基础性 综合性 创新性 选拔性——2019年高考全国Ⅰ卷圆锥曲线试题

啖版
基础性综合性创新性选拔性
2019年高考全国I 卷圆锥曲线试题评析及备考建议
陈崇荣
（宁德市柘荣一中福建宁德355300）
摘 要：通过分析2019年高考全国1卷中的圆锥曲线试题特点，以及学生在解决问题时思维受阻的原因，提出了
圆锥曲线复习的一些观点、方法.
关键词：基础性；综合性;创新性;选拔性；圆锥曲线
教育部考试中心任子朝先生在文［1 ］中提出“高 考数学学科在考查过程中要体现基础性、综合性、应
用性和创新性的考查要求”.2019年高考全国I 卷对 圆锥曲线的考查在注重基础性、体现综合性的同时,
突出选拔性和创新性.下面一起来欣赏2019年高考 全国I 卷中的圆锥曲线试题.
1注重基础性
基础知识的理解、基本能力的发展和基本态度与
价值观的养成，是学生未来发展和终身发展的基础.
数学教育的传统基础是指基础知识、基本技能和基本
能力，后面随着课改的深入又增加了对过程性目标以 及重视学生情感、态度与价值观的培养等.
圆锥曲线是中学数学的核心内容，圆锥曲线基础
知识的理解和思想方法的掌握，对发展学生的核心素
养发挥着基础性的关键作用.因此每年高考应覆盖椭 圆、双曲线、抛物线的概念，几何性质、直线与圆锥曲 线的位置关系等基础知识，通过对圆锥曲线的概念、 几何性质，基本方法的考查，增强考查内容的基础性.
同时通过对圆锥曲线基础知识、基本技能、基本思想 方法、基本活动经验的的全面考查，强化学科共同基
础，使学生牢固掌握解决问题的基本方法和工具，促 进学科核心素养的提升.
例1
（2019年全国I 卷第10题）已知椭圆C 的
焦点为“（_1,0）』2（1,0）,过点几的直线与C 交
于 A,B 两点.若 \AF 2\ =2\F 2B\,\AB\ = I BF { I ,则 C 的方程为（）■
解析 如图1,设A(o,6) \F 2B\ =m,则|川2丨= 2m,\BF.\ = \AB\ =3m.
由椭圆的定义有2a =\BF,\ + \BF 1\ =4m.所以 \AF t | =2a- \AF 2 I =2m.
解法1 (运用余弦定理)在△/IF/]和△BFf?
中，由余弦定理有
r4zn 2 + 4 -2 • 2m • 2 • cosZ_AF 2F l = 4m 1, [m 2 + 4 -2 - m • 2 • cosZ_BF 2F t =9m 2.
又因为Z/lFjF,与^BF 2F ｝互补，所以cosrAF 2F,
+ COSZBF.F, =0.两式消去 cos ^/1F 2F,
得 3m 2 + 6 = 11 zn 2,解得 m =
所以 2a = 4m = 2 -/3 ,即 a =事,b 2 =2.
2 2
所求椭圆方程为牙+牙=故选B.
解法2 (运用三角形相似比)设B(x 0,y 0),由相 似有冷一=芫,得％ = *
由相似也有¥=盏‘得= ¥所以b （斗,£）
作者简介：陈崇荣（1978 -）,男，福建龙岩人，本科，中学一级教师，研究方向：
中学数学教学.
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代入椭圆方程务+告=1得a2-3,62=2.
a b
所以椭圆方程为y+^=l.
解法3（运用极坐标）椭圆方程卩二门養®,因为
AF2=2佗乩所以|字如”所以ecos0=£.
1-ecosO1+ecosO3于是椭圆方程p=笃，即p=壬ep.
1+T
所以PF?=穿,处2=警.
根据椭圆定义有昭=警+警=学
因为BF2+BF}=2a,所以竽+牛=2a,即3ep=
o2
2a, gp—（—一c）=2a,化简a2二3,所以b~=2.
a c
所以椭圆方程为y+^=1.
点评木题考查椭圆、直线、三角形的基本概念和
性质，试题的设计体现基础性，体现灵活运用知识的能
力和数形结合的思想，给不同水平的考生提供很好的
研究空间,考生可以根据自己的能力水平得到不同的
解题路径和方法•考查的核心素养目标是逻辑推理、数学运算素养,体现了2017版新课标的基本理念.
