浙江省杭州地区7校2015届高三上学期期末模拟联考数学(文)试题

浙江省杭州地区7校2015届高三上学期期末模拟联考数学（文）
试题
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。

一、选择题（本题共有8小题，每小题5分，共40分） 1已知集合2
{|}M x x x =≥，{|2,}x
N y y x R ==∈，则M
N =（ ）
A.(0,1]
B.(0,1)
C.[0,1)
D.[0,1] 2.设a = 30. 5, b = log 32, c=cos2，则( )
A.c<b <a
B. c <a<b
C. a <b <c
D. b<c<a 3.已知条件：x y a a <（01a <<）则它的充要条件的是( ) A.
22
1111
x y >++ B.22ln(1)ln(1)x y +>+ C.sin sin x y > D.3x >3
y 4．已知1F ,2F 是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥,则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. ⎫⎪⎪⎭
B. ⎫⎪⎪⎭
C. ⎛ ⎝
D. ⎛ ⎝ 5.设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当[)2,1x ∈-时，()2422001x x f x x
x ⎧--≤≤=⎨<<⎩，
则))421
(
(f f =（ ）
A ．-41
B ．43
C ． 4
1
D ．0
6.已知数列{a n }满足21n n n a a a ++=+，若151,8a a ==，则3a =( )
A.1
B. 2
C. 3
D.7
2
7.已知平面向量,m n 的夹角为
6
π
，3,2m n ==，在ABC ∆中，
22,26AB m n AC m n =+=-，D 为BC 的中点，则||AD =（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
8．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （4－x ）=f （x ），且当x ∈(]1,3-时，f （x ）
=⎩⎪⎨⎪⎧
1＋cos πx 2，1＜x ≤3，
x 2 ，－1＜x ≤1，
则g （x ）= f （x ）－1g|x |的零点个数是( )
A ．9
B ．10
C ．18
D ．20
二、填空题（本题共有7小题，其中第9题每空2分,第10、11、12题每空3分，第13、14、15题每空4分，共36分）
9.已知直线01:1=-+y ax l ，直线03:2=--y x l ，若直线1l 的倾斜角为
4
π
，则
a= ；若21l l ⊥，则a= ；若21//l l ，则两平行直线间的距离为 。

10.若点(,)P x y 满足线性约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥+-≤-002202y y x y x ，则z x y =-的最小值是 ;
1
1
-+=
x y u 的取值范围是__________________. 11.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,已知2b =,6
B π
=，4
C π
=
，则边
a=__________;△ABC 的面积等于 . 12.已知定义在R 上的函数()f x ，满足1
(1)5f =
，且对任意的x 都有1(3)()
f x f x +=-，则f (7)=____________;(2014)f = .
13.
1by +=（其中,a b 为非零实数）与圆2
2
1x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且AOB ∆为直角三角形，则
22
12
a b
+的最小值为 . 14．在等腰ABC ∆中，=AB AC ，M 为BC 中点，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且
1
=2
AD DB ，=3AE EC ，若90DME ∠=，则cos A = .
15.若函数2
()2f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题（本题有5大题，共74分）
16（本题满分15分）
已知函数2()2sin cos f x a x x x ωωω=+-(0,0)a ω>>的最大值为2，12,x x 是集合{|()0}M x R f x =∈=中的任意两个元素，且12||x x -的最小值为
2
π
.
（1）求函数()f x 的解析式及其对称轴； （2）若4()3f α=，求sin(4)6
π
α+的值.
17（本题满分15分）设△ABC 的面积为S ，且20S AB AC +⋅=.
（1）求角A 的大小；
（2）若||3BC =，且角B 不是最小角，求S 的取值范围．
18（本题满分15分）已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →
＝OA →
＋λOB →
，求λ的值．
19（本题满分15分）已知数列{}n a 满足1331(,2)n n n a a n N n *-=+-∈≥且395a =。

