概率论第二版杨振明课后题答案

2.1.习题
1．设随机变量ξ的分布函数为)(x F ，证明ξηe =也是随
机变量，并求η的分布函数．
证明：由定理2.1.3随机变量的Borel 函数仍为随机变量， 故ξη
e =也是随机变量．
η的分布函数为
}{}{)(y e P y P y F <=<=ξηη
当0≤y 时，φξ=<}{y e ，故0)(=y F η；
当
>y 时
，
)
(ln }ln {}{}{)(y F y P y e P y P y F ξξηξη=<=<=<=
因此，η的分布函数为
⎩⎨⎧≤>=00
),(ln )(y y y F y F ξ
η． 3．假定一硬币抛出正面的概率为
(01)p p <<，反复抛这
枚硬币直至正面与反面都出现过为止，试求：（1）抛掷次数ξ的密度阵；（2）恰好抛偶数次的概率．
解：（1）}{k =ξ
表示前1k -次都出现正(反)面，第k 次出
现反(正)面，据题意知，
p p p p k P k k 11)1()1(}{---+-==ξ， ,4,3,2=k
所以，抛掷次数ξ的密度阵为
22112322(1)(1)k k k
p p p p p p p p
--⎛
⎫ ⎪ ⎪---+-⎝
⎭
(2) 恰好抛掷偶数次的概率为：
+=++=+=+=}2{}6{}4{}2{n P P P P ξξξξ
+++++++++=
--p q q p p q q p p q q p qp pq n n 12125533
)
1()1(4242 +++++++=q q qp p p pq
2
211
11q qp p pq -⋅+-⋅
=
)
1(1
)1(1q p qp q p pq +⋅++⋅
=
q
q p p +++=
11
4．在半径为R 的圆内任取一点（二维几何概型），试求此点到圆心之距离ξ的分布函数及}3
2{R
P >
ξ
． 解：此点到圆心之距离ξ的分布函数为
}{)(x P x F <=ξ
当0x ≤时，φξ
=<}{x ，()0F x =；
当0x R <<时，2
2
22}{)(R x R x x P x F ==
<=ππξ；
当x R ≥
时， ()1F x =
故ξ的分布函数为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=R x R x R
x
x x F ,
10,0,
0)(22．
95
941)3/2(1)32(1}32{2
2=-=-=-=>R R R F R P ξ．
5．在半径为1的车轮边缘上有一裂纹，求随机停车后裂纹距地面高度ξ的分布函数．
解：当0x ≤时，φξ
=<}{x ，()0F x =；
当裂纹距离地面高度为1时，分布函数为
1x =
R
()(){}{}1arccos(1)
,1122R x F x F P R ππξππ
--=-∞=<=
==；
当裂纹距离地面高度为x
()01x <<时，分布函数为
()(){}{}()2arccos 1,2x R
F x F x P x R ξπ-=-∞=<=
()
arccos 1x π
-=
()
arccos 1x ππ
--=
；
当裂纹距离地面高度为(12)x x <
<时，分布函数为
()(){}{}()()22arccos 1arccos 1,2x R x F x F x P x R ππξππ--⎡⎤--⎣⎦=-∞=<==； 当2>x
时， ()1F x =；
则ξ的分布函数为
()()00arccos 10212x x F x x x ππ≤⎧
⎪
--⎪=<≤⎨⎪
>⎪⎩
6．已知随机变量ξ的密度函数为
(),01,2,1 2.x
x p x x x <≤⎧=⎨
-<≤⎩
试求：(1)
ξ的分布函数，（2）{}0.2 1.2P ξ<<．
解：（1）当0≤x 时，00)()(===⎰⎰∞
-∞
-dt dt t p x F x
x
；
当01x <≤时，20
2
1)()(x dt t dt t p x F x
x =
==⎰⎰∞
-； 当
12
x <≤时
，
122
1
2)()(211
0-+-=-+==⎰⎰⎰∞-x x dt t dt t dt t p x F x
x
；
当2x
>时，12)()(2
1
10
=-+==⎰⎰⎰∞
-dt t dt t dt t p x F x ；
则ξ的分布函数为
()220,0,
1,01,2121,12,21,
2
.