在解决此题时.应该通过数形结合，结合椭圆的定义得出点4（0,6）,即上顶点，这是关键.法1是利用余弦定理建立两个方程，解出m的值;法2是利用平面几何知识，通过相似三角形的边长成比例得出点B的坐标（寺，£），代入椭圆方程解出a,b的值.对比前两种方法，法1中，圆锥曲线与余弦定理、正弦定理相交汇在前几年高考题中已经岀现过，有迹可循，应该比较容易想到；法2虽然比较简洁，但是学生比较难想到运用平面几何知识解决圆锥曲线的问题，因为中考已经降低了对平面几何知识的要求，而且要和圆锥交汇运用还是有一定难度的.法3值得推荐.虽然极坐标方程作为选考中的知识点，没有规定只能在选考中用，“法无禁止即可为”，小题中大胆用，而且往往能出奇制胜.
2体现综合性
综合性是指数学核心素养是学习者对其所拥有
的数学知识、数学能力、数学态度、数学品质等的有效
整合•高考试题内容的综合性要求学生注重认识事物
整体的结构、功能和作用，以及分析、理解事物变化发展的过程,鼓励学生从整体上分析各种现象的本质和规律,促进学生形成一个更加全面、完整的认知结构.在这一过程中，学生可以体会数学思想方法在分析问题、解决问题中的运用.
圆锥曲线知识众多，而试卷的容量有限，因此只能通过综合设计试题，将圆锥曲线的多个知识点衔接起来考查.如将直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的概念、几何性质相结合考查;或者结合平面向量、平面几何等学科内容知识考查•要求学生能综合应用所学知识、原理、方法分析问题和解决问题，从整体上分析各种现象的本质和规律，促进学生形成更加全面、完整的知识网络结果.
例2（2019年全国I卷第16题）已知双曲线C：号
a -店=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F』，过点几的直线与C的两条渐近线分别交于<4』两点.若弔=AB,F\B•Kfi=0,则C的离心率为______.
解法1（运用平面几何知识）如图2,由币=為,得f x a=ab.
又0"=OF?,得OA是厶F x F2B的中位线，即BF2//OA,BF2=20A.
由祁•F\B=0,得几B丄F2B,OA丄F".
贝」OB=。

“，有AAOB=ZAOF,.
又直线OA与OB是渐近线，则LBOF2=
又因为厶BOF<+^AOB+Z4OF,=*,
所以厶30几=mOFi=A BOA=60°.
又直线0B的斜率为°=tan60°=石，所以该双曲线的离心率为e=七=J1+（吕）'=J'+（打）'=2.
解法2（运用平面几何知识）如图2,直线04的方程为bx+ay二0,直线0B的方程为bx-ay=0.
由题意知tan^二°,0A丄AF}.
a
在R^OAF,中，0几二c,由等面积法可知耳二⑪，所以x A=-~T-y A二_J.
c b'
c
所以4(
C C
n~t、/2ab匕广|v«a2a
因为7b二〒，所以x B-~^y B二〒•
2a22ab、
---,---)•
c c
因为F/二所以x A+c=x8-x A.所以2x a=x h 所以2(-—)=世-c.所以4/=/,即e=2.
c c
所以B（
解法3（运用向量）设B（m,細）（m>0）,则
BF,=(-c-m,-—m),BF‘=(c-m,-—m).
a a
由F/・F2B=0得m-c2+^m2二0,解得m=
a
a,故
又因为帀=扁，所以/1(宁,£).
代入直线y=-2乂可得£=--•专，解的c
a2a2
=2a,所以离心率为2.
点评本题考查的知识是平面向量中的相等向量、垂直向量，双曲线的渐进线和离心率，考查的核心素养目标是逻辑推理、直观想象和数学运算素养.作为填空题的最后一题，本题需要考生有清晰的逻辑思维能力、良好的直观想象能力，知识的综合理解能力.试题有较好的选拔功能与良好的区分度，有很好的教学导向作用，引导中学数学教学在提高学生的分析综合能力、问题转化能力和逻辑推理素养方面下功夫，凸显了数学新课标的基本要求.
法1中推理出“04是厶F,F2B的中位线，也是的垂直平分线”是关键点，此题是双曲线的几何性质与平面知识相结合的综合试题;法2也是利用平面几何知识，求岀两点坐标，再利用向量相等得出久B两点横坐标的关系，即a,b,c关系；法3是“纯”向量解法，先设出点B（m如）,运用向量垂直
a
得出m=a的关系，用向量相等得出A（a£"，£），再代入渐近线方程，得出c=2a的关系.对比三种方法，解法1,2思维障碍在于无法灵活运用平面几何知识（点多，线段多，角度多，思维混乱），解析几何的本质是用代数的方法研究几何，既然是几何当然可以用几何性质，同时还可以避免复杂的代数运算；解法3本质上是方程思想的运用.虽三种方法各有千秋，但本质都是考查对圆锥曲线中的核心概念的理解与掌握.3突出创新性和选拔性
创新意识是理性思维的高层次表现•数学高考要充分利用学科特点，加强对创新能力的考查.创设新颖情境，考查学生数学阅读理解能力；强化推理论证，考查理性思维能力•加强创新性的考查，主要途径有:增强试题的开放性和探究性，加强独立思考能力考查;通过创设新颖的试题情境,创新试题呈现的方式，考查学生的阅读理解能力，体现思维的灵活度；提出有一定跨度和挑战性的问题，引导学生进行深入思考和探究，展现考生分析问题、解决问题的思维过程，考查学生的数学抽象和逻辑推理素养.
