平面直角坐标系典例解析

2012年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练
平面直角坐标系
◆知识讲解
①坐标平面内的点与有序实数对一一对应；
②点P（a，b）到x轴的距离为│b│，•到y轴距离为│a
③各象限内点的坐标的符号特征：P（a，b），P•在第一象限⇔a>0且b>0，
P在第二象限⇔a<0，b>0，P在第三象限⇔a<0，b<0，P在第四象限⇔a>0，b<0；
④点P（a，b）：若点P在x轴上⇔a为任意实数，b=0；
P在y轴上⇔a=0，b为任意实数；P在一，三象限坐标轴夹角平分线上⇔a=0；
P在二，四象限坐标轴夹角平分线上⇔a=－b；
⑤A（x1，y1），B（x1，y2）：A，B关于x轴对称⇔x1=x2，y1=－y2；
A、B关于的y轴对称⇔x1=－x2，y1=y2；
A，B关于原点对称⇔x1=－x2，y1=－y2；AB∥x轴⇔y1=y2且x1≠x2；
AB∥y轴⇔x1=x2且y1≠y2（A，B表示两个不同的点）．
◆例题解析
例1已知点A（a，－5），B（8，b）根据下列要求，确定a，b的值．
（1）A，B两点关于y轴对称；（2）A，B两点关于原点对称；
（3）AB∥x轴；（4）A，B两点在一，三象限两坐标轴夹角的平分线上．
【分析】（1）两点关于y轴对称时，它们的横坐标互为相反数，而纵坐标相同；
（2）两点关于原点对称时，两点的横纵坐标都互为相反数；
（3）两点连线平行于x轴时，这两点纵坐标相同（但横坐标不同）；
（4）当两点位于一，三象限两坐标轴夹角的平分线上时，每个点的横纵坐标相同．
【解答】（1）当点A（a，－5），B（8，b）关于y轴对称时有：
8
5
A B
A B
x x a
y y b
=-=-⎧⎧
∴
⎨⎨
==-
⎩
⎩
（2）当点A（a，－5），B（8，b）关于原点对称时有
8
5
A B
A B
x x a
y y b
=-=-⎧⎧
∴
⎨⎨
=-=
⎩
⎩
（3）当AB∥x轴时，有
8
5
A B
A B
x x a
y y b
≠≠
⎧⎧
∴
⎨⎨
==-
⎩
⎩
（4）当A，B两点位于一，三象限两坐标轴夹角平分线上时有：
x A=y B且x A=y B即a=－5，•b=8．
【点评】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键．
例2 如图所示，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是
（0，6），（－8，0），求Rt△ABO的内心的坐标．
【分析】本题考查勾股定理，直角三角形内心的概念，运用内心到两坐标轴的距离，结合实际图形，确定内心的坐标．
【解答】∵A（0，6），B（－8，0），∴OA=6，OB=8，
在Rt△ABO中，AB2=OA2+OB2=62+82=100，∴AB=10（负值舍去）．
设Rt△ABO内切圆的半径为r，
则由S△ABO=1
2
×6×8=24，S△ABO =
1
2
r（AB+OA+OB）=•12r，知r=2，
而内心在第二象限，∴内心的坐标为（－2，2）．
【点评】运用数形结合并借助面积是解答本题的关键．
◆强化训练
一、填空题
1．（2006，诸暨）已知A，B，C，D点的坐标如图1所示，E是图中两条虚线的交点，若△ABC和△ADE 相似，则E点的坐标为_______．
图1 图2 图3
2．已知点A（m2+1，n2－2）与点B（2m，4n+6）关于原点对称，则A关于x•轴的对称点的坐标为_____，B关于y轴的对称点的坐标为______．
3．（2006，苏州）在图2的直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，A•点坐标为（2，－1），则△ABC的面积为_______平方单位．
4．在直角坐标系中，已知点A（－5，0），B（－5，－5），∠OAB=90°，•有直角三角形与Rt△ABO 全等并以BA为公共边，则这个三角形未知顶点的坐标是_______．
5．已知m为整数，且点（12－4m，19－3m）在第二象限，则m2+2005的值为______．
6．如图3所示，在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的．左图案中左右眼睛的坐
标分别是（－4，2），（－2，2），右图案中左眼的坐标是（3，4），•则右图案中右眼的坐标是_______． 7．（2006，绍兴）如图4所示，将边长为1•的正方形OAPB •沿x •轴正方向连续翻转2006次，点P 依次落在点P 1，P 2，P 3，P 4，…，P 2006的位置，则P 2006的横坐标x 2006=_______．
图4 图5 图6
8．（2008，潍坊）如图5所示，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A ，1），若将△OAB 逆时针旋转60°后，B 到到达B ′点，则B ′点的坐标是_______． 二、选择题
9．（2008，贵阳）对任意实数x ，点P （x ，x 2－2x ）一定不在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
