第2章平稳时间序列模型

第二章 平稳时间序列模型
本章将介绍Box-Jenkins 方法，主要包括一元平稳时间序列的识别、估计、诊断和预测方法。

2．1 平稳性
时间序列t y 的均值和协方差 ()t t E y μ=
,cov(,)[()()]t s t t s s t s y y E y y μμγ=--=
一个随机过程的线性性质可由均值和协方差来描述。

如果这个过程是正态过程， ,,t t s μγ可以完全刻画这个随机过程的分布性质。

如果没有正态性质，但生成过程是线性的，则在它的均值和方差中可获得关于这个过程的更多的重要特征。

下面的问题是如何来估计t μ，对于一些过程我们可以得到大量的实现（反复做观测）,1,2,,.1,2,,.jt y t n j k ==那么，t μ的估计是
1
1ˆk
t jt j y k μ
==∑
但对大多数过程来说，得不到更多的实现。

如，不可能把经济停下来，然后重新开始观测。

对一个实现，不可能估计出t μ。

为了克服这个困难，时间序列分析要做如下的假设：均值和方差不随时间而改变。

如果对任何t, t-s, 都有
μ==-)()(s t t y E y E
2
22)()(y s t t y E y E σμμ=-=--
s s j t j t s t t y y y y γ==----),cov(),cov(
这里 2,y μσ都是常量，与时间无关，s γ是依赖于s 的常量。

这样的随机过程称为协方差平稳。

可以简单地说，如果一个时间序列的均值和协方差不受时间变化影响，则称这个时间序列是协方差平稳。

在一些文献中，协方差平稳的过程也称为弱平稳，二阶矩平稳或宽平稳过程。

（注意一个强平稳过程不一定有有限的均值和方差）。

一个更进一步的假设是遍历性（ergodic ）。

这是一个较难理解的一个概念。

遍历性是指，按时间平均
1
1n
n t t y y n ==∑
是总体均值μ的无偏、一致估计。

即(),()0,()n n E y Var y n μ=↓→∞。

同理，s γ的估计也是一致的。

因此，如果有平稳性和遍历性的假设，利用关于时间的平均，就可以得到较好的估计。

遍历性的一个必要条件（但不充分）是
0()s s γ→→∞。

对于一个协方差平稳的序列，t y 和s t y -之间的自相关系数可定义为
0/γγρs s =
因此， 1-t t y y 和之间的自相关系数与1---s t s t y y 和之间的自相关系数相同，显然10=ρ。

序列,0,1,2,,s s ρ=描述了这个过程的一个值与先
前的值的相关程度，所以自相关系数可用来测量过程本身的记忆性的长度和强度，即在时刻t 的值与时刻t-s 的值的相关程度。

,0,1,2,,s s ρ=的图形被称为相关图。

用来刻画这个过程生成机制
的线性性质。

2.2 自回归模型
如果一个时间序列t y 可表示成
1,
t t t t y y αεε-=+是零均值白噪声
则称t y 为一阶自回归过程。

记为t y ~(1)AR 。

由Yule (1927) 引入，起源于实践。

如，每月的失业人数可认为是上月失业人数的一个固定比例，加上寻求职业的工人数。

如果这些人数形成一个白噪声序列，那么，失业序列就是一阶自回归。

更一般的形式
01p
t j t j t
j y y ααε-==++∑
称为p 阶自回归过程。

记为t
y ()AR p 。

如果0
()1p
j j j z z αα==-∑=0的根在单位园1z =外，则过程t y 是平稳
的。

用滞后算子表示为 ()t t L y αε=，它的一般解为 1
()
t t y L εα=。

如果平稳性条件成立，则,00
1t j t j j y b b ε∞
-===∑。

这里，0
()1()j j j b L b L L α∞
===∑。

特别地，如果t y ~(1)AR 那么，()1z z αα=-，所以，
0j t t j j y αε∞
-==∑ (2.2.1)
如果()0t E ε=，则2
222
()1j
t j Var y εεσσα
α
∞
===-∑，由此可看出，如果1α≥，t y 的解具有发散性质。

2.3 运动平均模型 一般的运动平均的模型是 ∑--=q
i i t i t x 0εβ
按这样方式构成的序列被称为阶为q 的运动平均，记为t x ~MA(q)。

