算：(
1tan602
︒-．
20．（本题满分5分）解不等式组：
123,
2
1.
4
x
x
x +<
⎧
⎪
⎨-
--⎪⎩
21．（本题满分6分）先化简，再求值：
35
2
242
a
a
a a
-⎛⎫
÷+-
⎪
--
⎝⎭
，其中
3
2
a=-．
A B C
D
A
B C
D O
1
B
A
22．（本题满分6分）如图，在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE AB ⊥于点E ，点F 在边CD 上，DF BE =，连接AF ，BF ． （1）求证：四边形EBFD 是矩形．
（2）若3AE =，4DE =，5DF =，求证：AF 平分DAB ∠．
23．（本题满分8分）某中学在艺术节期间向全校学生征集书画作品，美术王老师从全校随机抽取了四个班级记作A 、B 、C 、D ，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．
（1）王老师抽查的四个班级共征集到▲件作品； （2）请把图2的条形统计图补充完整；
（3）若全校参展作品中有三名同学获得一等奖，其中有一名男生、二名女生．现在要在其中抽两名同学去参加学校总结表彰座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生一名女生的概率．
24．（本题满分8分）某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需265元，购买3个篮球和2个足球共需445元.
（1）求每个篮球和每个足球的售价；
（2）如果学校计划购买这两种共40个，总费用不超过3650元，那么最多可购买多少个足球？
A
25．（本题满分8分）如图，反比例函数(0)k
y x x =>的图像与正比例函数3
2
y x =的图像交于点A ，且A 点的横坐标为2． （1）求反比例函数的表达式；
（2）若射线OA 上有点P ，且2PA OA =，过点P 作PM 与x 轴垂直，垂足为M ，交反比例函数图像于点B ，连接AB ，OB ，请求出OAB ∆的面积；
26．（本题满分10分）如图，四边形ABCE 内接于O ，AB 是O 的直径，点D 在AB 的延长线上，延长AE 交BC 的延长线于点F ，点C 是BF 的中点，2∠=∠BAF BCD ． （1）求证：CD 是O 的切线； （2）求证：CEF ∆是等腰三角形；
（3）若1BD =，2CD =，求cos CBA ∠的值及EF 的长．
27．（本题满分10分）如图1，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5 cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4 cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ．
（1）如图2，连接AQ 、CP ，若AQ ⊥CP ，求t 的值； （2）试证明：PQ 的中点在△ABC 的一条中位线上；
（3）若以PQ 为直径的⊙H 与△ABC 的边相切，求t 的值．
图1 图2
A
A
28．（本题满分10分）如图，直线3
y x
=+交x轴于点A，交y轴于点C，抛物线2
y ax bx c
=++经过A、C，与x轴交于另一点(1,0)
B，顶点为D．
（1）求抛物线对应函数表达式；
（2）过A点作射线AE交直线AC下方的抛物线上于点E，使45
DAE
∠=︒，求点E的坐标；
（3）作CG平行于x轴，交抛物线于点G，点H为线段CD上的点，点G关于∠GHC的
平分线的对称点为点M
，若-
HG HC，求点H坐标及三角形HGM的面积.
中考数学二模试卷参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．A 2．C3．B4．B 5．D6．C 7．A8．C9．D10．D 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．3 12．()()22x x +- 13．8x 14．8
15 16． 17．14 18．
52π
三、解答题（共10小题，共76分） 19．（本题5分）
原式1(2=+-1=
20．（本题5分）21x -≤≤ 数轴略
21．（本题6分）原式()()()322233--=
⋅-+-a a a a a ()
1
.
23=+a
当32a =-时，原式＝()11
.233
=+a
22．（本题6分）略
23．（本题8分）（1）12件（2）B 3件（3）2
3
=P
（本题8分）解：（1）设每个篮球和每个足球的售价分别为x 元，y 元，
根据题意得：2265
32445+=⎧⎨+=⎩x y x y ，
解得：85
95
=⎧⎨=⎩x y ，
则每个篮球和每个足球的售价分别为85元，95元； （2）设足球购买a 个，则篮球购买(40)-a 个， 根据题意得：9585(40)+-a a 3650，
整理得：10250a ， 解得：25a ，
则最多可购买25个足球． 25．（本题8分）解：（1）6
=
y x
（2）8=S 26．（本题10分）（1）证明：连接OC ，如图所示：
AB 是O 的直径，
90ACB ∴∠=︒， 90CAD ABC ∴∠+∠=︒， CE CB =， CAE CAB ∴∠=∠， BCD CAE ∠=∠， CAB BCD ∴∠=∠， OB OC =， OBC OCB ∴∠=∠， 90OCB BCD ∴∠+∠=︒， 90OCD ∴∠=︒， CD ∴是O 的切线；
