信号处理

Fs=2000; N=2000; n=0:N-1; t=n/Fs; Lag=200; f1=10; f2=10; A1=1; A2=3; w1=pi/3; w2=pi/4; x= A1*cos (2*pi*f1*t+w1); y=A2*sin(2*pi*f2*t+w2); [ cx , lagsx ]= xcorr (x , Lag ,‘unbiased’ ); [ cy , lagsy ]= xcorr (y , Lag ,‘unbiased’ ); [ c , lags ]=xcorr (x ,y , Lag ,‘unbiased’);
2
2
T2
2
0
的功率信号。能量信号的相关函数
的量纲是能量，而周期信号、随机信号的相关函数的量纲是功率。
信号的相关分析—相关函数的性质

自相关函数是τ的偶函数，即 Rx ( ) Rx ( )。 互相关函数为非奇非偶函数，但满足 Rxy ( ) Ryx ( ) 。 自相关函数在τ = 0时为最大值，并等于该信号的均方根值x2。
正弦函数的自相关函数是一个余弦函数，它保留了原正弦信号幅值信息和 频 率信息，但丢失了原正弦信号的处相位信息。 两个均值为零且有相同频率的周期信号，其互相关函数保留了两个信号的频 率f、对应的幅值A1和A2以及相位差信息。
1. 绘制周期信号y=sin(2*π*3t) +3cos(2*π*10t+π/6)的自相 关函数图R1； 2. 绘制准周期信号y 2sin（2 * *3t） cos(2 * * 5 2t / 4) 的自相 关函数图R2； 3. 绘制均值为0的白噪声信号的自相关函数图R3 ； 4. 绘 制 包 含 均 值 为 0 的 白 噪 声 信 号 以 及 周 期 成 分 y=2sin(2*π*3t)+cos(2*pi*10t)的信号的自相关函数图 R4 。

周期性的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不具有原 信号的相位信息。
两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，但保留 了原信号的相位差信息。 两个非同频的周期信号互不相关。 随机信号的自相关函数将随 值增大而很快衰减至零。


利用MATLAB绘制信号的相关函数图
对于离散随机振动信号，互相关函数表达式为：
•包含周期成分的信号，其自相关函数在τ很大时都不衰减，并 具有明显的周期性。 •不包含周期成分的随机信号，在τ=0时具有最大值，当τ稍大时 其自相关函数就将趋于零。
1. 绘 制 不 同 频 率 周 期 信 号 x=sin(2*π*3t) ， y= 3cos(2*π*10t+π/6)的互相关函数图R1； 2. 绘制周期信号y=2sin(2*π*3t)和均值为0的白噪声信号 的互相关函数图R2; 3. 绘制周期信号 y=2sin(2*π*3t) 和包含同频率周期信号 以及均值为0的白噪声信号的互相关函数图R3; 4. 绘制两包含相同频率周期信号的随机信号的互相关 函数图R4。

T2
此时的自相关函数有： 式中 T 表示在一个T2周期时间内的积分，可用积分区间 或 代 T 替。不难证明，上述三个公式计算的相关函数还是周期函数，且 周期都是T1(较小者)。 随机信号可看成是周期 T


2
1 T2
T2
x(t ) x(t )dt
T2
x(t )x(t )dt （ 17 ） T

相应的，自相关函数有：
R xy ( )

（ 11 ）

如果信号不是能量信号，那么式(6)与式(7)中的积分将趋于无穷， 因而这两个式子的定义将失去意义。但如果信号是功率信号， 可以定义它们之间的相关函数。 若x(t) 和 y(t)均为实功率信号，则它们的互相关函数定义为：
R yx ( ) lim 1 T T
%设定采样频率和采样点数
%设定最大延迟点数
%设臵信号初始参数
%求x的自相关函数 %求y的自相关函数 %求x、y的互相关函数
subplot(321); plot(t,x,‘r’); %绘制x信号图 xlabel('t'); ylabel('x(t)'); title(‘信号x=cos(2*pi*10*t+pi/3)'); grid; axis([0,0.2,-1.2,1.2]); subplot(322); plot(t,y,'b'); %绘制y信号图 xlabel('t'); ylabel('y(t)'); title(‘信号y=3sin(2*pi*10*t+pi/4)'); grid; axis([0,0.2,-3.5,3.5]); subplot(323); plot(lagsx/Fs,cx,‘r’); %绘制x信号自相关函数图 xlabel('t'); ylabel('Rx(t)'); title('信号x的自相关函数'); grid; subplot(324); plot(lagsy/Fs,cy,'b'); %绘制y信号自相关函数图 xlabel('t'); ylabel('Ry(t)'); title('信号y的自相关函数'); grid; subplot('position',[0.2,0.05,0.6,0.28]); plot(lags/Fs,c,‘g’); %绘制两信号互相关函数图 xlabel('t'); ylabel('Rxy(t)'); Title('信号x、y的互相关函数'); grid;
平均功率(误差功率)：