10．图6是中国象棋棋盘的一部分，若○帅在点（1，－1）上，○车在点（3，－1）上，•则○马在点（ ） A ．（－1，1） B ．（－1，2） C ．（－2，1） D ．（－2，2）
11．已知平面直角坐标系上的三个点O （0，0），A （－1，1），B （－1，0），•将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转135°，则点A ，B 的对应点A ，B 的坐标分别是（ ）
A 2，2）
B ，0），（2，2
）
C ．（02）
D ，2
） 12．已知点A （2a+3b ，－2）和点B （8，3a+2b ）关于x 轴对称，那么a+b=（ ） A ．2 B ．－2 C ．0 D ．4
13．若点A （－2，n ）在x 轴上，则点B （n －1，n+1）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 14．如图7所示，在平面直角坐标系中，ABCD 的顶点A ，B ，D 的坐标分别是（0，0），（5，0），
（2，3），则顶点C 的坐标是（ ）
A ．（3，7）
B ．（5，3）
C ．（7，3）
D ．（8，2）
图7 图8
15．（2008，济南）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图8所示，将△ABC向右平移6个单位，则平移后A的坐标是（）
A．（－2，1）B．（2，1）C．（2，－1）D．（－2，－1）
16．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，已知A点的坐标为（1，1），•请你在坐标轴上找出点B，使△AOB为等腰三角形，则符合条件的点B共有（）
A．6个B．7个C．8个D．9个
三、解答题
17．（2008，河南）如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），•点B的坐标为（8，0），点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，•求点C的坐标．
18．（2006，晋江）如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，•点A在原点，AB=3，AD=5，矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向做匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A─B─C─D的路线做匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；
（2）设P点运动时间为t（s）；
①当t=5时，求出点P的坐标；
②若△OAP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t•的取值范围）．
19．（2006，泰州）将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，•OA=6，OC=10．（1）如图所示，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；
（2）如图所示，将矩形变为矩形OA′B′C′，在OA′，OC′边上选择取适当的点E′，F′，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在A′B′边上的D′点，过D′作D′G•∥A′O交E′F于T 点，交OC′于G点，求证：TG=A′E′．
（3）在图的条件下，设T（x，y）：
①探求：y与x之间的函数关系式；②指出变量x的取值范围．
20．（2005，南京市）如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P•与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心．此时，点M是线段PQ的中点．如图5－14所示，在直角坐标系，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为（1，0），（0，1），（0，0）．点列P1，P2，P3，•…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称，点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…，对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环．已知P1的坐标是（1，1），试写出点P2，P7，P100的坐标．
21．（2005，沈阳市）如图所示，在方格纸（每个小方格都是边长为1•个单位长度的正方形）中，我们称每个小正方形的顶点为格点，•以格点为顶点的图形称为格点图形．如图中的△ABC称为格点△ABC．（1）如果A，D两点的坐标分别是（1，1）和（0，－1），请你在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点B，点C的坐标；