运动平均过程由Yule （1926）引出，Wold （1938）进行了详细地研究。

如果一个经济变量处在均衡中， 如果受到来自经济系统内部（或外部）不可预期事件的冲击而偏离原来状态。

如果本系统并不能立刻吸收这些冲击效应，那么，将出现一个运动平均模型。

如，一个小型商品市场得到了一系列关于农产品状况的信息， 一条特别新闻对价格有即时影响，也有不同程度的滞后影响，令
t y 表示价格在
t 处的变化，假设这种冲击影响价格变化，直到q
天,这种冲击影响消失。

这时，较适当的模型是MA(q)
11t t t q t q y εβεβε--=++
+
如果影响是逐渐消失,(01j j βαα=<<），1,2,j =
，即j 天前的影
响是j
α，则 0
j t t j j y αε∞
-==∑, 由（2.2.1），t y 可表示成
1t t t y y αε-=+
这时，()MA ∞过程等价于(1)AR 过程。

由2.2节知道，平稳的()AR p 过程可以写成()MA ∞，那么，如
果0
()1q
j j j z z ββ==-∑的根在单位园外（可逆性性条件成立），则()
MA q 过程∑=-=q
j j t j t y 0
εβ可以写成()AR ∞过程。

2.4 ARMA 模型
将自回归模型和运动平均模型结合起来，
01
p
q
t i t i i t i i i y y ααβε--===++∑∑ （2.4.1）
总可以将0β标准化成1，如果自回归部分和运动平均部分的滞后阶数分别为p,q ，模型被称为ARMA(p,q)。

如果q=0，这过程被称为自回归过程AR(p), 如果p=0, 这过程是运动平均过程MA(q)。

在ARMA 模型中，允许p,q 是无限的。

用滞后算子表示为 ()()t t L y L αβε=
这里1
()1,()1p
q
j
j j j j j L L L L ααββ===-=-∑∑。

这时容易知道：
（1） 如果()0z α=的根在单位园外，则过程是平稳的。

（2） 如果过程是平稳的，则有一个等价的()MA ∞过程
00,1t j t j j y c c ε∞
-===∑。

（3） 如果()0z β=的根在单位园1z =外（通常称为可逆性条
件），则有一个等价的()AR ∞过程1t j t j t j y d y ε∞
-==+∑。

这说明，一个平稳的ARMA 过程}{t y 可以逼近高阶MA 过程。

如果过程}{t y 满足可逆性条件， 这过程可以逼近高阶AR 过程。

2．5 自相关函数
Box-Jenkins(1976)在识别和估计时间序列时，给出了非常有用的工具是自协方差和自相关。

如AR(1)模型t t t y a a y ε++=-110 )1/(2120a -=σγ )1/(2112a a s s -=σγ
每个0γγ用s 除，得到自相关s s a a a 1212110,,,,1====ρρρρ 。

对于AR(1)过程，平稳的必要条件是11<a 。

s ρ相对 s 的图形称为自相关函数(ACF)。

因此，如果这个序列是平稳的，这个自相关函数是几何收敛到零。

如果1a 是正的，则这个自相关函数直接收敛到零。

如果1a 是负的，这个自相关函数按振荡的方式收敛到零。

AR(2)过程的自相关函数
t t t t y a y a y ε++=--2211 （2.5.1）
这里省略了截距项0a ，这是因为截距不影响ACF 。

下面利用Yule-Walker 方程的方法：用s t y -分别乘方程（2.5.1）两边，并取期望，可得
,2,1,02211=++=------s y E y Ey a y Ey a y Ey s
t t s t t s t t s t t ε
由于 2,0t t t t s E y E y εσε-==，可得
222110σγγγ++=a a （2.5.2） 12011γγγa a += （2.5.3） 2211--+=s s s a a γγγ （2.5.4）
用0γ除方程（2.5.3），（2.5.4）得
12011ρρρa a += （2.5.5） 2211--+=s s s a a ρρρ （2.5.6） 由10=ρ，有)1/(211a a -=ρ，因此，利用方程（2.5.6）可求出所有
2,≥s s ρ。