x x x F x x x x x ≤⎧
⎪⎪<≤⎪=⎨
⎪-+-<≤⎪⎪>⎩
（2）
{}0.2 1.2P ξ<<{}{}1.20.2P P ξξ=<-<
=()()1.20.20.66F F -=
7．设
)()(a x e e x p --=，0x >
（1）求a 使()p x 为密度函数；
（2）若ξ以此()p x 为密度函数，求b 使b b P =>}{ξ．
解：（1）由密度函数的性质，知
ea a x e a x e e e e e
dx e dx x p 101
)(1)(0)(=∞-===--∞--∞∞-⎰⎰
解得，1
a e
=
． （2）【法一】根据概率的非负性，0≥b ，
当0=b 时，1}{=>b P ξ，显然b b P =>}{ξ不成立；
当
>b 时
，
()1
()
1(11)(}{b
e e x e b
e
x e b
e
e b e e
dx e
dx x p b P ---∞
--∞
=∞-===>⎰⎰ξ
而b b P =>}{ξ，即b e
e
e b e =--)
1
(1， 解得，1b
e
=
． 【法二】ξ的分布函数为
()10,0,111,
.
e x e x F x e e x e
e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤⎧
⎪=⎨++>⎪
⎩
{}{}()11P b P b F b b ξξ>=-<=-=
当0b ≤时，()0F
b =，上式不成立．
当0b ≥时，
()
111
e b e F b e
e e
e
⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-+ 则111
1e b e e
e b e
e
⎛⎫
-- ⎪⎝⎭+-=， 解得，1b e
=
． 8.设()F x 是连续型分布函数，试证对任意a b <有
[]()()F x b F x a dx b a +∞-∞
+-+=-⎰.
证：等式左边=()x b
x a
p t dtdx +∞+-∞+⎰⎰
=
(())x b
x a
d F t dx +∞
+-∞
+⎰⎰
因()F x 是连续的分布函数则上式积分可以交换．
则上式交换积分次序得
(())x b
x a
d F t dx +∞+-∞+⎰⎰
(())x b x a d F t dx ++∞
+-∞
=⎰⎰
(()())x b
x a
F F dx ++=+∞--∞⎰
1x b
x a dx ++=
⎰b a =-．
2.2习题
1．向目标进行20次独立的射击，假定每次命中率均为0.2．试求：（1）至少命中1次的概率；（2）至多命中2次的概率；（3）最可能命中次数．
解：令ξ表示命中次数，这是n =20重Bernoulli 试验，每次命中率
p =0.2，命中次数ξ服从B(20,0.2)分布．
(1) 至少命中一次的概率
2000
20)1(1}0{1}1{1}1{p p C P P P --==-=<-=≥ξξξ
988.0)2.01(2.012000
20≈--=C ．
(2) 至多命中两次的概率
}2{}1{}0{}2{=+=+==≤ξξξξP P P P
182220191120200020)1()1()1(p p C p p C p p C -+-+-=
191120200020)2.01(2.0)2.01(2.0+
-+-=C C 206.0≈．
(3) 在二项分布中，
])1[(p n k +=时，}{k P =ξ最大，
故]2.0)120[(⨯+=k
=4时最大，即最可能命中的次数为4次． 2．同时掷两枚骰子，直到某个骰子出现6点为止，求恰好掷
n 次的概率．
解：掷一枚骰子出现6点的概率是
1
6
，同时出现6点的情况有两种：都是6点概率为16×16，其中一个是6点的概率为2×
1
6
×56．因此掷两枚骰子出现6点的概率是1136
． 以ξ表示某骰子首次出现6点时的投掷次数，题目要求恰好掷
n
次则前
1-n 次都没有出现
6点，于是所求概率为
1)36
11
1)(3611(
}{--==n n P ξ． 3．某公司经理拟将一提案交董事代表会批准，规定如提案获多数代表赞成则通过．经理估计各代表对此提案投赞成票的概率为0.6，且各代表投票情况相互独立．为以较大概率通过提案，试问经理请3名董事代表好还是请5名好？
解：即求请3名董事获多数赞成通过的概率大还是请5名董事通过的概率大．令ξ表示3名董事代表对提案的赞成数，则
)6.0,3(~B ξ分布．
多数赞成，即
}3{}2{}2{=+==≥ξξξP P P
033
31223)6.01(6.0)6.01(6.0-+-=C C
648.0≈
令η表示5名董事代表对提案的赞成数，则)6.0,5(~B η分布．
多数赞成，即
}5{}4{}3{}3{=+=+==≥ηηηηP P P P
55
514452335)6.01(6.0)6.01(6.0)6.01(6.0-+-+-=C C C
68256.0≈
因此，请5名董事代表好．
4．甲、乙二队比赛篮球．假定每一场甲、乙队获胜的概率分别为0.6与0.4，且各场胜负独立．如果规定先胜4场者为冠军，求甲队经i 场(i =4,5,6,7)比赛而成为冠军的概率
i p ．再问与赛满3场
的“三场两胜”制相比较，采用哪种赛制甲队最终夺得冠军的概率较小？