例3（2019年全国［卷第19题）已知抛物线C：/=3%的焦点为F,斜率为*的直线I与C的交点
为4,B,与x轴的交点为P.
（1）若MFI+\BF\=4,求/的方程；
（2）若"=3丙，求\AB\.
解析（1）设直线I方程为y=^x,/i）,
』2）・
由抛物线焦半径公式可知\AF\+\BF\+%2 +y=4，所以兀1+x2=
3
y=—%r 联立’2得9x~+（12m-12）%+4m~=0.
•y2=3%,
则d=（12m-12）2-144m2>0,即m<*.
ul i、r12/tt—125Zr.77/a7
所以x{+x2=---------二y,解得m二.
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所以直线/的方程为y=
即12兀一 8y—7二0.
（2）解法1同第⑴问，有勺+色=-彎土①恥2=警，点P（-警,0）.
则"=（-牛一g,丙=g+竽,『2）.
因为X p=3PB，所以-~-x,=3（x2+y）.
所以Xi=-3x2-②
②式代入①式得x2=-響-
从而衍=-y +2.
因为吋2=誓，所以（-警+2）（-警-寻）=警-，解得m=-寺.
所以|佔|=/17必•咎=JiZ|•今=吕旦
2解法2设p（t,0）,则可设直线2方程为“彳y+/.
2
联立3得y2-2y-3£=0.
■y2=3%,
所以A=4+12t>0,解得z>-j.
根据韦达定理有Ji+y2=2,/1/2=-3/・
因为AP=3PB，所以x=-3y2.
解得％=-1,/1=3.
所以71X2二-3.
所以皿別=J1+寻•丿（X+兀）2-你兀=
解法3（运用直线参数方程）设点P（%,0）.
因为直线I斜率为|■，直线I的参数方程为2t
,.其中t为参数.
3（
厂帀
设4,B两点对应的参数分别为«,,t2.把直线I的参数方程代入抛物线y=3x得,3/2-2/13«-13%=0.
f2/fl
z i+5=下一，
所以“（«,,«2异号）•
13%
[1\12=•
因为AP=3PB，所以|存|=3\PB\.
所以1“|=3|«2|,即片=-3t2.
把片=_3$代入S+t2=$，得5~■
于是\AB|=|«|-«2|=4|«2|=4
点评本题考查抛物线的几何性质，考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用•综合考查了逻辑推理、数学运算等核心素养,以及数形结合思想、方程思想、转化与化归思想.
第（1）问设出直线方程后利用抛物线上点到焦点的距离公式代入化简即可;第（2）问中,设直线I方程
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为%=yy+t比设斜截式、点斜式计算简单，利用向量相等得到X和丫2的关系，从而套用弦长公式计算岀结果.此题方法多样，条件的处理，直线的设法影响到计算量大小，符合各层次考生的实际认知水平，使考生们能够应用所学知识对题干进行深层地挖掘、分析和选择，能充分体现考生分析和解决问题的思路过程，使考生的思维广度和深度得到充分展示，有很好的区分度，较好地发挥了选拔功能.同时该题的顺序也有变化,连续两年圆锥曲线解答题出现在第19题（2018年和2019年），不同于18年之前往往都是扮演次压轴题的角色，试题的排序顺序、难度进行了创新，不落俗套.
4复习备考建议
2019年高考数学全国I卷圆锥曲线试题,难度适中，紧扣新课程标准、考试说明，考查内容全面.突出考查考生对基础知识的掌握程度，同时更重要的是考查考生核心素养的发展水平，以区分和选拔考生.根据2019年的圆锥曲线试题分析,谈谈如下复习建议.
4.1回归教材，注重基础，强化运算求解能力，提升核心素养
2019年全国I卷对圆锥曲线的基础知识进行了全面考查，如圆锥曲线定义、几何性质、直线与曲线位置关系等，而且不回避热点，如离心率问题、弦长问题等.因此要回归课本复习基础知识，使学生了解知识的发生、发展和应用过程，夯实学生的基础知识，使学生掌握解决问题的工具•每年的的髙考试题很多都是由课本习题改编而来，源于课本，高于课本.所以在复习备考时要重视教材上的例题和课后习题.例如人教B版选修2_1第74页巩固与提高第4题中也是“已知直线与抛物线相交所得弦长，求直线方程”，很明显应该就是2019年全国I卷第19题的影子.