（2）请根据你所学过的平移，旋转或轴对称等知识，•说明图中“格点四边形图案”是如何通过“格点△ABC图案”变换得到的．
22．（2005，苏州市）如图a所示，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），D是BC边上的动点（与点B，C不重合），•现将△COD沿OD 翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG，
DF重合．
（1）如图b所示，若翻折后点F落在OA边上，求点D，E的坐标；
（2）设D（a，6），E（10，b），求b关于a的关系式．
(a) (b)
答案
1．（4，－3）
2．由m2+1+2m=0，且2m<1，m<0，得m=－1，n2－2+4n+6=0得n=－2即A（2，2），B（－2，－2），∴A关于x轴对称点为（2，－2），B关于y轴对称点为（2，－2）．
3．5
4．画图并讨论得未知点坐标为（0，－5），（－10，0），（－10，－5）．
5．由已知得12－4m<0，19－3m>0，∴3<m<61
3
且m为整数，∴m=4，5，6；m2+2005•的值相应为2021，
2030，2041．
6．（5，4）7．2006 8．（
2，
3
2
）9．C 10．D 11．B
12．由已知得2a+3b=8，3a+2b=2解得a=－2，b=4，∴a+b=2，故选A．13．B 14．C 15．B 16．C
17．如图所示，∵四边形OCDB是平行四边形，B（8，0）．
∴CD ∥OA ，CD=OB=8．
过点M 作MF ⊥CD 于点F ， 则CF=
1
2
CD=4． 过点C 作CE ⊥OA 于点E ． ∵A （10，0），∴OA=10，OM=5． ∴OE=OM －ME=OM －CF=5－4=1． 连接MC ，则MC=
1
2
OA=5．
∴在Rt △CMF 中，MF==． ∴点C 的坐标为（1，3）．
18．（1）P 点从A 点运动到D 点所需的时间为（3+5+3）÷1s=11s
（2）①当t=5时，P 点从A 点运动到BC 上，此时OA=10，AB+BP=5，∴BP=2，
过点P 作PE ⊥AD 于点E ，则PE=AB=3，AE=BP=2，∴OD=OA+AE=10+2=12， ∴点P 的坐标为（12，3）；•
②分三种情况：当0<t ≤3时，点P 在AB 上运动．此时OA=2t ，AP=t ，
∴S=
1
2
×2t ×t=t 2． 当3<t ≤8时，点P 在BC 上运动，此时OA=2t ． ∴S=
1
2
×2t ×3=3t ． 当8<t<11时，点P 在CD 上运动，此时OA=2t ，AB+BC+CP=t ． ∴DP=（AB+BC+CD ）－（AB+BC+CP ）=11－t ∴S=
1
2
×2t ×（11－t ）=－t 2+11t ． 19．（1）设OE=a ，∵△EOC ≌△EDC ∴OE=DE=a ，OC=CD=10． 又AE=6－a ．在Rt △DBC 中，
==8 ∴AD=10－8=2．
在Rt △DAE 中，AE 2+AD 2=DE 2． 即（6－a ）2+22=a 2，∴a=
103，∴E （0，103
）
（2）连接OT，∵△E′OF≌△E′D′F
∴∠FE′D′=∠FE′O，E′D=E′O
又∵E′T=E′T，∴△E′DT≌△E′OT
∴∠E′D′T=∠E′O′T
∵∠E′D′T+∠E′D′A′=∠E′OT+∠TOG=90°
∴∠E′D′A′=∠TOG
又∵A′D′∥OG，A′O∥D′G
∠A′OC′=90°=∠D′GO=∠OA′D′
∴四边形A′DGO为矩形，∴A′D′=OG
∴△A′E′D′≌△OTG，∴A′E′=TG
（3）①由（2）知：A′E′=TG=y，OG=A′D′=x, E′O=E′D′=6－y．在Rt△E′A′D′中，x2+y2=（6－y）2
∴y=－
1
12
x2+3
②在（1）的情况下，x取得最大值x=A′E′=6－10
3
=
8
3
．
在E′点与A′点重合时，x取得最小值，x=6．
∴8
3
≤x≤6
20．P2的坐标是（1，－1），P7的坐标是（1，1），P100的坐标是（－1，－3），先找出规律，再写出P100的坐标．
21．（1）如图所示．B（－1，－1），C（3，－1）．
（2）把“格点△ABC图案”向右平移10个单位长度，再向上平移5个单位长度后，•再以点P（11，4）为旋转中心，按顺时针方向旋转180°，即得到“格点四边形图案”．
22．（1）由已知得DF=OF=OC=CD=6
∴D（6，6），又OA=10．
∴DB=4，故DG=GE=EB=DB=4．
∴EA=2，即E（10，2）．
（2）由题设可知∠CDO=∠ODF，∠BDE=∠GDE，∵∠CDO+∠ODF+∠BDE+∠GDE=180°，
∴∠CDO+∠BDE=90°，
∵∠COD+∠CDO=90°，
∴∠COD=∠BDE，
又∵∠OCD=∠DBE=90°
∴△COD∽△BDE
∴CD CO
BE BD
=，又BE=6－b，BD=10－a
∴
6
610
a
b a
=
--
，即b=
1
6
a2－
5
3
a+6．。