解：令ξ表示甲成为冠军所经过比赛的场数． 对甲先胜四场为冠军：}{i =ξ表示前1-i 场中胜三场，第i 场
必胜．
则
1296.0)6.01(6.0}4{044
4≈-==C P ξ
20736
.0)6.01(6.0}5{143
4≈-==C P ξ
20736
.0)6.01(6.0}6{2
43
5
≈-==C P ξ
165888
.0)6.01(6.0}7{343
6≈-==C P ξ
因此，4431)6.01(6.0}{---==i i C i P ξ，i =4,5,6,7
对甲先胜四场成为冠军的概率是
7
.0}7{}6{}5{}4{}4{==+=+=+==≥ξξξξξP P P P P ．
对赛满3场的“三场两胜”制：甲前两场中胜一场，第三场必胜 则
288.0)6.01(6.0}3{121
2≈-==C P ξ．
因此，进行甲先胜4场成为冠军的概率较大．
5．对n 重Bernoulli 试验中成功偶数次的概率n P ． 解：记
p 为一次Bernoulli 试验中事件成功的概率，q 为失
败的概率．
++=-2
2200n n n n n q p C q p C P
由
11100)(1q
p C q p C q p C q p n n n n n n n n +++=+=-
①
1100)()(q p C pq C q p C p q n n
n n n n n n -++-=--
②
（①-②）/2得：
2
)(1n
n p q P --=
7．在可列重Bernoulli 试验中，以i ξ表第i 次成功的等待时间，求证12
ξξ-与1ξ有相同的概率分布．
解：这是一个几何分布．12ξξ-表示第一次成功到第二次成
功的等待时间．
如果第一次成功到第二次成功进行了m 次试验，而第一次成
功进行了n 次 试验．根据几何分布的无记忆性可得：
p p m P m 112)1(}{--==-ξξ,p p n P n 11)1(){--==ξ
因此，12ξξ-与1ξ有相同的概率分布．
8.（广义
Bernoulli 试验）假定一试验有r
个可能结果
r A A ,,1 ，并且
0)(>=i i p A P ，121=+++r p p p ．现将此试验独立
地重复n 次，求
1A 恰出现1k 次，……，r A 恰出现r k 次(0>i k ，
n k k k r =+++ 21)的概率．
解：设一次试验的可能结果为r A A ,,1 ，它们构成一完备事
件组，
()i i P A p =，1i i
p =∑，则在n 次重复独立试验中
r
A A ,,1 分别出现
12,,,r
k k k 次的概率为
r k k k r p p p k k k n 21!
!!!
21 ．
（
1A 恰出现1k 次，……，r A 恰出现r k 次，则i A 组成n 元序列，
上述n 次试验结果由分成r 组，共有r
r k k k
k
n k
n C C C 2
1
1-种结果，每种结果出现的概率是r
k k k p
p p 21，则n 次Bernoulli 试验中
1
A 恰出现
1
k 次，……，
r
A 恰出现
r
k 次(0
>i k ，n
k k k r =+++ 21)
的
概
率
概
率
是
r r
k k k k n k n
C
C
C 21
1
-r
k k k p
p p 2
1
r k k k r p p p k k k n 21!
!!!
21=
）
2.3 Poisson 分布
1．假定螺丝钉的废品率
015.0=p ，试求一盒应装多少只才
能保证每盒中正品在100只以上的概率不小于80%．
解：设每盒应装100+k 只，为使每盒有100只以上的好钉，则每盒次品的个数
ξ
应
≤k
-1，故
8.0)
1(}1{10010
1001≥-=-≤=-+-=+∑i
k i k i i k p p C k P p ξ 由于k 值不大，有)100(k +015.0⨯≈1.5,
5
.11
0!
5.1--=∑e i k i i ≥0.80,
查表，当11=-k
时, 1p =0.557825；当21=-k 时, 1p =0.8,
则k =3时，满足题设条件，故每盒中应装103只．
2．据以往的记录，某商店每月出售的电视机台数服从参数7=λ的 Poisson 分布．
问月初应库存多少台电视机，才能以0.999的概率保证满足顾客对电视机的需求．
解：设月初应当库存电视机台数为η，则每月出售的电视机台
数ξ，要满足顾客的要求，则
999
.0)1(0
=--=∑i n i n
i i n
p p C
,
即
999.0!0
=-
=∑λλe i n
i i
．
查表得： 当n =15时，
997553.0!0
=-
=∑λλe i n i i
；
当n =16时，
999001.0!0
=-
=∑λλe i n
i i
；
因此，月初应当库存16台电视机才能以0.999的概率保证满足顾客对电视机的需求．
3．保险公司的资料表明，持有某种人寿保险单的人在保险期内死亡的概率为0.005．现出售这种保险单1200份，求保险公司至多赔付10份的概率．
解：保险公司赔付的份数ξ服从n =1200,
p =0.005
的二项分
布．
根据Poisson 定理，ξ服从参数为6005.01200=⨯=λ的
Poisson 分布．
=≤}10{ξP ∑
=-10
6
!