数学运算是数学六大核心素养之一.圆锥曲线复习过程中，如何更好地落实新课标精神，提高学生的数学运算素养尤其重要.2019年全国I卷第19题要求考生在短时间内选择恰当的直线方程代入抛物线方程进行准确的计算化简求值,还是有一定困难的，因为不同的直线方程涉及的计算量不一样.因此平时要引导学生进行大运算量的练习，有些问题不能只想不练，争取每周完整计算1~2道圆锥曲线试题，提高学生数学运算素养.
4.2重视圆锥曲线的几何性质，切实提升数形结合思想和转化与化归思想在解决问题中的运用
自从笛卡尔创设解析几何以来，代数法成为解决解析几何问题的通性通法，但是解析几何问题本质是
几何问题,利用几何中的几何性质解答往往能避开繁琐的代数运算，起到岀奇制胜，事半功倍的效果•纵观2019年的高考圆锥曲线试题，都离不开图形分析，而且需自己画图，数形结合处理问题才会游刃有余.因此在平时的教学中，要灌输学生多画图，因为画图既可以帮助考生理解题意,又可以帮助考生快速找到解题思路.2019年全国I卷第10,16,19题，数形结合是解决它们的强有力的“武器”，特别是第16题,角度关系、长度关系、平面几何关系等都是从图形中推理出来的,没有图就如“巧妇难为无米之炊”一样.
4.3研究2017年版新课标，关注核心素养导向下的高考命题的改变
教育部考试中心任子朝先生2018年在文［2］提出了高考命题的三个考查方向：注重科学思维的考查;注重科学探究能力的考查；注重情境化试题的考查.在文［3］提出高考命题创新要:突出学科素养考查;突出必备知识考查;突出基础性、综合性、应用性、创新性的考查.圆锥曲线是中学数学的核心内容之一,在核心素养导向下的圆锥曲线命题如何承载着科学思维、探究能力及情境化试题的考查目标值得一线老师思考和研究.
参考文献：
［1］于涵,任子朝，陈昂，赵轩，李勇.新高考数学科考核目标与考查要求研究［J］.课程•教材•教法,2018,38(06):21-26.
［2］任子朝.从能力立意到素养导向［J］.中学数学教学参考,2018(13)：!.
［3］任子朝.高考命题创新［J］.中学数学教学参考,2018 (28):1.
(收稿日期：2019-10-14)
例析2019年北京高考教学试題的几个亮点及启示
尹蝶
(北京市铁路第二中学北京100045)
摘要：2019年北京高考数学试题突出了对概念本源的考查、对过程性学习的评价、对开放性试题的设计探索，始终坚持“数学知识在生活中的应用”的“国民数学素养”的考查.本文例析上述的几个亮点，并提出思考和建议.
关键词:概念本源；过程性评价；开放性;数学应用
2019年的高考已经落下帷幕，但对于高考试题的研究却如火如荼,作为在高考命题中独树一帜的北京卷,在此次试题的命制中，不少方面都体现了新课程改革深入进行的探索，体现了数学教育在立德树人方面的考查•命题进一步加强了对数学学科核心素养的考查，体现了以能力立意、创新导航的数学高考新形态•作为长期在高三一线的数学教师，笔者对试题进行了研究，摘选了2019年北京卷所呈现的几个亮点进行了评析,供同行商榷.
I突出了对概念的本质和多元表征的考查
《2019年北京卷考试说明》明确指出：“数学学科高考注重考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法.”试题考查了学生对基本概念的本源的理解，及对概念进行多元表征的能力，使学生真正掌握概念，夯实基础•学生对基础知识的理解，基本能力的发展，基本态度和价值观的养成，共同构成了学生终身发展的基础.
例1(2019年北京卷文科第6题)设函数/仏) =cos”+bsinx(b为常数)，则“6=0”是7(%)为偶函数”的()•
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
评析函数的奇偶性是函数的基本性质,是完整理解函数概念的必备条件.对于考生来说，对于函数的研究，应该具备对同一概念的多元表征能力.而此题,学生可以从以下几个方面来解决：
(1)直接从定义入手•通过/(-x)=/◎),得出关于b的恒等式，从而得出6的值；
(2)从特殊值入手.由/(-于)=/(y),易得出b
作者简介：尹垛(1976-),男，四川广安人，本科，中学高级教师，研究方向：高中数学教育教学研究.。