2022-2023学年广东省湛江市高二(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年广东省湛江市高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集U ＝{0，1，2，4，6，8}，集合M ＝{0，4，6}，N ＝{0，1，6}，则M ∪∁U N ＝（ ） A ．{0，2，4，6，8} B ．{0，1，4，6，8} C ．{1，2，4，6，8} D ．U 2．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a +2i 与1+bi 互为共轭复数，则b ＝（ ） A ．1
B ．﹣1
C ．2
D ．﹣2
3．已知θ是第二象限角，sin(θ+π
4)=3
5，则tan θ＝（ ） A ．−34
B ．−43
C ．−17
D ．﹣7
4．圆台的上、下底面半径分别是r ＝1，R ＝4，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是（ ） A ．30π
B ．28π
C ．25π
D ．24π
5．已知a →
=(1，2，−y)，b →
=(x ，1，2)，且(a →
+2b →
)∥(2a →
−b →
)，则（ ） A ．x =13
，y =1
B ．x =12
，y =−4
C ．x =2，y =−14
D ．x ＝1，y ＝﹣1
6．有一组样本数据如下：
56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98 则其25%分位数、中位数与75%分位数分别为（ ） A ．65，76，82
B ．66，74，82
C ．66，76，79
D ．66，76，82
7．已知x 2+y 2+2kx ﹣4y +k 2+k ﹣2＝0表示的曲线是圆，则k 的值为（ ） A ．（6，+∞）
B ．[﹣6，+∞）
C ．（﹣∞，6）
D ．（﹣∞，6]
8．已知函数f(x)=x 2+1
4
，g （x ）＝sin x ，则图象为如图的函数可能是（ ）
A ．y ＝f （x ）g （x ）
B ．y =g(x)
f(x)
C ．y =f(x)+g(x)−1
4
D ．y =f(x)−g(x)−1
4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．对于抛物线上1
8
x 2=y ，下列描述正确的是（ ）
A ．开口向上，焦点为（0，2）
B ．开口向上，焦点为(0，116
)
C ．焦点到准线的距离为4
D ．准线方程为y ＝﹣4
10．下列命题是真命题的有（ ）
A ．A ，
B ，M ，N 是空间四点，若BA →
，BM →
，BN →
不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面 B ．直线l 的方向向量为a →
=(⬚)，直线m 的方向向量为b →
=(2，1，−1
2)，则l 与m 垂直
C ．直线l 的方向向量为a →
=(⬚)，平面α的法向量为n →
=(⬚)，则l ⊥α
D ．平面α经过三点A(1，0，−1)，B(0，1，0)，C(−1，2，0)，n →
=(1，u ，t)是平面α的法向量，则u +t ＝1
11．有一散点图如图所示，在5个（x ，y ）数据中去掉D （3，10）后，下列说法中正确的是（ ）
A ．残差平方和变小
B ．相关系数r 变小
C ．决定系数R 2变小
D ．解释变量x 与响应变量y 的相关性变强
12．若函数y ＝f （x ）的图象上至少存在两点，使得函数的图象在两点处的切线互相平行，则称y ＝f （x ）为R 函数，则下列函数可称为R 函数的有（ ） A ．f （x ）＝x 2+sin x B ．f （x ）＝x 2lnx
C ．f(x)=e x −x 3
3
D ．f(x)=cosx
e x
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（2x −1
x ）6的展开式中x 2的系数为 ．
14．有两台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为5%，第二台加工的次品率为4%，加工出来的零件混放在一起，已知第一、二台车床加工的零件数分别占总数40%，60%，从中任取一件产品，则
该产品是次品的概率是 ．
15．数列{a n }中，a 1＝2，a n +1+2a n ＝0，若其前k 项和为86，则k ＝ ．
16．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b
2=1（a ＞0，b ＞0）经过点P(3√5
2，2)，双曲线C 的离心率为53，则双曲线C 的
焦点到其渐近线的距离为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知在△ABC 中，cosA =√6
3