k k
e k λ
查表，得95738.0}10{=≤ξP ．
4．假定每小时进入某商店的顾客服从200=λ的 Poisson 分
布，而进来的顾客将购买商品的概率均为0.05，且各顾客是否购物相互独立，求在一小时中至少有6位顾客在此商店中购物的概率．
解：记每小时进入某商店的顾客数为ξ，则ξ服从200
=λ的Poisson 分布．
记每小时在商店中购物的顾客数为η，顾客购物概率为p ．
以事件
{}n =ξ, ,3,2,1=n 为分割，由全概率公式得，
对于非负整数k , 有
{}k P =η={}{}n k P n P n ===∑+∞
=ξηξ|0
=
k
n k k
n
k
n k
q
p C e
n --+∞
=∑λ
λ!
=k k n k n p e k k n q )(!
)!()(λλλ
-+∞
=-∑
- =
()p k e p k λλ-!
1
{}p
k k e k p P λλη-+∞
=∑=≥6
!)(6满足101==p λλ的
Poisson 分
布，
查表，得{
}93214.06=≥ηP ．
8．假定非负整值离散型分布的密度
{}k p 满足条件
1
-k k
p p =
k
λ
,k ≥1,其中常数λ>0，试证明分布是以λ为参数的Poisson 分布．
解：
1
2
01p p p p ·····
211λλ=-k k p p ·····k
λ
=
!
k k
λ
由此得：
0!p k p k
k
λ=，并且00!
p k k k
∑+∞
=λ=1,可得0p =λ-e ，故
λλ-=
e k p k
k !
．因此，此分布是以λ为参数的Poisson 分布．
2.4 重要的连续性分布
1．设
ξ
服从区间
(0,5)
上的均匀分布，求二次方程
24420x x ξξ+++=有实根的概率．
解：由题意知，ξ的概率密度函数为
1
05()5
x p x ⎧<<⎪
=⎨⎪⎩其它 若方程有实根，则2(4)44(2)0ξξ∆=-⨯⨯+≥，
即2
20ξ
ξ--≥， 解得，12ξξ≤-≥或．
则}2{}1{}{≥+-≤=ξξP P P 方程有实根
}2{1}1{<-+-≤=ξξP P
2
13
0155dx =+-=⎰
． 3．假定随机变量ξ只取区间
(0,1)
中的值，且对任何
10<<<y x ，ξ落在子区间(,)x y 内的概率仅与y x -有
关．求证ξ服从区间(0,1)上的均匀分布．
证法一：定义⎪⎩⎪
⎨⎧∞∈∈<≤-∞∈=),1(,1]1,0(},0{]0,(,
0)(x x x P x x F ξ则
)(x F 是ξ的分布函数．由题设得对任意)1,0(2∈x 有
}2{}0{x x P x P <≤=<≤ξξ，即有}0{2}20{x P x P <≤=<≤ξξ．由此得)(2)2(x F x F =．逐一类推可得，若)1,0(∈nx ，则
)()(x nF nx F =，或者
)()(1n x F x F n =．从而对有理数n
m ，若
x n m 与x 都属于(0,1)，则有)(x F n
m
x n m F =⎪⎭⎫ ⎝⎛．再由)(x F 的左连续性可得，对任意无理数a ，若ax 与x 都属于(0,1)，则)()(x aF ax F =．
因为区间(0,1)与]1,0[的长度相等，由题设得
1}10{}10{)1(=≤≤=<≤=ξξP P F .
