浙江省温州市新力量联盟2018-2019学年高二上学期期末考试数学答案

2018学年第一学期温州新力量联盟期末联考
高二年级数学学科 参考答案
一、选择题（每题4分，共40分）
二、填空题（每题4分，共28分） 11．45° 12. 15 13. 3
14.100 CM 2 （说明：没有单位CM 2
不扣分）
15.032=--y x ( 说明：能化简为该答案的答案都不扣分) 16.3 17.
3
1 三、解答题（4小题，共52分） 18. 解：(1)设),(y x P ,则
2
1
=
PA
PO …………………………2分 ∴
2
1
)3(2
222=
+-+y x y x …………………………4分 化简，得4)1(22=++y x
∴点P 的轨迹方程为4)1(22=++y x ……………6分（只要化简结果正确都给6分） （2）设圆C :4)1(22=++y x ,则当BC ⊥l 时，线段MN 的长最小………8分 ∵2)01()12(22=-++-=BC ……………10分 ∴22)2(2222min
=-=MN
即线段MN 的长的最小值是22……………12分（说明：其它解法酌情给分） 19. 解： 设),x ),,x A 2211y B y （（
（1）当直线l 的倾斜角为45°时，直线l 的方程为1-=x y ……………2分
联立方程组⎩⎨⎧=-=x
y x y 412，消去y ，得0162=+-x x …………4分
∴21x x +=6
∴826221=+=++=x x AB …………6分 (说明：直接套公式θ
22sin 222p
k p p AB =+=，计算正确给5分，公式正确，计算错误给2分)
（解法一）（2
,m =直线l 的倾斜角为θ,
,3m =
∴m
m m 2)2()4(tan 2
2-±=θ=3±（说明：没有±不扣分）
∴直线l 的方程：)1(3-±=x y ………8分
联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-±=x y x y 4)
1(32，消去y ，得
031032=+-x x …………10分
∴21x x +=
3
10
∴d==++2221x x =+2
231038………12分
（解法二）（2）联立方程组⎩⎨⎧=-=x y x k y 4)
1(2，消去y ，得 0)42(2222=++-k x k x k
∴⎪⎩⎪⎨⎧
=⋅+=+1422
1221x x k x x ()1………8分 ),1(11y x --=，),1(22y x -=
∵FB AF 3=∴)1(3121-=-x x )2( ………10分 联立)1()2(解得3
10,3212=
+=x x k ∴d==++2221x x =+2
231038………12分（说明：其它解法酌情给分）
20. (1) 证明：∵平面PAD ⊥平面ABCD
AB AD ⊥
平面PAD ∩平面ABCD =AD ABCD 平面⊂AB
d
θ
θ
C
∴PAD 平面⊥AB …………2分 又∵PAD PD 平面⊂ ∴AB D ⊥P ………4分
在中PAD Rt ∆，，︒=∠45DPB ∴，︒=∠=∠45PD DPB A ∴，AD PA =
又∵E 是PD 的中点 ∴AE D ⊥P ………6分
又∵A AB AE = ABE 平面⊂AE ABE 平面⊂AB ∴E A D B P 平面⊥………………7分
（2）解：∵PAD 平面⊥AB PAD PA 平面⊂
∴AB A ⊥P
分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系
由已知可得A （0,0,0），C(-2,4,0),D(-2，0, 0),P(0,0,2) …………………………………………………9分
∴），（2-0,2-=PD ，），，（042-= ∵E A D B P 平面⊥
∴的一个法向量是平面ABE ………………11分 设AC 与平面ABE 所成的角为θ
则10
10
4)2(220)2(40)2()2(sin 22=
++-⨯⨯-+⨯+-⨯-=
=
θ 即AC 与平面ABE 所成的角的正弦值为
10
10
………13分 (说明：用等体积法计算出点C 到平面ABE 的距离，给4分，AC 与平面ABE 所成的角的正弦值计算正确，再给2分，共6分；用传统几何法得出AC 与平面ABE 所成的角为θ，给3分，解出高给2分，最后AC 与平面ABE 所成的角的正弦值计算正确给1分，共6分；其它解法酌情给分。

)
C
21. 解：(1)由已知得⎪⎩⎪⎨⎧+===22232c b a c b a ，解得⎪⎩
⎪
⎨⎧===132b c a ………3分（正确求出a,b 的值就给3
分，仅正确求出c 得1分，只正确求出a,b 中的一个，给2分）
∴椭圆C 的标准方程是14
22
=+y x ………4分 （2）设),x ),,x A 2211y B y （（
当直线AB 的斜率不存在时，直线)2x 0,0x 2(x x AB 111<<<<-=或的方程：
==∆1x AB 21
AOB
S 1
2
1x 4
x
1⋅-)x 4(x 212121-⋅=12
)x 4(x 212
121=-+⋅≤ 时，等号成立）当且仅当2x (1±=…………6分（不指出等号成立的条件不扣分）
0448)41(4
4y )0(y AB 2
222
2=-+++⇒⎩⎨⎧=++=≠+=m km x x k y x m kx m m kx 的方程：当斜率存在时，设直线
∴≥-+=-+-=∆)14(16)1)(41(1664222222m k m k m k 0
由韦达定理得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+-=
⋅+-=+22
212
214144418k m x x k km x x ………………………7分 ∴2
222
212
41)
14(1611AB k
m k k x x k +-+⋅
+=-+=……………8分
∴2222411421AB 21k m k m k
m S AOB
+-+⋅=+=∆ ………………9分 ()()()
2
2
2
2
2
4141142
k k m m k +⋅+⋅-+=时，等号成立）当且仅当2
22
222214(14114m k k
m m k =+=++-+≤ 1的面积的最大值为AOB ∆∴.…………………10分 （不指出等号成立的条件不
扣分）
(3) 设),x M y （
0448)41(4
4y )0(y AB 2
222
2=-+++⇒⎩⎨⎧=++=≠+=m km x x k y x m kx m m kx 的方程：当斜率存在时，设直线
由韦达定理得2
214142x k km
x x +-=+=
…………………11分 由（2）可知时当且仅当
2
2
214m k =+，的面积取最大值AOB ∆ ∴⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧
=
+-⋅=+=-==+-=m m m k k m kx m k m k km 212y 22km 4-414x 22…………………12分 ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-
==y x k y m 421代入2
2214m k =+化简得121222=+y x ………14分 当直线AB 的斜率不存在时，线段AB 的中点)0,2M ±（,显然满足方程
1212
2
2=+y x ∴当 △AOB 的面积的取最大值时，
线段AB 的中点M 的轨迹方程为12
12
2
2=+y x .……15分（说明：其它解法酌情给分）。