，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．
（1）求tan2A ； （2）若sin(π
2
+B)=
2√2
3
，c =2√2，求△ABC 的面积． 18．（12分）已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 3，a 9成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）数列{b n }满足b 1=12，1b n −1b n−1
=a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．
19．（12分）如图①，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3．D 、E 分别是AC 、BC 上的点，且满足DE ∥AB ．将△CDE 沿DE 折起，得到如图②所示的四棱锥P ﹣ABED ． （1）设平面ABP ∩平面DEP ＝l ，证明：l ⊥面ADP ；
（2）若P A =√5，DE ＝2．求直线PD 与平面PEB 所成角的正弦值．
20．（12分）已知函数f （x ）＝e x +ax （a ∈R ，e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性； （Ⅱ）求函数f （x ）的极值的最大值．
21．（12分）甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为3
5
，若乙发球，则甲得分的概率为1
3
．该局比赛甲乙依次轮换发球权（甲先发球），每人发两球后轮到
对方进行发球．
（1）求在前4球中，甲领先的概率；
（2）12球过后，双方战平（6：6），已知继续对战奇数球后，甲率先取得11分获得胜利（获胜要求净胜2分及以上）．设净胜分为X （甲，乙的得分之差），求X 的分布列．
22．（12分）已知椭圆C ：
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M （0，2）是椭圆C 的
一个顶点，△F 1MF 2是等腰直角三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1+k 2＝8，证明：直线AB 过定点．
2022-2023学年广东省湛江市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集U ＝{0，1，2，4，6，8}，集合M ＝{0，4，6}，N ＝{0，1，6}，则M ∪∁U N ＝（ ） A ．{0，2，4，6，8} B ．{0，1，4，6，8} C ．{1，2，4，6，8} D ．U 解：由于∁U N ＝{2，4，8}，所以M ∪∁U N ＝{0，2，4，6，8}． 故选：A ．
2．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a +2i 与1+bi 互为共轭复数，则b ＝（ ） A ．1
B ．﹣1
C ．2
D ．﹣2
解：∵a +2i 与1+bi 互为共轭复数，∴{a =1
b =−2．
故选：D ．
3．已知θ是第二象限角，sin(θ+π
4)=3
5，则tan θ＝（ ） A ．−3
4
B ．−4
3
C ．−1
7
D ．﹣7
解：∵θ是第二象限角，sin(θ+π4
)=35
， ∴cos(θ+π4)=−√1−sin 2(θ+π4)=−45
，
∴tan(θ+π4)=sin(θ+π4)cos(θ+π4)=3
5−
45
=−34． ∵tan(θ+π4)=tanθ+tan π4
1−tanθ⋅tan π4=1+tanθ1−tanθ
=−34， ∴tan θ＝﹣7． 故选：D ．
4．圆台的上、下底面半径分别是r ＝1，R ＝4，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是（ ） A ．30π
B ．28π
C ．25π
D ．24π
解：∵圆台的上、下底面半径分别是r ＝1，R ＝4，且圆台的母线长为5， ∴该圆台的高h =√52−(4−1)2=4，
∴该圆台的体积为：V =13πℎ（r 2+rR +R 2）=1
3π×4×（1+4+16）＝28π． 故选：B ．
5．已知a →
=(1，2，−y)，b →
=(x ，1，2)，且(a →
+2b →
)∥(2a →
−b →
)，则（ ）
A ．x =13
，y =1
B ．x =12
，y =−4
C ．x =2，y =−14
D ．x ＝1，y ＝﹣1
解：∵a →
=(1，2，−y)，b →
=(x ，1，2)
∴a →
+2b →
=（1+2x ，4，4﹣y ），2a →
−b →
=（2﹣x ，3，﹣2y ﹣2）， ∵(a →
+2b →
)∥(2a →
−b →
)， ∴
1+2x 2−x
=
43
=
4−y
−2y−2
，解得x =1
2，y =−4
故选：B ．