由此及上段证明得，对任意)1,0(∈x 有
x xF x F ==)1()(，即)(x F 为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<≤=1,110,0
,0)(x x x x x F
∴
ξ服从(0,1)上均匀分布．
证法二：如同证法一中定义ξ的分布函数)(x F ，由)(x F 单调知它对(0,1)上的L －测试几乎处处可微．设)1,0(,21∈x x ，
当)2,1)(1,0(=∈∆+i x x i
时，由题设得
}{)()(1111x x x P x F x x F ∆+<≤=-∆+ξ
)
()(}{2222x F x x F x x x P -∆+=∆+<≤=ξ
等式两端都除以x ∆，再令0→∆x 可得，由)('1x F 存在可推得
)('2x F 也存在，而且)('2x F )('1x F =．从而对任意)1,0(∈x 有c x F ≡)('．当)1,0(∈x 时，显然有0)('=x F ．一点的长度为0，由题设得0}1{}0{====ξξP P ．由上所述可知ξ是连续型随机变量，)('x F 是其密度函数，从而定出1=c ．至此得证ξ服从(0,1)均匀分布． 4．设
ξ
服从
(3,4)
N 分布．(1)求
a
使
{}{}2P a P a ξξ>=<;(2)求b 使{}30.95P b ξ-<=．
解：由题意知，3μ=，2σ=
（
1
）
{}{}{}{}112P a P a P a P a ξξξξ>=-≤=-<=<
得，{}31P a ξ<= {}1
3
P a ξ<=
即
3
1
(
)2
3
μ-Φ=
，
31
1(
)23
μ--Φ=， 即
32
(
)23
μ-Φ= 查表，得6664.0)43.0(=Φ，解得 2.14a =。

（
2
）
{}{}333333(
)(22
b b
P b P b b ξξ+---<=-<<+=Φ-Φ
()()2()10.95222b b b =Φ-Φ-=Φ-=，()0.9752
b
∴Φ=
查表，得975.0)
96.1(=Φ，解得 3.92b =。

5．在正常的考试中，学生的成绩应服从2
(,)N a σ分布．若
规定分数在a σ+以上为“优秀”，a 至a σ+之间为“良好”，
a σ-至a 之间为 “一般”，2a σ-至a σ-之间为“较差”，
2a σ-以下为“最差”
．试求这五个等级的学生各占多大比例． 解：记优秀，良好，一般，较差，最差分别为事件
,,,,A B C D E
记学生的成绩为ξ，则
{}{}()11()1(1)
a a
P A P a P a σξσξσσ
--=>+=-<+=-Φ=-Φ{}()()()(1)(0)a a a a
P B P a a σξσσσ
+--=<<+=Φ-Φ=Φ-Φ=
{}()()()(0)(1)(
a a a a
P C P a a σσξσσ
---=-<<=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ2()(2)()()(1)(a a a a
P D P a a σσσσσσ
----=-<-=Φ-Φ=Φ--Φ-
{}2()2a a
P E P a σξσσ
--=<-=ΦΦΦ（）=（-2）=1-（2）=1
6．某人要开汽车从城南到城北火车站．如果穿行，则所需时间（单位：分钟）服从(50,100)N 分布．如果绕行，则所需时间服从(60,16)N 分布．假设现在他有：（1）65分钟可用；（2）70分钟可用，试分别计算是穿行还是绕行好些？
解：记ξ为到火车站所需时间
{}6550
65(
)(1.5)0.933210P ξ-<=Φ=Φ=1(1).
{}6560
65()(1.25)0.89444
P ξ-<=Φ=Φ=2
因为8944.09332.0>，所以穿行好些。

{}7050
70(
)(2)0.977210
P ξ-<=Φ=Φ=3(2). {}7060
70()(2.5)0.97984
P ξ-<=Φ=Φ=4
因为9798.09772.0<，所以绕行好。

7．已知随机变量ξ服从标准正态分布，而η
ξ=或ξ
-视
||1ξ≤或||1ξ>而定．试求η的分布．
解：由题意知 1
1
ξξη
ξ
ξ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，所以，
()()1()()()()1()1()1P y F y F y P y P y P y P y F y ξηξξηηξξξη⎧<=≤⎪
=<=⎨
-<=>-=-<-=-->⎪⎩
2
222
()22()()1()()(1())()()1y y y
F y P y e P y F y F y F y P y e e ξξηη
ηξξηη----⎧'==
≤⎪⎪'==⎨⎪
''--=-=-==>⎪⎩
综上可知，η服从标准正态分布
8．假设一机器的检修时间（单位：小时）是以1
2
λ
=
为参数的指数分布．试求：（1）检修时间超过2小时的概率；（2）若已经修理4个小时，求总共要少5个小时才会修理好的概率．
解：由已知得，
210()2
0x
e x P x -⎧>⎪=⎨⎪⎩
其它
210()0
x
e
x F x -⎧⎪->=⎨⎪⎩其它
（1）记检修时间为ξ，
1(2)1(2)1(2)1(2)P P P F e ξξξ->=-≤=-<=-=；
