考研数学三线性代数模拟试卷129_真题(含答案与解析)-交互

考研数学三（线性代数）模拟试卷129
(总分54, 做题时间90分钟)
1. 选择题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.
设α
1，α
2
，α
3
，β
1
，β
2
都是四维列向量，且｜A｜=｜α
1
，α
2，α
3
，β
1
｜=m，｜B｜=｜α
1
，α
2
，β
2
，α
3
｜=n，则｜α
3
，
α
2，α
1
，β
1
+β
2
｜为( )．
SSS_SINGLE_SEL
A m+n
B m－n
C －(m+n)
D n－m
该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D
解析：｜α
3，α
2
，α
1
，β
1
+β
2
｜=｜α
3
，α
2
，α
1
，β
1
｜
+｜α
3，α
2
，α
1
，β
2
｜=－｜α
1
，α
2
，α
3
，β
1
｜－｜α
1，α
2
，α
3
，β
2
｜=－｜α
1
，α
2
，α
3
，β
1
｜+｜α
1
，α
2，β
2
，α
3
｜=n－m，选D．
2.
设A为n阶矩阵，k为常数，则(kA) *等于( )．
SSS_SINGLE_SEL
A
kA *
B
k n A *
C
k n－1 A *
D
k n(n－1) A *
该题您未回答:х该问题分值: 2
答案:C
解析：因为(kA) *的每个元素都是kA的代数余子式，而余子式为n－1阶子式，所以(kA) * =k n－1 A *，选C．
3.
设Q为三阶非零矩阵，且PQ=O，则( )．
SSS_SINGLE_SEL
A 当t=6时，r(Q)=1
B 当t=6时，r(Q)=2
C 当t≠6时，r(Q)=1
D 当t≠6时，r(Q)=2
该题您未回答:х该问题分值: 2
答案:C
解析：因为Q≠O，所以r(Q)≥1，又由PQ=O得，r(P)+r(Q)≤3，当t≠6时，r(P)≥2，则r(Q)≤1，于是r(Q)=1，选C．
4.
向量组α
1，α
2
，…，α
m
线性无关的充分必要条件是( )．SSS_SINGLE_SEL
A
α
1，α
2
，…，α
m
中任意两个向量不成比例
B
α
1，α
2
，…，α
m
是两两正交的非零向量组
C
设A=(α
1，α
2
，…，α
m
)，方程组AX=0只有零解
D
α
1，α
2
，…，α
m
中向量的个数小于向量的维数
该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C
解析：向量组α
1，α
2
，…，α
m
线性无关，则α
1
，α
2
，…，α
m
中任意两个向量不成比例，反之不对，故A不对；若α
1，α
2
，…，α
m
是两两正交的非零向量组，则α
1，α
2
，…，α
m
一定线性无关，但α
1，α
2
，…，α
m
线性无关不一定两两正交，B不对；α
1
，α
2
，…，α
m
中向量个数小于向量的维数不一定线性无关，D不对，选C．
5.
设A是m×s阶矩阵，B为s×n阶矩阵，则方程组BX=0与ABX=0同解的充分条件是( )．
SSS_SINGLE_SEL
A r(A)=s
B rA)=m
C r(B)=s
D r(B)=n
该题您未回答:х该问题分值: 2
答案:A
解析：设r(A)=s，显然方程组BX=O的解一定为方程组ABX=0的解，反之，若ABX=0，因为r(A)=s，所以方程组AY=0只有零解，故BX=0，即方程组BX=0与方程组ABX=0同解，选A．
6.