6．有一组样本数据如下：
56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98 则其25%分位数、中位数与75%分位数分别为（ ） A ．65，76，82
B ．66，74，82
C ．66，76，79
D ．66，76，82
解：因为25%×22＝5.5，所以样本数据的25%分位数为第六个数据即66； 中位数为：
76+762
=76，
因为75%×22＝16.5，所以样本数据的75%分位数为第十七个数据即82． 故选：D ．
7．已知x 2+y 2+2kx ﹣4y +k 2+k ﹣2＝0表示的曲线是圆，则k 的值为（ ） A ．（6，+∞）
B ．[﹣6，+∞）
C ．（﹣∞，6）
D ．（﹣∞，6]
解：由方程x 2+y 2+2kx ﹣4y +k 2+k ﹣2＝0可得（x +k ）2+（y ﹣2）2＝6﹣k ， 所以当r =√6−k ＞0时表示圆，解得k ＜6． 故选：C ．
8．已知函数f(x)=x 2+1
4
，g （x ）＝sin x ，则图象为如图的函数可能是（ ）
A ．y ＝f （x ）g （x ）
B ．y =g(x)
f(x)
C ．y =f(x)+g(x)−14
D ．y =f(x)−g(x)−14
解：易知函数f(x)=x 2+14是偶函数，g （x ）＝sin x 是奇函数，给出的图象对应的函数是奇函数，
对于A ，因为y ＝f （x ）g （x ）＝（x 2+14）sin x ，y ′＝2x sin x +（x 2+14
）cos x ，
当x ∈（0，π
2
）时，y ′＞0，函数y ＝f （x ）g （x ）单调递增，由图象可知所求函数在（0，π
4
）上不单调，
故A 不符合题意；
对于C ，y ＝f （x ）+g （x ）−1
4=x 2+sin x 为非奇非偶函数，故C 不符合题意； 对于D ，y ＝f （x ）﹣g （x ）−14=x 2﹣sin x 为非奇非偶函数，故C 不符合题意． 故选：B ．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．对于抛物线上1
8x 2=y ，下列描述正确的是（ ）
A ．开口向上，焦点为（0，2）
B ．开口向上，焦点为(0，116
)
C ．焦点到准线的距离为4
D ．准线方程为y ＝﹣4
解：∵抛物线的方程可化为x 2＝8y ，
∴抛物线的开口向上，焦点坐标为（0，2），焦点到准线的距离为4，准线方程为y ＝﹣2． 故选：AC ．
10．下列命题是真命题的有（ ）
A ．A ，
B ，M ，N 是空间四点，若BA →
，BM →
，BN →
不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面 B ．直线l 的方向向量为a →
=(⬚)，直线m 的方向向量为b →
=(2，1，−1
2)，则l 与m 垂直
C ．直线l 的方向向量为a →
=(⬚)，平面α的法向量为n →
=(⬚)，则l ⊥α
D ．平面α经过三点A(1，0，−1)，B(0，1，0)，C(−1，2，0)，n →
=(1，u ，t)是平面α的法向量，则u +t ＝1
解：对于A ，A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →
，BM →
，BN →
不能构成空间的一个基底， 则BA →
，BM →
，BN →
共面，可得A ，B ，M ，N 共面，A 正确；
对于B ，a →⋅b →
=2−1−1=0，故a →
⊥b →
，可得l 与m 垂直，B 正确； 对于C ，a →
⋅n →
=0−1+1=0，故a →
⊥n →
，可得在α内或l ∥α，C 错误； 对于D ，AB →
=(−1，1，1)，易知AB →
⊥n →
，故﹣1+u +t ＝0，故u +t ＝1，D 正确． 故选：ABD ．
11．有一散点图如图所示，在5个（x ，y ）数据中去掉D （3，10）后，下列说法中正确的是（ ）
A ．残差平方和变小
B ．相关系数r 变小
C ．决定系数R 2变小
D ．解释变量x 与响应变量y 的相关性变强
解：∵从散点图知，只有点D （3，10）偏离直线最远， 若去掉点D （3，10），则变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小， 故选：AD ．
12．若函数y ＝f （x ）的图象上至少存在两点，使得函数的图象在两点处的切线互相平行，则称y ＝f （x ）为R 函数，则下列函数可称为R 函数的有（ ） A ．f （x ）＝x 2+sin x B ．f （x ）＝x 2lnx
C ．f(x)=e x −
x 3
3
D ．f(x)=
cosx
e x
解：对于选项A ：∵f ′（x ）＝2x +cos x ，令g （x ）＝f ′（x ）， 则g ′（x ）＝2﹣sin x ＞0恒成立，
∴f ′（x ）在R 上单调递增，不存在两点的导函数值相等， ∴f （x ）＝x 2+sin x 不是R 函数，故A 错误；
