2020版高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2.2绝对值不等式的解法练习(含解析)新人教A版选修4_5

2.绝对值不等式的解法
基础巩固1不等式|4-x|≥1的解集为()
A.{x|3≤x≤5}
B.{x|x≤3或x≥5}
C.{x|-4≤x≤4}
D.R
2不等式1
-1
1的解集为
A.{x|0<x<1}∪{x|x>1}
B.{x|0<x<1}
C.{x|-1<x<0}
D.{x|x<0}
1 -11⇔-11
-1
1
⇔
1
-1
-1
1
-1
1
⇔
1-1
-1
1-1
-1
⇔ -1
-1
⇔x<0.
3不等式-1 -
3
的解集为A3或-1
B-13
C3或-1 且-3
D.{x|x∈R,且x≠-3}
⇔-1
3⇔
-1或-1-
-3
⇔
3或-1
-3
4若关于x的不等式x+|x-1|≤a有解,则实数a的取值范围是() A.[1,+∞) B.[2,+∞)
C.(3,+∞)
D.[4,5]
f(x)=x+|x-1|,则f(x)-1 1
1 1
所以f(x)的最小值为1.所以当a≥1时,f(x ≤a有解,即实数a的取值范围为[1,+∞).
5不等式|x+3|-|x-3|>3的解集是()
A333
C.{x|x≥3}
D.{x|-3<x≤ }
x≤-3时,有-(x+3)+(x-3)>3,即-6>3,无解.
当-3<x<3时,有x+3+x-3>3,则x3
3
3
当x≥3时,有x+3-(x-3)>3,即6>3,
∴x≥3.
综上可知,原不等式的解集为3
6不等式4<|3x-2|<8的解集为.
4<|3x-2|<8,得 3-4
3-
⇒
3 4或34
3
⇒
-
3
或
- 1
3
因此-2<x<
3或2<x 1
3
故原不等式的解集为--
3或 1
3
1 3或--
3
7不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为.
-
--1 - 5
得x≤-3;
由-1
--1 5
无解;
由
1
-1 5
得x≥ .
故所求的解集为{x|x≤-3或x≥ }.
x|x≤-3或x≥ }
8若关于x的不等式|kx-4|≤ 的解集为{x|1≤x≤3} 则实数k=.
|kx-4|≤ 得- ≤kx-4≤
即 ≤kx≤6.
∵解集为{x|1≤x≤3} ∴k=2.
9已知a+b=1,对任意的a,b∈(0,+∞)14≥|2x-1|-|x+1|恒成立,求x的取值范围.
a>0,b>0,且a+b=1,
所以1414
=54≥9
当且仅当a1
33
时,等号成立.
故14的最小值为9.
因为对任意的a,b∈(0,+∞)14≥|2x-1|-|x+1|恒成立,
所以|2x-1|-|x+1|≤9.
当x≤-1时,2-x≤9 所以-7≤x≤-1;
当-1<x1时,-3x≤9 所以-1<x1
当x≥1时,x- ≤9 所以1≤x≤11.
综上所述,x的取值范围是[-7,11].
10已知关于x的不等式|2x+1|-|x-1|≤log2a(其中a>0).
(1)当a=4时,求不等式的解集;
(2)若不等式有解,求实数a 的取值范围.
令f (x )=|2x+1|-|x-1|,当a=4时,f (x ≤ .
当x< 1 时,-x- ≤ 得-4≤x< 1
当 1 ≤x ≤1时,3x ≤ 得 1 ≤x ≤
3
当x>1时,x ≤ 此时x 不存在.
所以原不等式的解集为 -4
3
(2)设f (x )=|2x+1|-|x-1| - - -1
3 -1
1 1
则f (x )∈ -3
∞ 即f (x )的最小值为 3
所以f (x ≤log 2a 有解,则log 2a ≥ 3
解得a ≥ 4 即a 的取值范围是
4 ∞
能力提升
1“a<4”是“对任意实数x ,|2x-1|+|2x+3|≥a 成立”的( )
A.必要条件
B.充分不必要条件
C.
必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
|2x-1|+|2x+3|≥|2x-1-(2x+3)|=4,
∴当a<4时⇒|2x-1|+|2x+3|≥a 成立,
即充分条件成立;
对任意实数x ,|2x-1|+|2x+3|≥a ⇒a ≤4 不能推出a<4,即必要条件不成立.