对于二阶过程的平稳性限制条件是21210a z a z --=的根在单位圆外，如果根是实的，自相关按指数衰减；如果根是复的，自相关按震荡式衰减。

MA(1)过程的自相关函数
下面考虑MA(1)过程1-+=t t t y βεε。

用s t y -乘方程两边，并取期望，可得Yule-Walker 方程
22110)1()])([()(σββεεβεεγ+=++===--t t t t t t t E y Ey y Var 221111)])([(βσβεεβεεγ=++==----t t t t t t E y Ey
并
1,0)])([(11>=++==-----s E y Ey s t s t t t s t t s βεεβεεγ，
用0γ除s γ可得ACF ：1,0),1/(,1210>=+==s s ρββρρ。

下面求MA(q) 过程∑=-=q
j j t j t y 0εβ，01β=的自相关函数。

111111t t t s t s s t s s t s q t q y εβεβεβεβεβε---+-+---=++++++
+ 11t s t s t s q s t q y εβεβε------=
++
+q t q s βε--+
+
所以，21122()[],s t t s s s s q s q E y y s q εγσβββββββ-++-==++++≤ 0,
s s q γ=>。

因此，对充分大的,0s s γ→。

下面求ARMA(1，1)过程的自相关函数
考虑ARMA(1，1)过程1111--++=t t t t y a y εβε，可同样求出Yule-Walker 方程：
211121101111)(σββσγγεβε+++=⇒++=--a a y E y E y Ey a y Ey t t t t t t t t
2101111111111σβγγεβε+=⇒++=------a y E y E y Ey a y Ey t t t t t t t t 11221122112γγεβεa y E y E y Ey a y Ey t t t t t t t t =⇒++=------
111111-------=⇒++=s s s t t s t t s t t s t t a y E y E y Ey a y Ey γγεβε
因此， 2
2111210)
1(21σββγa a -++=
2
2
111111)1())(1(σββγa a a -++=
2
11211111)
21())(1(σββββρa a a ++++=
2,11≥=-s a s s ρρ。

因此，ARMA(1，1)的ACF 类似于AR(1)的ACF 。

如果,101<<a 收敛
是直接的，如果011<<-a ，收敛是振荡的。

2．6 偏自相关函数
为了说明偏自相关函数的作用，考虑自回归过程AR(p)
1(1)p
i i t t i L y αε=-=∑
则有1
,0p
s j s j j s γαγ-==>∑，两端同除0γ得
1
,0p
s j s j j s ραρ-==>∑
对任何随机过程，偏自相关kk φ被定义为下面方程的解： 1,0,1,2,,k
s kj s j j s k ρφρ-===∑
因而，对任何阶为p 的自回归过程，偏自相关pp p φα=，阶数大于p 的偏自相关为零。

s t t y y -和 之间的偏自相关不依赖于s t t y y -和 之间的11,,t t s y y --+们的相关性。

求偏自相关函数的直接方法是：首先从序列中减去序列的平均值，获得一个新序列μ-=*t t y y ，然后构造一阶自回归
t t t e y y +=*-*111φ，
这里t e 是误差项，可以不是白噪声。

这时，11φ既是1-t t y y 和之间的 自相关也是偏自相关。

构造二阶自回归
t t t t e y y y ++=*-*-*222121φφ
22φ是2-t t y y 和之间的偏自相关函数。

即22φ是2-t t y y 和之间除去1t y -的影响后的相关系数。

重复这个过程得到偏自相关函数(PACF)。

大多数统计计算软
件包都有相应的计算程序。

下面给出了各种ARMA 过程的ACF 和PACF 的性质。

表2.6.1 ACF 和PACF 的性质
过程 ACF
PACF 白噪声
所有)0(,0≠=s s ρ
所有0=ss φ
AR(1):01>a , 指数衰减：s s a 1=ρ 2,0,111≥==s ss φρφ AR(1):01<a , 振荡衰减：s s a 1=ρ 2,0,111≥==s ss φρφ
AR(p)
衰减（可以振荡）到零
在p 期前有峰值，但在p 期之后p s ss ≥=,0φ
MA(1):0>β
在滞后1期处有正峰值，但2,0≥=s s ρ
振荡衰减，011>φ MA(1):0<β
在滞后1期处有负峰值，但2,0≥=s s ρ
几何衰减，011<φ ARMA(1，1) 01>a
在滞后1期处开始按几何衰减
)(11βρ+=a Sign Sign
在滞后1期处振荡衰减 111ρφ=
ARMA(1，1) 01<a
在滞后1期处开始振荡衰减
)(11βρ+=a Sign Sign
在滞后1期处按指数衰减
11111,ss Sign Sign φρφφ==
ARMA(p,q) 在滞后q 期开始衰减 （或直接或振荡）
在滞后p 期开始衰减 （或直接或振荡）
2.7 平稳序列的样本自相关
在实际中,一个序列的理论均值、方差、自相关通常是未知的。