设A是n阶矩阵，下列命题错误的是( )．
SSS_SINGLE_SEL
A
若A 2 =E ，则－1一定是矩阵A 的特征值
B 若r(E+A)＜n ，则－1一定是矩阵A 的特征值
C 若矩阵A 的各行元素之和为－1，则－1一定是矩阵A 的特征值
D 若A 是正交矩阵，且A 的特征值之积小于零，则－1一定是A 的特征值 该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:A
解析：若r(E+A)＜n ，则｜E+A ｜=0，于是－1为A 的特征值；若A 的每行元素之和为－1，则 根据特征值特征向量的定义，－1为A 的特征值；若A 是正交矩阵，则A T A=E ，令AX=λX(其中X≠0)，则X T A T =λX T ，于是X T A T
AX=λ 2 X T X ，即(λ 2 －1)X T X=0．而X T X ＞0，故λ 2 =1，再由特征值之积为负得－1为A 的特征值．选A ． 2. 填空题 1. 设
则A 31 +A 32 +A 33 =______．
SSS_FILL
该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:正确答案：0
解析：A 31 +A 32 +A 33 =A 31 +A 32 +A 33 +0A 34 +0A 0=35
2. 设
B 为三阶矩阵，r(B * )=1且AB=O ，则t=______．
SSS_FILL
该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:正确答案：6
解析：因为r(B * )=1，所以r(B)=2，又因为AB=O ，所以r(A)+r(B)≤3，从而r(A)≤1，又r(A)≥1，r(A)=1，于是t=6． 3.
设 则α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 的一个极大线性无关组为______，其余的向量用极大线性无关组表示为______．
SSS_FILL
该题您未回答:х 该问题分值: 2
答案:正确答案：α 1 ，α 2 ，且
解析：(α
1，α
2
，α
3
，α
4
)= 则向量组α
1
，α
2
，α
3
，α
4的一个极大线性无关组为α
1
，α
2
，且
4.
设A为三阶实对称矩阵，α
1 =(a，－a，1) T是方程组AX=0的解，α
2
=(a，1，1－a) T是方程组(A+E)X=0的解，则a=______．
SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 2
答案:正确答案：1
解析：因为A为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为AX=0
及(A+EX)=0有非零解，所以λ
1 =0，λ
2
=－1为矩阵A的特征值，α
1
=(a，－a，1) T，α
2
=(a，1，1－a) T是它们对应的特征向量，所以有α
1Tα
2
=a 2－a+1－a= 0，解得a=1．
5.
f(x
1，x
2
，x
3
，x
4
)=X T AX的正惯性指数是2，且A 2－2A=0，该二次
型的规范形为______．
SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 2
答案:正确答案：y
11 +y
2
2
解析：A 2－2A=O=>r(A)+r(B－A)=4=>A可以对角化，λ
1 =2，λ
2
=0，又二
次型的正惯性指数为2，所以λ
1 =2，λ
2
=0分别都是二重，所以该二次型
的规范形为y
11 +y
2
2．
3. 解答题
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1.
设D= 求A
k1 +A
k2
+…+A
kn
．
SSS_TEXT_QUSTI
该题您未回答:х该问题分值: 2
答案:
正确答案：令C=(n)，｜A｜=(－1) n+1 n!，则得A * =｜A｜A －1
=(－1) n+1 n!A －1，所以A
k1 +A
k2
+…+A
kn
=
2.
设A为n阶矩阵，证明：其中n≥2．
SSS_TEXT_QUSTI
该题您未回答:х该问题分值: 2
答案:
正确答案：AA * =A * A=｜A｜E．当r(A)=n时，｜A ｜≠0，因为｜A *｜=｜A｜n－1，所以｜A *｜≠0，从而r(A * )=n；当r(A)=n－1时，由于A至少有
一个n－1阶子式不为零，所以存在一个M
ij ≠0，进而A
ij
≠0，于是A *
≠O，故r(A *)≥1，又因为｜A｜=0，所以AA * =｜A｜E=O，根据矩阵秩的性质有r(A)+r(A *)≤n，而r(A)=n－1，于是得r(A *)≤1，故r(A * =1；当r(A)＜n－1时，由于A的所有n－1阶子式都为零，所以A * =O，故r(A
* )=0．
3.
