华师大版八年级数学下册19.3正方形与特殊的三角形综合题专训

华师大版八年级下册19.3正方形与特殊的三角形综合题专训
一、正方形与等腰三角形综合
试题１、（2011常熟市模拟）如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．
（1）求证：BF=DE；
（2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
【分析】（1）根据正方形的性质判定△ADE≌△ABF后即可得到BF=DE；
（2）利用正方形的判定方法判定四边形AFBE为正方形即可．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠EAD，
在△ADE和△ABF中
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴BF=DE；
（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE=AC，
∵AF=AE，
∴BE=AF=AE，
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，
∴BE∥AF，
∵BE=AF，
∴得平行四边形AFBE，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定和性质，解题的关键是正确的利用正方形的性质．
试题２、（2015黑龙江二模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为BC，CD的中点，则下列结论：①AF⊥DE；②AF=DE；③AD=BP；④PE+PF=PC．其中结论正确的有（）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】先证明△ADF≌△DCE得到AF=DE，则可对②进行判断；由全等性质得∠DAF=∠CDE，则利用∠DAF+∠DFA=90°可得∠CDE+∠DFA=90°，则可对①进行判断；作BG∥DE交AF于M，交AD于G，如图1，证明BM垂直平分AP得到BP=BA=AD，则可对③进行判断；延长DE到N 使EN=PF，连结CN，如图2，先证明△CFP≌△CEN得到CP=CN，∠1=∠2，再证明△PCN为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质对④进行判断．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，
而点E、F分别为BC，CD的中点，
∴DF=CE，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE，
∴AF=DE，所以②正确，
∠DAF=∠CDE，
而∠DAF+∠DFA=90°，
∴∠CDE+∠DFA=90°，
∴∠DPF=90°，
∴AF⊥DE，所以①正确；
作BG∥DE交AF于M，交AD于G，如图1，则四边形BEDG为平行四边形，∴BE=DG=AD，
∴GM为△APD的中位线，
∴AM=MP，
∵AP⊥DE，
∴AP⊥BG，
∴BM垂直平分AP，
∴BP=BA=AD，所以③正确；
延长DE到N使EN=PF，连结CN，如图2，
∵∠CFP=90°+∠3，∠CEN=90°+∠3，
∴∠CFP=∠CEN，
在△CFP和△CEN中，
，。