（2）由指数分布的无记忆性得，
2
1
}1{1}1{}4|5{-
=≤-=>=>>e
P P P ξξξξ。

9．设ξ服从参数λ为的指数分布，求[]1η
ξ=+的分布．
解：由已知得，0
()0
x
e x P x λλ-⎧>=⎨
⎩其它
10
()0
x
e x F x λ-⎧->=⎨
⎩其它
[][]()(1)(1)(1)P k P k P k P k k ηξξξ==+===-=-≤<=
()(1)(2)
,...,((1)(2)(1)
P k P k P e e e P P k P k P λλληηηη
ηηη---==-=∴
====-=-= 11()()(1)()(1)k k P k e P e e λ
λληη-----∴====-
则η服从
1p e λ-=-几何分布．
2.5多维概率分布 1． 甲从1，2，3，4中任取一数，乙再从1，… ξ 中任取一整数η）的联合分布与边缘分布． 解：
ξ可以取的值为1，2，3，4.那么ξ取每一个值的概率为
4
1
，一但ξ取定值i ，那么η只能从1，2，… i 中取值取每一个值的
概率为
i
1
．于是有： {}{}{}1,4P i j P j i P i i
ξηηξξ=======
所以（ηξ,）的联合分布与边缘分布如下：
3 . 设),(ηξ的联合密度函数为 ),sin(21),(y x y x p +=
2
,0π
<<y x
试求： ( 1 )
),(ηξ的联合分布函数; （ 2 ）η的边缘密度函数．
解：由),(ηξ的联合密度函数的定义域为2
,0π
<
<y x 于是分下
列区域进行讨论：
当2
,0
π
<
<y x 时,
dtds t s y x F x y
)sin(2
1
),(0
+=⎰
⎰
=ds t s x
y ⎰+-
00|)cos(21 =ds s y s x
])cos()[cos(210
⎰-+-
=]sin )[sin(2
1
||00x x s y s -+-
= )]sin(sin [sin 2
1
y x y x +-+
当2
,π
>
y x 时，1),(=y x F
当2
,2
0π
π
>
<
<
y x 时,
dtds t s y x F x
)sin(2
1
),(0
2
+=⎰
⎰
π
=ds s s x ]cos )2
[cos(210-+-⎰π
=
)]2sin(1[sin 21π+-+x x = )1cos (sin 2
1
+-x x 当2
,2
π
π
≥
<
<x y 时,
dtds t s y x F y
)sin(2
1
),(20
+=⎰⎰
π
=⎰-+-20
)]cos()[cos(21
π
ds s y s
=
)]2sin(sin 1[21π
+-+y y =)1cos (sin 2
1
+-y y
其他区域0)
,(=y x F
⎪
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>≥<<+-≥
<<+-<<+-+=其它，
，
，，，02,12,20)1cos (sin 21
2,20)1cos (sin 2
12,0)]sin(sin [sin 21
),(π
πππππy x x y y y y x x x y x y x y x y x F
(2) η的边缘密度函数为：
⎰+∞
∞
-=dx y x p y p ),()(η
=
dx y x )sin(2
1
20
+⎰
π
=
)sin (cos 21x y +， 2
0π<<y 5. 设分布函数
)(1x F 与)(2x F 对应的密度函数为)(1x p 与
)(2x p ．证明对于任何)1,1(-∈α有
]}1)(2][1)(2{1){()(),(2121--+=y F x F y p x p y x p αα
是二维密度函数，且以
)(1x p 与)(2y p 为其边缘密度函数．
证明：从定义出发进行证明：
)(1x p 与)(2y p ,0≥且)(),(21x F x F 是分布函数 ∴]1,0[)(),(21∈x F x F
∴]1,1[1)(2,1)(221-∈--y F x F ．
又
)1,1(-∈α
1]1)(2][1)(2[121<--<-∴y F x F α 0]1)(2][1)(2[121≥--+∴y F x F α
0]}1)(2][1)(2[1){()(2121≥--+∴y F x F y p x p α
即
0),(≥y x p α，非负性得证．
⎰
⎰
+∞∞-+∞
∞
-dxdy y x p ),(α
dx
y F x F x p dy y p ]1)(2][1)(2[1[)()(2112--+=⎰⎰+∞∞
-+∞∞
-α
)
(]1)(2][1)(2[1)(1212x dF y F x F dy y p --+=⎰⎰+∞
∞
-+∞∞
-α
⎰+∞
∞
-∞+∞-∞+∞
-∞
+∞---+=dy x F x F y F x F y p )}
|)(|)(](1)(2[|
)(){(121212α
dy y F y p )11](1)(2{1){(22--+=⎰+∞
∞
-α
dy y p )(2⎰+∞
∞
-=
1=
规范性得证． ∴对
于
任
何
的
)
1,1(-∈α有
⎰
⎰
+∞∞-+∞
∞
-=>1),(,0),(dxdy y x p y x p αα所以),(y x p α是二
维密度函数.