对于选项B ：f （x ）定义域为（0，+∞），f ′（x ）＝2xlnx +x ，令g （x ）＝f ′（x ）， ∴g ′（x ）＝2lnx +3，x ＞0， 令g ′（x ）＞0，则x ＞e −
3
2；令
g ′（x ）＜0，则x ＜e
−
32，
当x ∈(0，e
−
3
2)时，f ′（x ）单调递减；当x ∈(e
−
3
2，+∞)时，f ′（x ）单调递增，
且x =e −3
2是f ′（x ）的极小值点，存在两点的导函数值相等， ∴f （x ）＝x 2lnx 是R 函数，故B 正确；
对于选项C ：f ′（x ）＝e x ﹣x 2，函数f （x ）的定义域为R ， 令g （x ）＝f ′（x ），则g ′（x ）＝e x ﹣2x ，令h （x ）＝g ′（x ），
则h ′（x ）＝e x ﹣2，
令h ′（x ）＝0，得x ＝ln 2；令h ′（x ）＜0，得x ＜ln 2，
当x ∈（﹣∞，ln 2）时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减；当x ∈（ln 2，+∞）时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，
∴h （x ）＝g ′（x ）≥h （ln 2）＝2﹣2ln 2＞0，
∴f ′（x ）在R 上单调递增，不存在两点的导函数值相等， ∴f(x)=e x −x 3
3不是R 函数，故C 错误； 对于选项D ：f ′(x)=
1e
2x (−sinx ⋅e x −cosx ⋅e x
)=1e x (−sinx −cosx)=−√2e x sin(x +π4)， 取x 1=−π4
，x 2=34
π，则f ′（x 1）＝f ′（x 2）＝0， ∴f(x)=cosx
e x 是R 函数，故D 正确． 故选：BD ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（2x −1
x
）6的展开式中x 2的系数为 240 ．
解：（2x −1x
）6的展开式的通项公式为 T r +1=C 6r •（2x ）6﹣
r •（﹣1）r •x ﹣
r ＝（﹣1）r •C 6r •26﹣
r •x
6﹣2r
，
令6﹣2r ＝2，解得 r ＝2，∴展开式中x 2的系数为 C 62•24＝240，
故答案为：240．
14．有两台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为5%，第二台加工的次品率为4%，加工出来的零件混放在一起，已知第一、二台车床加工的零件数分别占总数40%，60%，从中任取一件产品，则该产品是次品的概率是 0.044 ．
解：记B ＝“任取一个零件是次品“，A ＝“零件为第1台车床加工“，A =“零件为第2台车床加工“，
则有P （A ）＝0.4，P （A ）＝0.6，P （B |A ）＝0.05，P （B |A ）＝0.04， 由全概率公式可得P （B ）＝P （A ）P （B |A ）+P （A ）P （B |A ） ＝0.4×0.05+0.6×0.04＝0.044， 故答案为：0.044．
15．数列{a n }中，a 1＝2，a n +1+2a n ＝0，若其前k 项和为86，则k ＝ 7 ． 解：由a 1＝2，a n +1+2a n ＝0可得：
a n+1a n
=−2，
所以{a n }是以a 1＝2为首项，公比为﹣2的等比数列，
所以其前k 项和为S k =2[1−(−2)k
]
1+2
=86， 故1﹣（﹣2）k ＝129，即k ＝7． 故答案为：7． 16．已知双曲线C ：
x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）经过点P(3√5
2，2)，双曲线C 的离心率为53
，则双曲线C 的
焦点到其渐近线的距离为 4 ．
解：由双曲线经过点P(3√52，2)，则(3√5
2
)2a 2−22
b
2=1，①
双曲线离心率为：e =c a =5
3，② 又a 2+b 2＝c 2，③
联立①②③解得：a 2＝9，b 2＝16，c 2＝25， 所以双曲线标准方程为：
x 29
−
y 216
=1，
所以双曲线的一个焦点为（5，0）， 一条渐近线为4x ﹣3y ＝0，
所以双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为：d =√4+(−3)=4，
故答案为：4．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知在△ABC 中，cosA =√6
3
，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．
（1）求tan2A ；
（2）若sin(π2+B)=2√2
3，c =2√2，求△ABC 的面积． 解：（1）因为cosA =
√6
3
所以sinA =√3
3，则tanA =√2
2． 所以tan2A =
2tanA
1−tan 2A