如果这序列是平稳的,我们可以用样本均值,样本方差,样本自相
关来估计它们。

假设有T 个观测值T y y ,,1 ,令2ˆ,,y σ
ˆs r 是s ρσμ,,2的估计量： ∑==T
t t
y T y 1
1
∑=-=T
t t y y T 1
22
)(1ˆσ
对每个 ,2,1=s
12
1
()()
ˆ()T
t
t s t s s T
t
t y
y y y r
y
y -=+=--=-∑∑
可用样本自相关函数ACF 和样本偏相关函数PACF 与理论值做比较来识别数据生成过程的性质。

Box-Jenkins(1976)在t y 是平稳具有正态误差假设下，讨论
了样本值s r 的分布和i p i p ++,ˆφ的分布。

在零假设0:H 0s r =下，ˆs r
渐近服从均值为零的正态分布，其中方差为
1
(),1s Var r s T
=
= 1
21
1
ˆ(12),1s j j r
s T -==+>∑ （2.7.1）
在零假设0,:0p i p i H φ++=下，i p i p ++,ˆφ渐近服从均值为零的正态分布，其中，i p i p ++,ˆφ的方差渐近于
T
1。

在实际检验中，我们可以使用这些样本值来构造样本自相关
s r 和偏相关函数kk φ，利用（2.7.1）进行显著性检验。

例如，如果我们使用95%置信区间（即，2个标准差），且计算出的1r 值大于T /2，则拒绝零假设-一阶自相关在统计意义上不是显著异于零。

拒绝零假设意味着接受备择假设1>s 。

下面检验是否20;r = 这时，221()(12)/Var r r T =+，如果10.5,100,r T == 则2()Var r =0.015,标准差为0.123。

如果 2r 超过123.02⨯，则拒绝假设02=r 。

因此，拒绝零假设意味着接受备择假设2>s 。

重复上述过
程，我们可确定这个过程的阶数。

Q-统计量可用来检验自相关是否显著不为零，Box-Pierce (1970) 利用样本自相关构造了统计量
∑==s
k k r T Q 12
在0:0=k r H 下，Q 是渐近2x -分布，自由度为s ，较高的样本自相关可导致较大Q 的值。

显然，白噪声过程（所有的自相关都为零）的Q 值为零。

如果Q 的值超过2χ表中的临界值，我们可以拒绝零假设（ 各阶自相关都为零），意味着接受备择假设：至少有一个自相关不为零。

然而，即使在大样本情况下，Box-Pierce 的Q 统计量有偏差，Ljung 和Box(1978)给出了修正的Q-统计量
∑=-+=s
k k k T r T T Q 12)/()2(
如果这个Q 值超过)(2s χ表中的临界值，那么至少有一个k r 在给定的显著水平上显著不为零。

Box-Pierce 和Ljung-Box 的Q 统计
量也可用来检验来自于ARMA(p,q)模型的残差是否为白噪声。

但是，如果对ARMA(p,q) 模型的残差计算s个自相关，则Q统计量的自由度就会由待估计的系数个数增加而减少。

因此，如果检验ARMA(p,q)模型的残差时，Q统计量有自由度为s-p-q的2χ分布，（如果包含常数的话，自由度就是s-p-q-1）。

2.8 选择模型准则
一个自然的问题是：所选择的模型拟合数据效果如何？增加滞后阶数一定能减少残差平方和。

但是增加滞后阶数需要估计更多的参数，使自由度减少。

而且，系数个数的增加降低预测的精度。

因而产生了各种选择模型的准则（能降低残差平方的更节俭的模型）。

有两个通常使用的准则是Akaike信息准则(AIC)和Schwartz Bayesian准则(SBC).
AIC=T ln(残差平方和)+2n
SBC=T ln（残差平方和）+n ln(T)
这里n=估计的参数的个数（p+q+常数项个数），T=观测值个数。