设α
1，α
2
，…，α
n
为n个n维线性无关的向量，A是n阶矩阵．证
明：Aα
1，Aα
2
，…，Aα
n
线性无关的充分必要条件是A可逆．SSS_TEXT_QUSTI
该题您未回答:х该问题分值: 2答案:
正确答案：令B=(α
1，α
2
，…，α
n
)，因为α
1
，α
2
，…，α
n
为
n个n维线性无关的向量，所以r(B)=n．(Aα
1，Aα
2
，…，Aα
n
)=AB，
因为r(AB)=r(A)．所以Aα
1，Aα
2
，…，Aα
n
线性无关的充分必要条件
是r(A)=n，即A可逆．4.
设向量组α
1，α
2
，…，α
n－1
为n维线性无关的列向量组，且与非零向
量β
1，β
2
正交．证明：β
1
，β
2
线性相关．SSS_TEXT_QUSTI
该题您未回答:х该问题分值: 2答案:
正确答案：令因为α
1，α
2
，…，α
n－1
与β
1
，β
2
正交，所以
Aβ
1 =0，Aβ
2
=0，即β
1
，β
2
为方程组AX=0的两个非零解，因为
r(A)=n－1，所以方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以β
1，β
2
线性相关．
设
SSS_TEXT_QUSTI
5.
求(Ⅰ)，(Ⅱ)的基础解系；
该题您未回答:х该问题分值: 2
答案:
正确答案：=>(Ⅰ)的基础解系为=>(Ⅱ)的基础解系为
SSS_TEXT_QUSTI
6.
求(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解．
该题您未回答:х该问题分值: 2
答案:
正确答案：(Ⅰ)的通解=>k
1 =2k
2
，故(Ⅰ)，( Ⅱ)的公共解为(－k，
k，2k，k) T =k(－1，1．2，1) T (k为任意常数)．
7.
设A是m×s阶矩阵，B是s×n阶矩阵，且r(B)=r(AB)．证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组．
SSS_TEXT_QUSTI
该题您未回答:х该问题分值: 2
答案:
正确答案：首先，方程组BX=0的解一定是方程组ABX=0的解．令r(B)=r且ξ
1，ξ
2
，…，ξ
n－r
是方程组BX=0的基础解系，现设方程组ABX=0有一个解
η
1不是方程组BX=0的解，即Bη
≠0，显然ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
n－r
，
η
0线性无关，若ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
n－r
，η
线性相关，则存在不全为
零的常数k
1，k
2
，…，k
n－r
，k
，使得k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n－r
ξ
n－r ，k
η
=0，若k
=0，则k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n－r
ξ
n－r
，=0，
因为ξ
1，ξ
2
，…，ξ
n－r
线性无关，所以k
1
=k
2
=…=k
n－r
=0，从而
ξ
1，ξ
2
，…，ξ
n－r
，η
线性无关，所以k
≠0，故η
可由ξ
1，ξ
2
，…，ξ
n－r
线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有Bη
=0，
矛盾，所以ξ
1，ξ
2
，…，ξ
n－r
，η
线性无关，且为方程组ABX=0的
解，从而n－r(AB)≥n=r+1，r(AB)≤r－1，这与r(B)=r(AB)矛盾，故方程组BX=0与ABX=0同解．
8.
证明：r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．
SSS_TEXT_QUSTI
该题您未回答:х该问题分值: 2
答案:
正确答案：令r(B)=r，BX=0的基础解系含有n－r个线性无关的解向量，因为BX=0的解一定是ABX=0的解，所以ABX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于BX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即n－
r(AB)≥n－r(B)，r(AB)≤≤r(B)；又因为r[(AB) T ]=r(AB)=r(B T A
T)≤R(A T )=r(A)，所以r(AB)≤Min{r(A)，r(B)}．
9.