下面讨论二维密度函数
),(y x p α中ξη的边缘分布：
（1）ξ的边缘密度函数为：
⎰+∞
∞
-=dy y x p x p ),()(αξ
dy y F x F y p x p ]}2)(2[]1)(2[1){()(2121--+=⎰+∞
∞
-α
⎰+∞
∞
---+=)(]}1)(2][1)(2[1{)(2211y dF y F x F x p α
+∞∞---+=)]
()(][1)(2[|)(){(12
2121y F y F x F y F x p α
)}11](1)(2[1){(11--+=x F x p α
)(1x p =
同理有η的边缘密度函数为)(2y p
即证得：
),(ηξ是以)(1x p 与)(2y p 为其边缘密度函数的．
16、证：我们有
1121)(21,1)(0=-≤-≤≤≤i i i i x f x F ,
1]1)(2][1)(2][1)(2[1332211≤---≤-x F x F x F ,
代
入
)
,,(321x x x f α的表达式得
),,(321x x x f α0≥ (1)
又有
[]⎰∞
∞
--i i i i i dx x f x F )(1)(2[]⎰∞
∞
--=)(1)(2i i i i x dF x F []
0)
()(21=-=∞∞
-i i i x F x F
3
21321),,(dx dx dx x x x f ⎰⎰⎰∴α⎰
⎰
⎰
∞∞
-∞∞
-∞∞
-==1)()()(333222111dx x f dx x f dx x f
(2)
由（1），（2）知),,(321x x x f α是密度函数．用与上面类似的方法计算可得边际密度函数为
)(),,(1132321x f dx dx x x x f =∴⎰⎰⎰α,
)(),,(332
1
3
2
1
x f dx
dx x x x f =⎰⎰⎰α
)(),,(223
1
3
2
1
x f dx
dx x x x f =⎰⎰⎰α.
6. 设),(ηξ的联合密度函数为
.10,20,),(2<<<<=y x cxy y x p
试求： （1）常数
c ；（2）：ηξ,至少有一个小于2
1
的概率.
解： 由联合密度函数的规范性知：
⎰⎰=20
1
2
1dydx cxy
即
⎰=2
013dx cx
132=∴c
解得2
3
=c ．
∴
),(ηξ∴的联合密度函数为
22
3),(xy y x p = （2）ηξ,至少有一个小于2
1
的概率p 为：
}2
1
,21{}21{}21{<<-<+<=ηξηξP P P p
dxxy xy dy dx xy dydx xy 221021
0210202221010
23232
3⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
-+=
dy x y dy x y dx y x 21
022210202221010321
|4
3|43|2⎰⎰⎰
-+=
128
23
=
7. 在可列重伯努利试验中，以i ξ表示第i 成功的等待时间，试求
),(21ξξ的：
1）
联合分布; (2) 边缘分布.
（注：1ξ表示第一次成功的等待时间，2ξ表示第二次成功的等待时间，12η
ξξ=-表示第一次成功到第二次成功的等待时间．根
据无记忆性，η服从几何分布，即忘记了第一次成功的信息．）根据题目要求，本题解答如下 解：(1)设一次试验中成功的概率为
p 失败的概率为q ；
因为21,ξξ服从几何分布具有无记忆性所以： 当n m ≤≤1时
}{}{},{},{21m n P m P m n m P n m P -===-=====ηξηξξξ
2211p q p pq q n m n m ----==
(2)边缘分布
.a 1ξ的边缘分布：
根据边缘分布的定义当1ξ取值为m 时的边缘分布．即让2ξ遍历所有可能的值n m m ,2,1++于是有：
222211}{p q p q p q m P n m m --+++== ξ
12
1
2---===
∑m n m i i
pq p q
即1ξ的边缘分布为
)1(1.m pq p m m ≤=-
.b 2ξ的边缘分布：
当第二次成功出现在第
n
次时 ，即让1ξ遍历可能的值
1,3,2,1-n ．而1ξ取每一个值的概率均为 22p q n -，于是有222)1(}{p q n n P n --==ξ
即2ξ的边缘分布为：
2,)1(22.≥-=-n p q n p n n
8．设),(ηξ服从区域}10:),{(2<<<<=x y x y x D 上的
均匀分布．试求： (1) ξ的边缘分布；
（2）}2
1
{>ηP 解
：
（
1
）
因
为
)
,(ηξ服从区域
{
}10:),{(2<<<<=x y x y x D 上的均匀分布，所以有
⎪⎩⎪
⎨⎧∈=其它,
0),(,)
(1
),(D y x D m y x p
并且有6
1
3121)()
(1
2
1
02=-=-==
⎰
⎰⎰<<<<dx x x dxdy D m x y x ∴当D y x ∈),(时6),(=y x p ．于是有ξ的边缘分布为