（2）证明：
在ABC ∆和AFC ∆中， BAC CAE AC AC
ACB ACF ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ()ABC AFC ASA ∴∆≅∆， CB CF ∴=，
又CB CE =， CE CF ∴=．
CEF ∴∆是等腰三角形；
（3）解：BCD CAD ∠=∠，ADC CDB ∠=∠，
DCB DAC ∴∆∆∽，
∴CD AD AC
BD CD AB ==
， ∴
212
AD
=
， 4AD ∴=，
413AB AD BD ∴=-=-=．
在直角ACB ∆中，由勾股定理得到：222AC BC AB +=，即222433BC ⨯+=．
BC EC FC ∴===
cos BC CBA AB ∴∠=
AB 是圆O 的直径， BE AF ∴⊥，
2222AB AE BF EF ∴-=-，即222
23(3)EF EF --=-． 解得65
EF =
．
27．（本题10分）（1）作PD ⊥BC ，垂足为D ． 在Rt △BPD 中，BP ＝5t ，cos B ＝
4
5
，所以BD ＝BP cos B ＝4t ，PD ＝3t ． 当AQ ⊥CP 时，△ACQ ∽△CDP ．
所以AC CD QC PD =，即68443t
t t
-=．解得78t =．
图5 图6
（2）如图4，过PQ 的中点H 作BC 的垂线，垂足为F ，交AB 于E ． 由于H 是PQ 的中点，HF //PD ，所以F 是QD 的中点． 又因为BD ＝CQ ＝4t ，所以BF ＝CF ． 因此F 是BC 的中点，E 是AB 的中点．
所以PQ 的中点H 在△ABC 的中位线EF 上．
（3）如图7，当⊙H 与AB 相切时，QP ⊥AB ，就是BP BC BQ BA =
，32
41
t =． 如图8，当⊙H 与BC 相切时，PQ ⊥BC ，就是
BP BA
BQ BC
=
，t ＝1．
如图9，当⊙H 与AC 相切时，直径PQ ，
半径等于FC ＝48=．
解得128
73
t =
，或t ＝0（如图10，但是与已知0＜t ＜2矛盾）．
图7 图 8 图9 图10
28．（本题10分）解：（1）直线3y x =+交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，
∴点A 的坐标为(3,0)-，点C 的坐标为(0,3)．
∴抛物线的解析式为2
23y x x =--+．
（2）
2223(1)4y x x x =--+=-++，
∴点D的坐标为(1,4)
-．(3,0)
A -，(0,3)
C，
45 OAC OCA
∴∠=∠=︒
，AD
，CD
AC
222
AD CD AC
=+，
90
ACD
∴∠=︒，
1
tan
3
CD
DAC
AC
∠==．
在y轴上取点(0,1)
F，连接AF交抛物线与点E，如图1所示．
1
OF =，3
OA=，
1
tan tan
3
OAF DAC
∴∠==∠，
OAF DAC
∴∠=∠．
45
CAF OAF
∠+∠=︒，
45
DAF DAC CAF
∴∠=∠+∠=︒．
设直线AE的解析式为(0)
y kx d k
=+≠，
将(3,0)
A-、(0,1)
F代入y kx d
=+，得：
30
1
k d
d
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得：
1
3
1
k
d
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴直线AE的解析式为
1
1
3
y x
=+．
联立直线AE、抛物线的解析式成方程组，得：
2
1
1
3
23
y x
y x x
⎧
=+
⎪
⎨
⎪=--+
⎩
，
解得：1
1
3
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
2
2
2
3
11
9
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴点E的坐标为
2
(
3
，
11
)
9
．
（3）由题意得，点M在DC延长线上，过点M做MN垂直于y轴，
根据-=
HG HC
得=CM ()1,2M ，113,44⎛⎫- ⎪⎝⎭
H ，∆HGM 的面积=54
一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。

这位习惯观察思考的人，突然，对主人家地面上一块块漂亮的正方形大理石感兴趣。

他没有心思听别人闲聊，沉思于脚下排列规则，大小如一的大理石彼此间产生的数的关系中。

他越想越兴奋，完全被自己的思考迷住，索性蹲到地上，拿出笔尺。

在4块大理石拼成的大正方上，均以每块大理石的对角线为边，画出一个新的正方形，他发现这个正方形的面积正好等于2块大理石的面积;他又以2块大理石组成的矩形对角线为边，画成一个更大的正方形，而这个正方形正好等于5块大理石的面积。

于是，毕达哥拉斯根据自己的推算得出结果：直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和。

著名的毕达哥拉斯定理就这样产生了。

清除页眉横线的步骤：点击--插入--页眉页脚--页眉页脚选项，把显示奇数页页眉横线
（B)的勾去掉.。