=2√2．
（2）由sin(π
2
+B)=
2√2
3
， 得cosB =2√2
3，所以sinB =1
3
则sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =√6
3． 由正弦定得，得a =csinA
sinC =2，
所以△ABC的面积为S=1
2
acsinB=
2√2
3
．
18．（12分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b n}满足b1=12，1
b n −
1
b n−1
=a n，求数列{b n}的前n项和S n．
解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d（d≠0），
由a1＝2，且a1，a3，a9成等比数列，得（2+2d）2＝2×（2+8d），又d≠0，解得d＝2．
∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n；
（Ⅱ）由b1=12，1
b n −
1
b n−1
=a n＝2n，
得1
b n −
1
b n−1
=2n，
1 b n−1−
1
b n−2
=2(n−1)，
1 b n−2−
1
b n−3
=2(n−2)，
..．
1 b3−
1
b2
=2×3，
1 b2−
1
b1
=2×2，
累加得：1
b n −
1
b1
=2[n+(n−1)+...+2]=2×
(n+2)(n−1)
2
=(n+2)(n−1)，
则1
b n =n2+n−2+2=n(n+1)，b n=
1
n(n+1)
=
1
n
−
1
n+1
（b1=
1
2
适合）．
∴数列{b n}的前n项和S n=(1−12)+(12−13)+...+(1n−1
n+1)=1−
1
n+1
=
n
n+1
．
19．（12分）如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3．D、E分别是AC、BC上的点，且满足DE∥AB．将△CDE沿DE折起，得到如图②所示的四棱锥P﹣ABED．
（1）设平面ABP∩平面DEP＝l，证明：l⊥面ADP；
（2）若P A=√5，DE＝2．求直线PD与平面PEB所成角的正弦值．
解：（1）证明：∵DE ∥AB ，DE ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， ∴DE ∥平面P AB ．
∵DE ⊂平面PDE ，平面PDE ∩平面P AB ＝l ， ∴DE ∥l ．
由图①DE ⊥AC ，得DE ⊥DA ，DE ⊥DP ， ∴l ⊥DA ，l ⊥DP ．
∵DA ，DP ⊂平面ADP ，DA ∩DP ＝D ， ∴l ⊥平面ADP ；
（2）由题意，得DE ＝DP ＝2，DA ＝1． ∴AP =√5=√DP 2+DA 2， ∴DA ⊥DP ，
又DE ⊥DP ，DE ⊥DA ，
以D 为坐标原点，DA →
，DE →
，DP →
的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D ﹣xyz ．
则D （0，0，0），E （0，2，0），B （1，3，0），P （0，0，2）， 则PD →
=(0，0，−2)，PE →
=(0，2，−2)，PB →
=(1，3，−2)． 设平面PBE 的一个法向量为n →
=(x ，y ，z)． 则{n →
⋅PB →
=x +3y −2z =0n →⋅PE →=2y −2z =0， 令z ＝1，得y ＝1，x ＝﹣1， 故n →=(−1，1，1)．
设PD 与平面PEB 所成角为θ．
∴sinθ=|cos ＜n →
，PD →
＞|=|
n →⋅PD
→|n →
||PD →
|
|=
2
2×3
=√33， ∴直线PD 与平面PEB 所成角的正弦值为
√33
． 20．（12分）已知函数f （x ）＝e x +ax （a ∈R ，e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性； （Ⅱ）求函数f （x ）的极值的最大值．
解：（Ⅰ）∵函数f （x ）＝e x +ax （a ∈R ，e 为自然对数的底数）， ∴f （x ）的定义域为（﹣∞，+∞），f ′（x ）＝e x +a ，
当a ≥0时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增， 当a ＜0时，令f ′x ）＝0，得x ＝ln （﹣a ），
当x ∈（﹣∞，ln （﹣a ））时，f ′（x ）＜0，当x ∈（ln （﹣a ），+∞）时，f ′（x ）＞0， ∴f （x ）在（﹣∞，ln （﹣a ））上单调递减，在（ln （﹣a ），+∞）上单调递增． 综上，当a ≥0时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，
