应变状态

ε`--- ε 垂直方向的线应变
2、纯剪应力状态
G


五、广义虎克定律（general Hooke’s law)
3、广义虎克定律 只有 x 作用时 x x
y
E x
E
y
x
x
z
x
E
z
1 x x y z E 1 y y z x E 广义虎克定律 1 z z x y E x x G
剪应变： γα = γx`
y
y
x
u
x

x
某点各个方位应变的情况称为该点的应变状态
在 x ，y 坐标下， x 方向到 令 ， x ，与平面应力状态的分析 x 类似有 方向夹角 x


2

y
dy
x dx cos x dxsin
x
2
cos 2
与平面应力状态σα、τα的计算类似：
εα 与σα 对应，γα /2与τα对应，有：

2
x y
2

x y
2 x y 2
cos 2 sin 2
x
2
sin 2 cos 2
x
2
主应变
x y 2 x 2 max x y ( ) ( ) min 2 2 2
应变状态：一点处各方位应变的情况。 以下研究平面应力状态对应的应变状态。 应力和应变是固体力学中两个最基本的概 念，两者联系紧密。
考虑 A 点的应变，取 x、y方向的单元体： 线应变：εx εy 剪应变： γx A 另一取向 x` 、y` 的单 元体： y` y`
y
x` α
x
x`
设：
εα= εx` ， A
2
斜面应力公式
x y
2
x y
2
cos 2 x sin 2

x y
2
sin 2 x cos 2
应变分析公式 x y x y x cos 2 sin 2 2 2 2

2

x y
2
sin 2
1 2 3
45
45° 45 °
0
120
0
60
可证明：在应力或变形不是很大的情况下（线弹性范 围）主应力与主应变 1 2 3 的方向是重合的。
五、广义虎克定律（general Hooke’s law)
1、单向应力状态
虎克定律 E
ε---σ方向的线应变
45
解：
σ1 = τ σ2 = 0 σ3 = -τ ε1 = ε45
σ1
45
1 1 1 3 E E
E 45 1
例题
*
E 证明弹性模量与切变模量、泊松比间的关系 G 21
证明：取一纯剪单元体（正方形） x 非零主应力分别为： - ， ，主方向为±45º 方向
b 2 b
c 3 c
V V a a b bc c abc1 1 1 2 1 3 abc1 1 2 3
c
b
3
2
1
a
V V V V 单位体积的改变量 1 2 3 V V 代入广义胡克定律 体积应变 1 2 3 1 2 1 2 3 E
x y z
yz zy
zx xz
某点处的应变——二阶对称应变张量
x 1 ~ yx 2 1 zx 2 1 xy 2 1 xz 2 1 yz 2 z
z y
y
1 zy 2
x
2、应变状态
2
d (l ) x dx cos y dy sin x dx sin ds ds x cos 2 y sin 2 x sin cos
o
x
2( x y ) sin cos x (cos sin )


''' x
x dx cos
'' x '' ' x
d (l ) x dx cos y dy sin x dx sin ds ds
' '' ''' x x x x
( x y ) cos sin x cos 2
1 2 1 2 3 1 2 3 E 1 令 av 1 2 3 称为该点应力的平均应力 3 E 设 K 称为体变模量
则
或
av K
av K
31 2
体积应变定律
对非主单元体由于切应变不改变单元体的体积， 上式仍成立。
45
G 45
BD BD 45 x 2x 2 BD cos 45

B
A
45

C
1 1 45 1 3 E E E 则G 21
2G


x

D D


例：在一钢块上槽内紧密无隙地嵌入一铝质立方块，尺寸 为 10mm×10mm×10mm 。当铝块受到压力 P=6kN 的作用 时，假设钢块不变形，铝的弹性模量 E=70GP,=0.33 。试求铝块的三个主应力及相应的变形。 解：
此时
x y z
av

x
y z 3
四、平面内的应变状态
1. 变形的描述——应变
单元体变形的两种最基本形式：单向受力和 纯剪切 有正应变(线应变) , 和切应变(剪应变) 正应变——线段单位长度的改变量，无量纲

x

u
lim
x 0
u x


切应变——直角的改变量，单位：弧度
某点处（单元体的）变形的描述 正应变—— 切应变—— xy yx
tg 2 0
方位
x y
x
90
应变花：
可用于实验测定一点处 的应变状态 x , y , x
x y x y x cos 21 sin 21 2 2 2 x y x y x cos 2 2 sin 2 2 2 2 2 x y x y x cos 2 3 sin 2 3 2 2 2






对主单元体：
1 1 1 2 3 E 1 2 2 3 1 E 1 3 3 1 2 E
2
1
3
1 2 3
例:已知 45 ，求 设 E ,
σ3

例： 从钢构件内某一点的周围取出一单元体如图所示。 根据理论计算已经求得 =30MPa ， =15MPa 。材料 E=200GPa。=0.30。试求对角线AC的长度改变l。
解：
4.体积变形
取一体积为V
abc
的单元体,受应力作用变形。
各边长的改变量为：
a 1a
变形后的体积：
y
y
x ' '' ''' x x x x

x
y
( x y ) cos sin x cos
2
/ 2 2 y ( x y ) cos sin x sin x y
y
dy
y dy cos
y dy
ds
o

dx

' x
x
x dx
x dx
o



'' x
ds
y dy sin
dx
x
dx ds cos dy ds sin
x x dxsin

' x
x dx sin
ds y dy cos
ds y dx cos ds