【全程复习方略】(浙江专用)2013版高考数学 2.9函数与方程课时体能训练 理 新人教A版

【全程复习方略】（浙江专用）2013版高考数学 2.9函数与方程课时体能训练 理
新人教A 版
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.(2012·金华模拟)已知a 是函数f(x)＝lnx －log 12x 的零点，若0＜x 0＜a ，则f(x 0)的值满足( )
(A)f(x 0)＝0
(B)f(x 0)＞0
(C)f(x 0)＜0
(D)f(x 0)的符号不确定
2.函数f(x)＝－1x
＋log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( ) (A)(0,1) (B)(1,2)
(C)(2,3) (D)(3,4)
3.(2012·杭州模拟)已知函数f(x)＝e x －1，g(x)＝－x 2＋4x －3，若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围是
( )
(A)(1,3) (B)[1,3]
(C)(2－2，2＋2) (D)[2－2，2＋2]
4.(预测题)设函数f(x)＝n －1，x∈[n，n ＋1)，n∈N，函数g(x)＝log 2x ，则方程f(x)＝g(x)的实数根的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
5.若函数y ＝(12
)|1－x|＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是( ) (A)m≤－1 (B)m≥1
(C)－1≤m<0 (D)0<m≤1
6.(2012·嘉兴模拟)若函数y ＝f(x)(x∈R)满足f(x ＋2)＝f(x)且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x 2，函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ lgx(x ＞0)－1x (x ＜0)，则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数为( )
(A)5 (B)7 (C)8 (D)10
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－2|x|＋12，x≤0|lgx|－1，x>0的零点个数为 . 8.(2012·衡水模拟)已知函数f(x)＝3x ＋x －5的零点x 0∈[a，b]，且b －a ＝1，a ，b∈N *
，则a ＋b ＝ .
9.(易错题)若函数f(x)＝(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －1有且仅有一个零点，则实数m 的取值集合是 .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·长沙模拟)已知y ＝f(x)是定义域为R 的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x 2－2x.
(1)写出函数y ＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围.
11.已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.
(1)若a>b>c 且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；
(2)若对x 1，x 2∈R，且x 1<x 2，f(x 1)≠f(x 2)，方程f(x)＝12
[f(x 1)＋f(x 2)]有两个不等实根，证明必有一实根属于(x 1，x 2).
【探究创新】
(16分)已知二次函数f(x)＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a
(1)判断命题“对于任意的a∈R(R 为实数集)，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；
(2)若y ＝f(x)在区间(－1,0)及(0，12
)内各有一个零点，求实数a 的范围.
答案解析
1. 【解析】选C.在同一坐标系中画出函数y ＝lnx 与y ＝log 12x
的图象.
如图所示，则a ＝1，
∵0＜x 0＜1，
∴lnx 0＜log 12
x 0，
∴f(x 0)＝lnx 0－log 12
x 0＜0.
2.【解析】选B.∵f(1)＝－1＋log 21＝－1<0，
f(2)＝－12＋log 22＝12
>0， ∴f(1)·f(2)<0，故选B.
3.【解析】选C.∵f(x)＝e x
－1＞－1，
g(x)＝－x 2＋4x －3＝－(x 2－4x ＋4)＋1
＝－(x －2)2＋1≤1，
又∵f(a)＝g(b)，∴－1＜g(b)≤1，
即－1＜－(b －2)2＋1≤1，
解上式得：2－2＜b ＜2＋ 2.
4.【解题指南】在同一坐标系中作出函数f(x)和g(x)的图象，数形结合求解.
【解析】选C.画出f(x)和g(x)的图象，如图所示，从图中不难看出方程f(x)＝g(x)有3个零点.
5.【解析】选C.由已知函数y ＝(12)|1－x|＋m 有零点，即方程(12)|1－x|＋m ＝0有解，此时m ＝－(12
)|1－x|. ∵|1－x|≥0，∴0<(12
)|1－x|≤1， ∴m ∈[－1,0).
6.【解析】选C.在同一坐标系中分别画出函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象如图，由图象知，函数f(x)与g(x)的图象共有8个交点，因此函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内有8个零点.
【变式备选】已知函数f(x)＝(13
)x －log 2x ，若实数x 0是方程f(x)＝0的解，且0<x 1<x 0，则f(x 1)( ) (A)恒为正值 (B)等于0
(C)恒为负值 (D)不大于0
【解析】选A.∵f(x)＝(13
)x －log 2x 在(0，＋∞)上为减函数，并且f(x 0)＝0,0<x 1<x 0，∴f(x 1)>f(x 0)＝0. 7.【解题指南】作出函数f(x)的图象，数形结合求解.
【解析】作出函数f(x)的图象，从图象中可知函数f(x)的零点有4个.
答案：4
8.【解析】由已知x 0∈[a ，b]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *
，
∴a ，b 的可能取值为a ＝1，b ＝2，或a ＝2，b ＝3，…
又f(1)＝3＋1－5＝－1<0，f(2)＝32＋2－5＝6>0，
∴f(1)f(2)<0，故a ＝1，b ＝2符合要求.
又∵f(x)为增函数，当x 取大于或等于2的整数时，所对应的函数值都大于0，
∴a ＝1，b ＝2.
∴a ＋b ＝1＋2＝3.
答案：3
9.【解析】当m ＝1时，f(x)＝4x －1＝0，得x ＝14
，符合要求.当m ≠1时，依题意得Δ＝4(m ＋1)2＋4(m －1)＝0.即m 2＋3m ＝0，解得：m ＝－3或m ＝0，
∴m 的取值集合是{－3,0,1}.
答案：{－3,0,1}
【误区警示】本题求解过程中易忽视m ＝1而失误.根据原式将f(x)误认为二次函数.
10.【解析】(1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，
∵y ＝f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x 2－2x ，
∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x x ≥0－x 2－2x x<0.
(2)当x ∈[0，＋∞)时，f(x)＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，最小值为－1；
当x ∈(－∞，0)时，f(x)＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2
，最大值为1.
∴据此可作出函数y ＝f(x)的图象(如图所示)，根据图象得，若方程f(x)＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1,1).
11.【证明】(1)∵f(1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0.
又∵a>b>c ，∴a>0，c<0，即ac<0.
又∵Δ＝b 2－4ac ≥－4ac>0，∴方程ax 2
＋bx ＋c ＝0有两个不等实根，∴函数f(x)必有两个零点.
(2)令g(x)＝f(x)－12[f(x 1)＋f(x 2)]，则g(x 1)＝f(x 1)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝f(x 1)－f(x 2)2
， g(x 2)＝f(x 2)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝f(x 2)－f(x 1)2
. ∴g(x 1)g(x 2)＝[f(x 1)－f(x 2)2]·[f(x 2)－f(x 1)2
] ＝－14
[f(x 1)－f(x 2)]2. ∵f(x 1)≠f(x 2)，∴g(x 1)g(x 2)<0.
∴g(x)＝0在(x 1，x 2)内必有一实根.
即f(x)＝12
[f(x 1)＋f(x 2)]必有一实根属于(x 1，x 2). 【探究创新】
【解析】(1)“对于任意的a ∈R(R 为实数集)，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题.
依题意：f(x)＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，
∵Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R(R 为实数集)恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实
根，从而f(x)＝1必有实根.
(2)依题意：要使y ＝f(x)在区间(－1,0)及(0，12
)内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧ f(－1)>0f(0)<0f(12
)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－4a>01－2a<034－a>0，解得12<a<34.。