（1）求12,a a 的值；
（2）是否存在一个实数t ，使得1()()3
n n n b a t n N *
=+∈且{}n b 为等差数列？若存在，求出t 的值；如不存在，请说明理由；
(3)求数列{}n a的前n项和n S.
一、选择题.(每小题5分，共40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
A
A
D
B
C
C
A
C
二、填空题.（本题共有7小题，其中第11题每空2分,第12、13、14题每空3分，第15、16、17题每空4分，共36分）
9. -1 , 1 , 10. -2 , 17,3
⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦
, 1+ 12. 5
, -5
13. 4 14. 5
15. []4,0- 三、解答题（共74分）。

16．（本题满分15分）
解析：（1）x x a x f ωω2cos 32sin )(+=， 由题意知：()f x 的周期为π，由
22π
πω
=，知1ω= 2分 由)(x f 最大值为2，故232
=+a ，又0>a ，1=∴a 4分 ∴()2sin(2)3
f x x π
=+ 6分
令232x k π
π
π+
=
+，解得()f x 的对称轴为()122
k x k Z π
π
=
+
∈ 8分
（2）由4()3f α=知42sin(2)33πα+=，即2
sin(2)33
πα+=， 9分
∴sin 4sin 22cos 226323ππππααα⎡⎤⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫+
=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
12分 2
2
2112sin 212339πα⎛⎫⎛⎫
=-++=-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
15分
17.（1）设ABC ∆中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，由20S AC +⋅=，
得1
2sin cos 02
bc A A ⨯=，
即sin 0A A +=， …………3分
所以tan A = …………5分
又(0,)A π∈，所以23
A π
=
. …………7分 （23BC =
，所以a ，
sin sin b c
B C ==
， 所以2sin ,2sin b B c C ==， …………9分
从而1sin sin sin()23
S bc A B C B B π
===- ……11分
11cos 2sin )2))246B B B B B B π--=-=+， ………… 13分
又5(,),2(,)63626
B B πππππ
∈+∈
，所以S ∈.…………15分
18. 解析.(1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p
2)，与y 2＝2px 联立，
从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以：x 1＋x 2＝5p
4， 3分 由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 5分
所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x . 7分
(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0， 所以x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，
所以A (1，－22)，B (4,42)； 10分 设OC →
＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)， 12分
又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2
＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2. 15分 19.解析：(1)当n=2时，2138a a =+，当n=3时，
3223269523a a a =+=⇒=，1123385a a ∴=+⇒=. 4分
（2）当2n ≥时，()()1111133n n n n n n b b a t a t ----=
+-+()113-33n n n
a t a t -=+- ()112312133n n n
t
t +=
--=-. 7分 要使{}n b 为等差数列，则必须使1+2t=0, 1
2
t ∴=-, 即存在1
2
t =-，使{}n b 为等差数列. 9分
22．解：（1）当时，， 故有
221,1()1,
1x x f x x ⎧-≥-=⎨<-⎩， 2分
当1x ≥-时，由()1f x =，有2211x -=，解得1x =或1x =- 3分 当1x <-时，()1f x =恒成立 4分 ∴ 方程的解集为{|11}x x x ≤-=或 5分
2()(1)|1|f x x x x =+-+
（2）22(1),()(1),x a x a x a
f x a x a x a ⎧-++≥=⎨+-<⎩
， 7分
若()f x 在R 上单调递增，则有
1410
a a a +⎧≤⎪
⎨
⎪+>⎩， 解得，13a ≥ 9分 ∴ 当1
3
a ≥
时，()f x 在R 上单调递增 10分 （3）设()()(23)g x f x x =--
则22(3)3,()(1)3,x a x a x a
g x a x a x a ⎧-+++≥=⎨--+<⎩
11分
不等式()23f x x ≥-对一切实数x R ∈恒成立，等价于不等式()0g x ≥对一切实数x R ∈恒成立．
1a <，∴
当(,)x a ∈-∞时，()g x 单调递减，其值域为2
(23,)a a -++∞，
由于22
23(1)22a a a -+=-+≥，所以()0g x ≥成立． 12分
当[,)x a ∈+∞时，由1a <，知34a a +<
， ()g x 在3
4
a x +=处取最小值，。