当a，b取何值时，方程组无解、有唯一解、有无数个解?在有无数个解时求其通解．
SSS_TEXT_QUSTI
该题您未回答:х该问题分值: 2
答案:
正确答案：(1)当a≠－1且a≠b时，方程组有唯一解； (2)当a=6时，因为所以方程组有无数个解，再由得原方程组的通解为 (3)当a=－1时，当a=－1，b≠36时，方程组无解；当a=－1，b=36时，方程组有无数个解，由
设矩阵为A *对应的特征向量．
SSS_TEXT_QUSTI
10.
求a，b及α对应的A *的特征值；
该题您未回答:х该问题分值: 2
答案:
正确答案：显然α也是矩阵A的特征向量，令Aα=λ
1
α，则有｜A｜
=12，设A的另外两个特征值为λ
2，λ
3
，由得λ
2
=λ
3
=2．α对
应的A *的特征值为
SSS_TEXT_QUSTI
11.
判断A可否对角化．
该题您未回答:х该问题分值: 2答案:
正确答案：因为r(2E－A)=2，所以λ
2=λ
3
=2只有一个线性无父的特
征向量，故A不可以对角化．
设A，B为三阶矩阵，且AB=A－B，若λ
1，λ
2
，λ
3
为A的三个不同的特
征值，证明：
SSS_TEXT_QUSTI
12.
AB=BA；
该题您未回答:х该问题分值: 2
答案:
正确答案：由AB=A－B得A－B－AB+E=E，(E+A)(E－B)=E，即E－B与E+A互为逆矩阵，于是(E－B)(B+A)－E=(E+A)(E－B)，故AB=BA．
SSS_TEXT_QUSTI
13.
存在可逆矩阵P，使得P －1 AP，P －1 BP同时为对角矩阵．
该题您未回答:х该问题分值: 2
答案:
正确答案：因为A有三个不同的特征值λ
1，λ
2
，λ
3
所以A可以对角
化，设A的三个线性无关的特征向量为ξ
1，ξ
2
，ξ
3
，则有A(ξ
1
，ξ
2，ξ
3
)=(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)diag(λ
1
，λ
2
，λ
3
)，BA(ξ
1
，ξ
2，ξ
3
)=B(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)diag(λ
1
，λ
2
，λ
3
)，AB(ξ
1
，ξ
2，ξ
3
)=B(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)diag(λ
1
，λ
2
，λ
3
)，于是有ABξ
i
=λ
i Bξ
i
，i=1，2，3．若Bξ
i
≠0，则Bξ
i
是A的属于特征值λ
i
的
特征向量，又λ
i 为单根，所以有Bξ
i
=μ
i
ξ
i
；若Bξ
i
=0，则ξ
i
是B的属于特征值0的特征向量．无论哪种情况．B都可以对角化，而且ξ
i
是B的特征向量，因此，令P=(ξ
1，ξ
2
，ξ
3
)，则P －1 AP，P －1 BP同
为对角阵．
14.
设P为可逆矩阵，A=P T P．证明：A是正定矩阵．
SSS_TEXT_QUSTI
该题您未回答:х该问题分值: 2
答案:
正确答案：显然A T =A，对任意的X≠0，X T Ax=(PX) T (PX)，因为X≠0且P 可逆，所以PX≠0，于是X T AX=(PX) T (PX)=｜PX｜2＞0，即X T AX为正定二次型，故A为正定矩阵．
15.
设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零．证明：A为正定矩阵．
SSS_TEXT_QUSTI
该题您未回答:х该问题分值: 2
答案:
正确答案：A所对应的二次型为f=X T AX，因为A是实对称矩阵，所以存在正
交变换X=QY，使得 f=X T AX λ
1 y
1
2+λ
2
y
2
2+…+λ
n
y
n
2，其
中λ
i
＞0(i=1，2，…，n)，对任意的X≠0，因为X=QY，所以Y=Q T X≠0，
于是f=λ
1 y
1
2+λ
2
y
2
2+…+λ
n
y
n
2＞0，即对任意的X≠0有X T AX
＞0，所以X T AX为正定二次型，故A为正定矩阵．1。