2.3.1数乘向量

（2）如果非零向量 与a 共b线，那么是否有实数λ,使
b λa?
且当 a与 b同方向时，有 b λa;
当 a 与 b反方向时，有 b λa,
所以始终有一个实数λ，使 b λa.
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三、向量共线的判定定理
a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得 b λa. 则向量 b与非零向量 a共线.
63
2
MN= 1 MC,又MN与MC有公共点M,M、N、C三点共线. 3
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第27页，共27页。
第一分配律 λ(a b) λa λb 第二分配律 (λ μ)a λa μa
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向量的加法、减法和实数与向量积的综合运
算，通常叫作向量的线性运算. 对于任意的向量 a,b以及任意实数λ，μ1， μ2 ，恒有
λ(μ1a μ2 b) λμ1a λμ2 b
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aaa
O
A
B
C
-a -a -a
N
M
Q
P
相同向量相加以后， 和的长度与方向有什么变化？
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探究、向量 3a与向量 a有什么关系？向量 3与a 向量
有什a 么关系？
1.向量 3的a方向与 的方a向相同，向量 的长度3a是
a
的长度的3倍，即 | 3a | 3 | a | .
2.向量 的3a方向与 的方a向相反，向量 的长度是3a
例1 设a,b为向量,计算下列各式:
(1) 1 3a 3
(2)2(a b) (a 1 b) 2
(3)(2m n)a mb (m n)(a b).(m, n为实数)
解 (1)原式 ( 1 3)a a 3
(2)原式 2a 2b a 1 b (2a a) (2b 1 b) a 5 b
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解：作图如右
a
b
依图猜想:A，B，C三点共线
C
b
B
b
A
ba
O 又AB与AC有公共点A,所以A，B，C三点共线.
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2.在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在线段BD
上，且有BN= 1BD，求证：M、N、C三点共线.
3
提示：令AB=a,BC=b,则MN= = 1 a+ 1 b,MC= = 1 a+b,
1.根据定义，求作向量 3(2a和) 6a(a 0，) 并作比 较.
结论 ：
3(2a) 6a
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2.
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λb
b
a
λa
λa b
a λb
由图可证:λ(a+b)= λa+λb
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二、数乘向量的运算律:
设 a、b为向量，λ、μ为实数，则有： 结合律 λ(μa) (λμ)a
BC BA
即
PC PB (PA PB)
PC PA (1 )PB
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计算：
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已知平行四边形ABCD的对角线
AC
a,
BD
b
试用
a,
b 表示平行四边形四边上对应的向量.
D b
A
a
C
M
B
BC AD AM MD 1 (a b) 2
DC AB AM MB 1 (a b) 2
的a长度的3倍，即
| 3a | 3 | a | .
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一、向量的数乘运算
一般地，实数λ与向量 的a 积是一个向量，这种运
算叫作向量的数乘运算，记作
λa.
它的长度和方向规定如下：
特别地，当λ=0时 λa 0, 方向任意.
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探究、数乘向量的运算律
四、向量共线的性质定理
若向量 b与非零向量 a共线，则存在一个实数λ，
使得 b λa.
思考：1. 为a 什么要是非零向量？
若是零向量时，λ不惟一.
2. 可b 以是零向量吗？
可以
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例2 已知AD 4AB, DE 4BC,试判断AC与AE是否共线.
E
C
AB
D
解 AE AD DE 4AB 4BC
2.3.1 数乘向量
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1.向量加法三角形法则:
2.向量加法平行四边形
法则:a ba bB Nhomakorabeab
C
B
C
a
a a+b
A.
a+b
A
b
D
特点:首尾相接，首尾连
特点:共起点
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3.向量的减法
b a
o. b B
a ab
A
特点：共起点，连终点， 方向指向被减向量
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4.一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量 ，那
么在a同方向上3秒的位移对应的向量用 表示，试画出3该a
向量.
a 3a
5.在物理中位移与速度的关系：s=vt，力与加速度的 关系：F=ma.其中位移、速度，力、加速度都是向量，而 时间、质量都是数量.
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1.在急风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是 先看到闪
电，后听到雷声？
这是因为在同一方向上 光速远远大于声速. 经测量，光速大小约为 声速的8.7×105倍.
4(AB BC) 4AC
AC与AE共线.
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例3 如图，A，B，C是平面内三个点，且A与B
不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上
，则存在实数λ，使得
PC PA (1 )PB
A B
C P
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证明 因为向量BC与向量BA共线,根据 向量共线定理可知
2
2
2
(3)原式 2ma na mb m(a b) n(a b)
2ma na mb ma mb na nb
ma nb
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探究、共线向量判定定理和性质定理
思考：
（1）.如果 b λ那a,么向量 与 a 是否b共线？
向量a为非零向量
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2.一重物由高空自由落下，由自由落体运动的速度
公式 vt = gt 可知，它在1s 末和2 s 末的速度，大小分 别为v1 = 9.8 m/ s 和v2 = 19.6 m/ s .
v2=2v1,方向都是竖直向下
v1
v2
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已知非零向量 a （如图） a
试作出： a+a+a 和 (-a)+(-a)+(-a)