2若关于x 的不等式|x+3|-|x-1|≤a 2-3a 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为(
) A.(-∞,-1]∪[4,+∞)
B.(-∞,-2]∪[5,+∞)
C.[1,2]
D.(-∞,1]∪[2,+∞)
,得|x+3|-|x-1|的最大值为4.因此a2-3a≥4恒成立,即a≥4或a≤-1.
3已知y=log a(2-ax)在区间[0,1]上是增函数,则不等式log a|x+1|>log a|x-3|的解集为() A.{x|x<-1} B.{x|x<1}
C.{x|x<1,且x≠-1}
D.{x|x>1}
a>0,且a≠1,
所以函数f(x)=2-ax为减函数.
又因为y=log a(2-ax)在区间[0,1]上是增函数,
所以0<a<1,则y=log a x为减函数.
所以|x+1|<|x-3|,且x+1≠0,x-3≠0.
由|x+1|<|x-3|,得(x+1)2<(x-3)2,
即x2+2x+1<x2-6x+9,
解得x<1.又x≠-1,且x≠3,
所以原不等式的解集为{x|x<1,且x≠-1}.
4若不等式|2a-1|≤1对一切非零实数恒成立则实数的取值范围是
11≥
所以由已知得|2a-1|≤
即2a-1≤ 或2a-1≥-2,
解得1≤a≤3
-13
5不等式11的解集为
11⇔-1<1+x1⇔4∈-
故原不等式的解集为(-2,0).
方法二:∵1+x11111∴原不等式可化为1+x1
即x2+2x<0.∴-2<x<0.
-2,0)
6不等式|2x-1|+x>1
的解集是.
:把|2x-1|+x>1移项,得|2x-1|>1-x,把此不等式看作|f(x)|>g(x)的形式得2x-1>1-x
或2x-1<-(1-x),解得x
3
或x<0.
故原不等式的解集为
3
或
方法二:用分类讨论的方法去掉绝对值符号.
当x1时,2x-1+x>1,解得x
3
当x≤1时,1-2x+x>1,解得x<0.
综上,得原不等式的解集为
3
或
3
或
★7不等式1<|2x+1|≤3的解集为.
1 3 ①
1 1 ②
解不等式①,得-3≤ x+1≤3
∴- ≤x≤1.
解不等式②,得2x+1>1或2x+1<-1,
∴x>0或x<-1.
∴原不等式的解集为{x|- ≤x≤1}∩{x|x>0或x<-1}={x|0<x≤1或- ≤x<-1}.
x|0<x≤1或- ≤x<-1}
8设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|.
(1)解不等式f(x)>2;
(2)求函数y=f(x)的最小值.
由f(x)=|2x+1|-|x-4|,
得f(x)--5 -1 3-3 -14
5 4
作出函数f(x)=|2x+1|-|x-4|的图象(图象略),它与直线y=2的交点为(-7,2)和5
3
所以|2x+1|-|x-4|>2的解集为(-∞,-7)∪5
3
∞
(2)由y=|2x+1|-|x-4|的图象(图略)可知,当x=1时,y=|2x+1|-|x-4|取得最小值9
★9已知实数a,b满足:关于x的不等式|x2+ax+b|≤|2x2-4x-16|对一切x∈R均成立.
(1)请验证a=-2,b=-8满足题意;
(2)求出所有满足题意的实数a,b,并说明理由;
(3)若对一切x>2,均有关于x的不等式x2+ax+b≥ m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围.
当a=-2,b=-8时,有|x2+ax+b|=|x2-2x-8|≤ |x2-2x-8|=|2x2-4x-16|.
(2)在|x2+ax+b|≤|2x2-4x-16|中,分别取x=4,x=-2,得 164 4-
164
4
因此满足题意的实数a,b只能是a=-2,b=-8.
(3)由x2+ax+b≥ m+2)x-m-15(x>2),
得x2-2x- ≥ m+2)x-m-15,
即x2-4x+7≥m(x-1).
因此对一切x>2,均有不等式-47
-1
≥m成立.
-47 -114
-1
-1 4
-1
当且仅当x=3时,等号成立),
∴实数m的取值范围是(-∞,2].。