当使用滞后变量估计模型时，一些观测值被损失。

为了比较选择的模型，T应当是固定的。

当然希望AIC和SBC尽可能小（也可能是负的）,随着模型拟合的改进，AIC和SBC将趋于∞
-。

我们能利用这些准则，选择最适合的模型。

如果模型A的AIC（或SBC）小于模型B的AIC （或SBC），我们就说模型A拟合的比B好。

在使用这些准则对不同的模型进行比较时，必须在相同的样本期间内进行估计，以
使它们可进行比较。

回归变量个数n 的增加，可以降低残差平方和。

因此，如果一个回归变量没有解释能力，把它添加到模型中会引起AIC 和SBC 增加。

由于ln(T)大于2，所以，SBC 总是比AIC 选择更节俭的模型。

两个准则中，SBC 有更好的大样本性质。

令数据生成过程的真正阶为),(**q p ，假设我们利用AIC 和SBC 估计阶为(p,q)的ARMA 模型，这里*≥p p *≥q q ，当样本个数趋于无穷时，AIC 和SBC 都将选择阶数大于等于),(**q p 的模型。

然而，AIC 倾向于选择参数过多的模型，而SBC 却是渐进一致的。

但在小样本中，AIC 优于 SBC 。

如果AIC 和SBC 选择了同一模型，对这个模型就应当有较大的信心。

如果两个准则选择了不同的模型，这时就需要再进一步的分析。

由于SBC 倾向于选择更节俭的模型，所以一旦选择了这个节俭模型，还需要检验残差是否为白噪声。

因为AIC 能选择参数过多的模型，所有系数的t-统计量都应是显著的（在适当的显著水平下）。

以后我们还会介绍更多的诊断检验来检验模型的充足性。

2.9 AR(1)模型的估计
让我们用一个例子说明利用样本自相关、偏相关函数来识别ARMA 模型。

利用计算机生成100个正态分布的随机数（方差为1），这些随机变量称为100,,2,1,⋅⋅⋅=t t ε.t y 由t 1t t 7y .0y ε+=-和初始条件
0y 0=生成
上图给出了样本自相关和偏自相关函数的图形。

在实际中，我们不知道真实的数据生成过程。

假设我们利用这100个数据（样本值）来找出真正过程。

第一步，比较ACF 和PACF 。

ACF 的衰减和PACF 在滞后一阶处的截尾说明了AR(1)模型。

前三个自相关123r 0.74,r 0.58,
r 0.47===（有时大于理论值
21r 0.7,0.49(0.7),0.343==）。

在PACF 中，滞后1阶处有一个显著的
高峰值0.74，所有其它偏自相关（除在滞后12阶处）都非常小。

在零假设01H :=0,r 下， 1r 的标准差是1.0T
2
1
=-，因为1r =0.74
的样本值大于7个标准差。

我们可以拒绝1r =0的零假设。

再计算
2r 方差
021.0100/))74.0(21()r (Var 22=+=
因为2r 的标准差1449.0)021.0(2
1
=，2r 的样本值大于3倍（0.58/0.15）的标准差；在通常的显著水平下，我们可以拒绝2r =0的零假设。

我们可同样检验其它自相关值的显著性。

除11φ外，所有偏自相关函数（除滞后12阶外），都小于2.02T 2
/1=-。

ACF
的衰减和PACF
的一个高峰值建议了一阶自回归模型。

然而，如果我们不知道真正过程，而且使用了月度数据，这时需要关注偏自相关函数在滞
后12阶处的显著性，需要关注t y 和12t y -的直接关系。

尽管我们这里知道这过程是由AR(1) 生成的，下面我们将两个不同的模型作一比较。

假设我们估计AR(1)模型，并试图用MA 系数捕捉的在滞后12阶处峰值。

因此，考虑两个模型
模型1：t 1t 1t y y a ε-=+ 模型2：t 1t 1t 12t 12y y a εβε--=++
下表报告了两个估计结果，模型1的系数满足稳定性条件11a <且标准差较低（零假设的t-统计量值大于12）。