调整α可以得到最好的近似(Pd最小)，则应满足：
dP 1 d dα T
T 2
2[ x(t) αy(t)] [ y(t )]dt 0
T 2
（2）

1 T α
T 2
x(t) y(t)dt
T 2 T 2

（3 ） y(t)2 dt
1 T


T 2
将(3)代入(2)，得处衡量x(t)与y(t)差异的指标Pd的极小值：
|ρxy| = 1
误差功率Pd = 0
x(t)和y(t)线性相关，波形相似。 x(t)和y(t)存在一定相关性。
若
0< |ρxy|<1 |ρxy| = 0
误差功率Pd ∈ (0，Px(t)) 误差功率Pd = Px(t)
x(t)和y(t)完全不相关。
由式（5）知，等式右边分母分别是x(t)与y(t)的均方根 值，ρxy的大小取决于分子上的积分值：
R yx ( ) 1 T2

T2
x(t ) y (t )dt
1 T2

T2
x(t ) y (t )dt （ 15 ） y (t )x(t )dt （ 16 ）
1 R xy ( ) T2 R x ( )
2

T2
1 y (t ) x(t )dt T2 1 T2
T T

x(t ) dt )，若二
2xΒιβλιοθήκη t) = αy(t)(α为常数)
（1）
x(t)和y(t)线性相关，波形完全相似。
为了描述非线性相关的两信号x(t)和y(t)的相似程度，定义： 差函数： d(t) = x(t) – αy(t)
Pd 1 T
T 2 2 [x(t)] αy(t) ] dt T 2
1 Rxy (k ) N k
N k i 1
x(i) y(i k )
(k 0,1,2, , m)
(18)
自相关函数的表达式：
1 Rxx (k ) N k
N k i 1
x(i) x(i k )
(k 0,1,2, , m)
(19)
在Matlab中，xcorr函数是随机信号互相关估计函数，其调用 格式如下： c = xcorr (x , y , maxlags , ’option’)
学习报告
信号的相关分析
相关系数 自相关函数 互相关函数 相关分析在故障诊断中的应用
信号的频谱分析
傅里叶级数 傅里叶变换
提高频谱精度的方法
窗函数 频谱细化技术 多次平均
信号的相关分析—相关系数
在信号分析中，相关是一个非常重要的，它表述两个信号（或 一个信号不同时刻）之间的线性关系或相似程度。相关分析广 泛地应用于随即信号的分析中，也应用在确定性信号的分析中。 若两个信号x(t)和y(t)都是均值为零的功率信号(信号在有限区间 （-T，T)的平均功率是有限的，即 P lim 1 T 2T 者波形完全相同，则存在如下线性关系：
R yx ( ) R xy ( )

x(t ) y(t )dt x(t )y(t) dt


（ 9 ） （ 10 ）

y(t ) x(t )dt y(t )x(t) dt x(t ) x(t )dt x(t )x(t) dt
T 2
（ 13 ）

此时的自相关函数有：
R xx ( ) lim 1 T T
T 2
x(t ) x(t )dt lim
T 2

1 T T
T 2
x(t )x(t )dt
T 2
（ 14 ）

如果两个信号x(t) 和 y(t)均为周期信号，它们的周期分别为T1和 T2，且T2 = m T1 (m∈N),则它们之间的互相关函数为：
x , y为随机信号序列， 其长度都为N(N>1)， 如果两者长度不同， 短的用0补齐。 Maxlags 表示x 与y之间的最大 延迟。 ‘option’指定互相关 的归一选项。