D第五章空间向量与解析几何

b
c a
a
b (b)
ห้องสมุดไป่ตู้a
ab

a

b
3、向量与数的乘法
设 是一个数，向量a与 的乘积a规定为
(1)0, a与a同向，|a | |a |
(2)0, a 0
(3)0, a与a反向，|a | | ||a |
或
a0
a
6i7j6k.
| a | 11 11 11
例 3 设有向量 P1P2，已知 P1P2 2，它与 x轴
和
y
轴的夹角分别为
3
和
4
，如果
P1
的坐标为
(1,0,3)，求 P2的坐标.
解 设向量 P1P2的方向角为、、
, cos 1 , , cos 2,
2、空间一向量在轴上的投影
B A
u
A
B
已知向量的起点 A和终点B 在
轴u上的投影分别为 A, B那
么轴u上的有向线段 AB的
值，称为向量在轴u上的投影.
向量 AB在轴u上的投影记为 PrjuABA B.
关于向量的投影定理（1）
向量 AB在轴u上的投影等于向量的模乘
以轴与向量的夹角的余弦：PrjuAB|A|B cos
M 2
Q N
y
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M (x,y,z),O(0,0,0)
d OM x2y2z2.
例 1 求证以 M1(4,3,1)、 M2(7,1,2)、 M3(5,2,3)
M2
向量表示：a或 M1M2
M 1
向量的模：从向M量1的到大M小2的. |有a向|或线| 段M.1M2|
单位向量：模长为1的向量. a 0
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a

b
负向量：大小相等但方向相反的向量.a
a
，
x轴
上的投影及在 y 轴上的分向量.
解 a 4 m 3 n p
4 ( 3 i 5 j 8 k ) 3 ( 2 i 4 j 7 k )
已试知 用平aA,行bC表四示边a,平形行ABB四CD边D的形b对四角边线上对应的向量.
三、向量的坐标
1、空间两向量的夹角的概念：
a0,
b0,
b

向量a与向量b 的夹角
a
(a ,b )(b,a)
(0)
类似可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
特别，当两个向量中有一个零向量时，规定它 们的夹角可在0与 之间任意取值.
第五章 空间向量与解析几何
第一节 空间直角坐标系 第二节 向量代数 第三节 空间平面及其方程 第四节 空间直线及其方程 第五节 曲面及其方程
第一节 空间直角坐标系
一、 空间点的直角坐标 二、 两点间的距离
一、空间点的直角坐标
Ⅲ
z
yoz面
zox面
Ⅳ
xoy面
o
Ⅶ
x
Ⅷ
Ⅴ
1、空间直角坐标系共有八个卦限
Ⅱ
M 为有向线段 AB的定比分点. M 为中点时，
x x1 x2 , y y1 y2 , z z1 z2 .
2
2
2
4、方向余弦
非零向量 a的方向角：、、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
0,

M 2
M 1
0, 0.
o
y
x
z
由图分析可知
部 分 AM 、 MB ， 使它们 的值的 比等于 某数
( 1)，即 AM ，求分点的坐标.
MB
解 设 M(x,y,z)为直线上的点， z
B
A { x M x 1 ,y y 1 ,z z 1 } A M
o
y
M { x 2 x B ,y 2 y ,z 2 z } x
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M22 (7 4 )2 (1 3 )2 (2 1 )2 1,4 M2M32 ( 5 7 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 3 2 ) 2 6 , M3M12 ( 4 5 ) 2 ( 3 2 ) 2 ( 1 3 ) 2 6 , M2M3 M3M1, 原结论成立.
思考题 在空间直角坐标系中，指出下列各点的卦限.
A (1,2,3), B (2,3,4), C (2, 3, 4), D (2, 3,1).
第二节 向量代数
一、 向量的概念 二、 向量的运算 三、 向量的坐标 四、 向量的数量积 五、 向量的向量积
一、向量的概念
向量：既有大小又有方向的量.
z
y,
z轴正a 向 的a x 单i 位 a 向y 量 j . a zk
x
R
k M 1
M 2
向向 量量
Q
在在
P

o
j
i
N
y
x
轴
axx2x1
上 的
y 轴 上 的
向 量
在z
轴 上 的
ayy2y1 azz2z1 投 投 投
影 影 影
M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j ( z 2 z 1 ) k
3
2
4
2
c2 o c s2 o c s2 o 1 s , cos 1. 2
, 3
2. 3
设 P2的坐标为( x, y, z),
cos