作为诊断检验，也可以做出拟合模型的残差的相关图。

这些残差的Q-统计量说明：每个自相关都小于2倍标准差。

这些残差的Ljung-Box 的Q –统计量说明：Q(8)、Q(12)、Q(24)都显著为零（接受原假设）。

这强烈说明AR(1)模型拟合数据拟合的较好。

如果残差的自相关是显著的，说明AR(1)模型没能利用所有t y 信息。

考察模型2，注意两个模型产生类似的一阶自回归系数和标
准差。

然而，系数12β的估计是不显著的，应该被去掉。

通过比较两个模型的AIC 和SBC ，降低残差平方和的益处会被估计更多参数带来的不利影响所抵消。

这些都说明应该选择模型1。

2．10 ARMA(1.1) 模型的估计
构造第二个序列}{t y ，来说明ARMA(1.1)模型的估计。

给定100个正态分布的序列}{},{t t y ε按如下生成 117.07.0---+-=t t t t y y εε 这里00,εy 都为零。

样本ACF 和PACF 的图
如果数据生成过程是未知的，还要关注一些相近的情形。

AR(2)模型也许能产生类似上图的ACF 和PACF 。

考虑三个模型
模型1：t t t y a y ε+=-11
模型2：1111--++=t t t t y a y εβε 模型3： t t t t y a y a y ε++=--2211
下表给出估计结果：
ARMA(1.1) 模型的估计
有上表可看出：所有
a的估计值都是高度显著的。

每个估计值至
1
少是8倍的标准差。

显然AR(1)模型是不适合的。

模型1的Q统计量说明：在残差中有显著的自相关性。

而ARMA(1.1)并不存在这样问题。

而且，AIC和SBC都建议选择模型2。

同样的理由也说明选择模型2比选择模型3较为适合。

我们还可注意到：对每个模型，估计的系数都是高度显著的。

虽然在滞后24阶处，Q-统计量没有说明这两个模型的残差中有自相关，在滞后8阶处，Q-统计量指出了模型3的残差中有序列相关。

因此，AR(2)模型也没能像ARMA(1.1)模型捕捉到短期动态。

AIC和SBC都选择了模型2。

消费价格指数
序列存在自相关：
关于ARMA 模型的预测
考虑一个平稳的ARMA(p,q)模型
t t L y L εβα)()(=
q t q t t p t p t t y y y ----+++++++=εβεβεααα 11110
在T 时刻的最小均方误差（MMSE ）预测h T h T f y ++=由条件期望给出h T f +=E [ ,,11110--+-++-+++++++++T T q h T q h T h T p h T p h T y y y y εβεβεααα]， 现在有
⎩⎨⎧>≤=++-+0
,
0),(,
,1j f j y
y y y E h T j T T T j T ，
⎩
⎨⎧>≤=+-+0,00),(,
,1j j y y E j T T T j T ε
ε ， （1） 当0≤j 时，用已知值j T y +，j T +ε代替过去的期望值； （2） 当0>j 时，用预测值j T f +，0代替将来的期望值； 例子， 考虑一个AR(2)模型 t t t t y y y εααα+++=--22110
h T h T h T h T y y y +-+-+++++=εααα22110
当1=h 时，12101-+++=T T T y y f ααα 当2=h 时，T T T y f f 21102ααα++=++ 当2>h 时，22110-+-++++=h T h T h T f f f ααα
也可写成 )()(2121210-+-+-++-+++=h T h T h T h T f f f f αααα 反复迭代，有
)()()()(211
212211
210j h T j h T h j j T h
h j j
h T f f y f --+--+-=-=+-+++++=∑∑αααααααα
对于平稳过程（1,1221<<+ααα），有 当∞→h 时，
)(12
10
t h T y E f =--=
+ααα
因此，对于平稳过程长期最好预测是该过程的均值。

方差的平稳性
设有 t t t y εμ+=， t μ是常数序列
假设t ε方差与t μ有下面关系
22)()()(σμεt t t h V y V == )(⋅h 是某个已知函数。

找一个函数变换)(⋅g 使)(t y g 的方差是常数：
)()()()(t t t t t g y g y g μμμ'-+≈
)()())((2t t t y V g y g V μ'≈=222)()(σμμt t h g '
为使方差平稳，必须有 )
(1
)(t t h g μμ=
' 如果t y 的标准差与t μ成正比例，即t t h μμ=)(，所以， t t g μμlog )(=， （可用自然对数来稳定方差） 如果t y 的方差与t μ成正比例，即1)(t t h μμ=，所以， 12)(t t g μμ=， （可用平方根来稳定方差） 还有更广泛的变换函数
λ
μμλ1
)(-=t t g ， （0,log )(→→λμμt t g ）
尽管人们常用对数变换稳定方差，但只用这种方法不可能完全消除异方差。

需要一系列适当的模型来刻画异方差。