人教版高中数学高一-必修四课后作业三十 3.2 简单的三角恒等变换(二)

课后提升作业三十
简单的三角恒等变换(二)
(45分钟70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.函数f(x)=sinx-cosx可化简为( )
A.2sin
B.2sin
C.2sin
D.2sin
【解析】选A.由辅助角公式知f(x)=2
=2=2sin.
2.为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y=cos3x的图象( )
A.向右平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向左平移个单位
【解析】选 A.因为y=sin3x+cos3x=cos=cos,所以将函数y=cos3x向右平移个单位即可得到y=cos的图象.
3.已知向量a=,b=,且α∈,若a ∥b,则角α的值为( )
A.0
B.
C. D.0或
【解析】选D.因为a=,
b=,且a∥b,
所以cos sin+sin cos=0,
即sin=0,sin2α=0,因为α∈,
所以2α∈[0,π],所以2α=0或2α=π,
所以α=0或α=.
【延伸探究】若本题中的条件“a∥b”改为“a⊥b”,求α的值. 【解析】由a⊥b,可知cos cos-sin sin=0,即cos=0,cos2α=0,因为2α∈[0,π],
所以2α=,所以α=.
4.(2016·深圳高一检测)设函数f(x)=2cos2x+sin2x+a(a为实常数)在区间上的最小值为-4,那么a的值等于( )
A.4
B.-6
C.-4
D.-3
【解析】选C.f(x)=2cos2x+sin2x+a
=1+cos2x+sin2x+a
=2sin+a+1,
当x∈时,2x+∈,
所以f(x)min=2·+a+1=-4.所以a=-4.
5.函数f(x)=sin2x-cos2x的图象可以由函数g(x)=4sinxcosx的图象得到( )
A.向右移动个单位
B.向左移动个单位
C.向右移动个单位
D.向左移动个单位
【解析】选A.因为g(x)=4sinxcosx=2sin2x,f(x)=sin2x-cos2x= 2sin=2sin2,所以f(x)可以由g(x)向右移动个单位得到.
6.(2016·广州高一检测)函数f(x)=cos2x+2sinx的最小值和最大值分别
为( )
A.-3,1
B.-2,2
C.-3,
D.-2,
【解析】选C.f(x)=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx=-2+, 则函数的最大值、最小值分别是,-3.
【补偿训练】下列各值中,函数y=2sinx+2cosx不能取得的是( )
A.3
B.3.5
C.4
D.4.5
【解析】选D.因为y=2sinx+2cosx
=4=4sin≤4,
所以函数y=2sinx+2cosx不能取得的是4.5.
7.使函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为奇函数的θ的一个值是( )
A. B. C. D.
【解析】选D.f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)
=2sin.
当θ=时,
f(x)=2sin(2x+π)=-2sin2x为奇函数.
8.(2016·长春高一检测)若sin=-,0≤α≤π,则tanα的值是( )
A.-
B.0
C.-或0
D.无法确定
【解析】选C.-
=-
=sin+cos-=sin,
所以2cos=sin或sin=0,
所以tan=2或sin=0,
当tan=2时,tanα===-,
当sin=0时,tanα=0.
综上可知,tanα的值是-或0.
【补偿训练】已知f(x)=,当α∈时,f(sin2α)-f(-sin2α)可化简为( )
A.2sinα
B.-2cosα
C.-2sinα
D.2cosα
【解析】选D.f(sin2α)-f(-sin2α)=-=
-=|sinα-cosα|-|sinα+cosα|,
由α∈,
所以sinα<cosα<0,
f(sin2α)-f(-sin2α)=2cosα.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.如图是半径为1的半圆,且PQRS是半圆的内接矩形,设∠SOP=α,则其值为
时,矩形的面积最大,最大面积的值为.
【解析】∠SOP=α,则SP=sinα,OS=cosα,
故S矩形PQRS=sinα×2cosα=sin 2α,
故当α为45°时,S矩形PQRS的面积最大,最大值为1.
答案:45° 1
10.如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三
分之二,则应按角度x=
来截.
【解析】设正方形钢板的边长为a,截后的正方形边长为b,则=,=,
又a=GC+CF=bsinx+bcosx
所以sinx+cosx=,所以sin=.
因为0<x<,<x+<,
所以x+=或,x=或.
答案:或
【误区警示】解答本题容易忽视角度x的取值范围,而导致解三角方程时产生漏解.
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:
f(t)=10-cos t-sin t,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天上午8时的温度.
(2)求实验室这一天的最大温差.
【解析】(1)f(8)=10-cos-sin
=10-cos-sin
=10-×-=10.
故实验室这一天上午8时的温度为10℃.
(2)因为f(t)=10-2
=10-2sin,
又0≤t<24,
所以≤t+<,-1≤sin≤1.
当t=2时,sin=1;
当t=14时,sin=-1.
于是f(t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.
12.(2016·武汉高一检测)已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期.
(2)求f(x)的单调递增区间.
【解析】(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z),故f(x)的定义域为{x∈R|x ≠kπ,
k∈Z}.
因为f(x)==2cosx(sinx-cosx)=sin2x-cos2x-1=
sin-1,
所以f(x)的最小正周期为T==π.
(2)函数y=sinx的单调递增区间为
(k∈Z).
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,x≠kπ(k∈Z).
得kπ-≤x≤kπ+,x≠kπ(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间为
和(k∈Z).
【能力挑战题】
已知函数f(x)=cos2-sin cos-.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域.
(2)若f(α)=,求sin2α的值.
【解析】(1)f(x)=cos2-sin cos-
=(1+cosx)-sinx-=cos.
所以f(x)的最小正周期为2π,值域为.
(2)由(1)知f(α)=cos=,
所以cos=.
所以sin2α=-cos=-cos
=1-2cos2=1-=.
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