x1
P1 P2
x1 2
1 2
x2,
cos y 0 y 0 2 y 2,
M 1 M 2 { x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 } 特殊地： O M {x ,y ,z}
向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
a a b {a x { ,a a x y ,b a x z , } a y , b b y ,{ a b z x ,b b z y } ,b z}, a b ( { a a x x b b x x ) , i a y ( a y b y , b a y z ) j b z ( } a z b z ) k ;
设 a 0表示与非 a 同 零 方 向 向 量 的单位
按照向量与数的乘积的规定，
a|a|a0
|
a a
|

a 0
.
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
例1 化简 a b 51b b 3a 2 5
解 a b 51b b 3a 2 5
P1 P2
22
cos z 3 z 3 1 z 4 ,z 2 ,
P1 P2
22
P2的坐标为 (2, 2,4),(2, 2,2).
例p 4
5设i mj34ik，5求j 向8量k，a n4m2i 3n4
j p7在k
{c,c oo ,s cso }.s
例2
求平行于向量a

6i

7
j

6k 的单位向
量的分解式.
解 所求向量有两个，一个与 a同向，一个反向
|a |6 2 7 2 ( 6 ) 2 11,
a 0

a | a
|
6i7j6k, 11 11 11
（1）交换律：a b b a .
（2）结合律：a b c ( a b ) c a (b c ).
（3）a ( a )0 .
2、减法 a b a ( b )
b
b
ab
c
向量方向余弦的坐标表示式
当 ax2ay2az20时，
cos
ax
,
ax2ay2az2
cos
ay
,
ax2ay2az2
cos
az
.
ax2ay2az2
方向余弦的特征
c2 o s c2 o s c2 o 1 s
特殊地：单位向量的方向余弦为
a0
|
a a
|
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
二、向量的运算
1、加法：a b c
b
c
a
（平行四边形法则或三角形法则）
特殊地：若a‖ a b
b
分为同c向和|c 反| 向|a | |b |
b a
c |c ||a ||b |
加法运算律：
按基本单位向量的坐标分解式：
M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j ( z 2 z 1 ) k
在三个坐标轴上的分向量： a xi,a yj,a zk,
向向量 量的 的坐 坐标 标表：达ax式, ：ay,a a z{ ,a x,a y,a z}
二、两点间的距离
设 M1( x1 , y1 , z1 )、 M2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
zR
M 1
d2M 1P 2P2 N N22 M ,
M 2
Q
P
N
o
y
x
M 1 P x 2 x 1, PN y2y1, N2M z2z1,
zR
M 1
P
o x
dM 1P 2P2 N N2M 2
证
B
A
B
A
B
PrjuAB PrjuAB
u u
|A|B cos
定理1的说明：
(1)0 , 投影为正；
2
(2) , 投影为负；
2
(3) , 投影为零；
2
c

a
b
u
(4) 相等向量在同一轴上投影相等；
3、向量的 坐标
以i
,
j , k 为沿 x,
由题意知： AM MB
{ x x 1 ,y y 1 ,z z 1 } { x 2 x ,y 2 y ,z 2 z },
xx1(x2x)xx11x2, yy1(y2y)yy11y2, zz1 (z2z) zz11z2,
(13)a 15 21 55 b
2a 5b. 2
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分 的四边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AMMD MCBM BC
AD与 BC平行且相等, 结论得证.
思考题
R

M 1

M 2
Q
P
o
y a a ax y z |||a a a |||c c co o o ss向 量 的 方 向s
x 方向余弦通常用来表示向量的方向.
余 弦
M 1 M 2M 1 P 2 M 1 Q 2 M 1 R 2 |a |ax2ay2a z2向量模长的坐标表示式
a { ( a a x x , b a x y ) ,i a ( z a } y b y ) j ( a z b z ) k ; ( a x ) i ( a y ) j ( a z ) k .
例 1 设 A( x1, y1, z1 ) 和 B( x2 , y2 , z2 ) 为两已知 点，而在 AB直线上的点 M 分有向线段 AB为两
yⅠ
Ⅵ
2、空间的点 1 1有序数组(x,y,z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R , 坐标面上的点 A , B , C , O(0,0,0)
z
R(0,0,z)
B(0,y,z)
C(x,o,z)
o x P(x,0,0)
M(x,y,z)
y
Q(0,y,0) A(x,y,0)
a 2a 1 a 2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律： (a )(a )()a
（2）分配律： ( ) a a a
( a b )a b
两个向量的平行关系
定 分理 必 设要 向 a 条 量 0，件 一 那是 的 末 b 平 ： 实 ， 向 行 存 b 数 使 a 量 的 于 在 a .充 唯