当a ＜0时，f （x ）在（﹣∞，ln （﹣a ））上单调递减，在（ln （﹣a ），+∞）上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知当a ≥0时，f （x ）无极值，
当a ＜0时，f （x ）存在极小值，且极小值为f （ln （﹣a ））＝e ln （﹣a ）
+aln （﹣a ）＝﹣a +aln （﹣a ）．
无极大值，
设g （x ）＝x ﹣xlnx ，x ＞0，则g ′（x ）＝﹣lnx ， 令g ′（x ）＝0，得x ＝1，
当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＞0，当x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＜0， ∴g （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， ∴g （x ）的最大值为g （1）＝1﹣ln 1＝1， ∴函数f （x ）的极值的最大值为1．
21．（12分）甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为3
5
，若乙发球，则甲得分的概率为1
3
．该局比赛甲乙依次轮换发球权（甲先发球），每人发两球后轮到
对方进行发球．
（1）求在前4球中，甲领先的概率；
（2）12球过后，双方战平（6：6），已知继续对战奇数球后，甲率先取得11分获得胜利（获胜要求净胜2分及以上）．设净胜分为X （甲，乙的得分之差），求X 的分布列． 解：（1）甲与乙的比分是4：0的概率为3
5×
35
×
13
×
13
=
125
，
比分是3：1的概率为2×35×25×13×13+2×35×35×23×13=1675
， 故前4球中，甲领先的概率P =1
25+16
75=19
75；
（2）依题意，接下来由甲先发球．继续对战奇数球后，甲获得11分胜利，即甲11：6或11：8获胜， 即在接下来的比赛中，甲乙的比分为5：0或5：2，且最后一球均为甲获胜， 记比分为5：0为事件A ，则P(A)=(35)2×(13)2×35=3
125，
记比分为5：2为事件B ，即前6场比赛中，乙获胜两场，期间甲发球4次，乙发球两次，P(B)=
[C 42×(35)2×(25)2×(13)2+C 22×(23)2×(35)4+C 41×25×(35)3×C 21×23×13]×13=52
625，
故甲依题意获胜的概率为
3
125
+
52625
=
67
625
，
X 的所有可能取值为3，5，
由条件概率有，P(X =3)=52
67，P(X =5)=15
67， 故X 的分布列为：
22．（12分）已知椭圆C ：x a 2
+y b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M （0，2）是椭圆C 的
一个顶点，△F 1MF 2是等腰直角三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1+k 2＝8，证明：直线AB 过定点．
解：（1）由题意可得b ＝2，再由△F 1MF 2是等腰直角三角形可得b ＝c ＝2， 所以a 2＝b 2+c 2＝4+4＝8， 所以椭圆的方程为：
x 28
+
y 24
=1；
（2）证明：当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为：y ＝kx +t ，t ≠2， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
联立{y =kx +t x 2+2y 2
=8，整理可得：（1+2k 2）x 2+4ktx +2t 2﹣8＝0， Δ＞0，x 1+x 2=−
4kt 1+2k
2，x 1x 2=
2t 2−81+2k
2，
由题意k 1+k 2=y 1−2x 1+y 2−2
x 2
=
x 2(kx 1+t−2)+x 1(kx 2+t−2)
x 1x 2=2k +（t ﹣2）•−4kt 2t 2−8
，
由题意可得2k+（t﹣2）•−4kt
2t2−8
=8，
整理可得（t﹣2）（2t+4﹣k）＝0，t≠2，
可得2t+4﹣k＝0，
所以k＝2t+4，
即直线方程为：y＝（2t+4）x+t＝t（2x+1）+4x，所以2x+1＝0且y＝4x，
即恒过定点（−1
2
，﹣2），
当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝t，t∈（﹣2√2，2√2），
代入椭圆的方程可得y2＝4（1−t2
8
），即y＝±2√1−
t2
8
，
设A（t，﹣2√1−t2
8
），B（t，√1−
t2
8
），
k1+k1=y A−2
x A
+
y B−2
x B
=
−2√1−t
2
8
−2
t
+
2√1−t
2
8
−2
t
=
−4
t
，
由题意可得−4
t
=8，可得t=−
1
2
，
即直线AB的方程为x=−1
2
，也过定点（−
1
2
，﹣2），
综上所述：可证得直线AB恒过定点（−1
2
，﹣2）．。