：
)
(66),()(22
x x dy dy y x p x p x x
-===⎰⎰+∞
∞
-ξ
)1,0(∈x
（2）法（1）：
2
47
)(66)(}21{12
1121121-=-===>⎰⎰⎰⎰dy y y dxdy dy y p P y y ηη
法（2）： )2
1
(1}21{1}21{F P P -=<-=>ηη
而
43
2)21(6)(6)21(222
2
121
02-=-+-=⎰⎰dx x dx x x F
所以24
7
4321)21(-=+-=>η
P 9. （选学） 设（ηξ,）为二维正态随机向量，求落入区域
D=
{)
,(y x :
σ
2
2
)
(a x --
⋅
--σ
σ2
1
21)
)((2a a y x r +
σ2
22
2
)
(a y -
≤λ
2
}内的概率．
解：作变换，令θρθρsin ,cos =-=-b y a x ，
则ρ=||J 椭圆区域为
2
2
222121
2
2sin cos sin 2cos λσθσσθθσθρ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-r 记
222
22
12
1
2sin cos sin 2cos s r =+
-
σ
θ
σσθ
θσ
θ
则s /λρ=，且
⎰
⎰--
⨯-=
∈x s S r d e
d r
D P 20
)
1(212
212
22
121)}(),{(ρ
ρθσπσληξλ
ρ
θ
σπσλρ
d e S
r r
S
x r S
20
)1(22
22
212
22
)1(121⎰
----⨯-=
⎰⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯-=--πλθσπσ202)1(2212
112122
d S
e r r 当
∞
→λ时，
1
)}(),{(→∈ληξD P ，由此得
⎰-=πσπσθ202
212
121r d S ．
10. 设随机向量有联合密度函数
,),,()(z xy x xze z y x p ++-= 0,,>z y x
(1).ξ的一维边缘密度；（2）η的一维边缘密度（3）),(ηξ的二维边缘密度 解：（1）
ξ的一维边缘密度即把yz 看作常量得到：
⎰
⎰
+∞+∞
++-=0
0)()(dydz xze x p z xy x ξ
⎰⎰+∞-+∞
--=0
dy e ze xe xy z x
⎰
+∞
--=0
dz ze e
z x
+∞
---+=0|)(z z x e ze e
x e -=
即得ξ的一维边缘密
x e x p -=)(ξ．
（2）η的一维边缘密度，把z x ,看作常量．即
⎰
⎰
+∞
+∞
++-=0
)()(dxdz xze y p z xy x η
⎰⎰+∞
+∞-+-=0
)(dzdx ze xe z xy x
=
∞
++-+0)(2
|)1(1xy x e y 2
)1(1y +=
0>y
即η的一维边缘密度:
2
)1(1)(y y p +=
η
（3）),(ηξ的二维边缘密度此时z 为常量．
有：
dy xze p z xy x ⎰+∞
++-=0
)(
dxy e x
xze xy z x ⎰
∞
+-+-=
)()
(
)(z x ze +-= )0,0(>>z x 即),(ηξ的二维边缘密度)(),(z x ze y x p +-=ξη
2.6 随机变量的独立性
4．设随机变量),(ηξ的联合密度函数为
)1(24),(y x y y x p --=，0,>y x 且1<+y x ，
试求（1）21=ξ条件下η的条件密度；（2）2
1
=η条件下ξ的
条件密度。

解：据题意知，
ηξ,的边缘概率密度函数分别为
⎪⎩⎪⎨⎧<<--==⎰⎰-∞∞-其它,010,)1(24),()(10x dy y x y dy y x p x p x ξ⎩⎨
⎧<<-=其它,
01
0,)1(43x x ， ⎪⎩
⎪⎨⎧<<--==⎰⎰-∞
∞
-其它,01
0,)1(24),()(10
y dx y x y dx y x p y p y
η⎩
⎨
⎧<<-=其它,01
0,)1(122y y y ， 故当10<<
x 时，
)
()
,()|(|x p y x p x y p ξξη=
⎪⎩⎪
⎨⎧-<<---=⎪⎩⎪⎨⎧-<<---=其它其它,010,)1()
1(6,010,)1(4)1(2433x y x y x y x y x y x y
当10<<
y 时，
)
()
,()|(|y p y x p y x p ηηξ=
⎪⎩⎪⎨⎧-<<---=⎪⎩⎪
⎨⎧-<<---=其它其它,010,)1()1(2,010,)1(12)1(242
2y x y y x y x y y y x y
（1）所以，2
1
=
ξ条件下η的条件密度为 )2
1(),2
1()2
1
|(|ξξηp y p y p =⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<<---=其它,02
10,)211()211(63y y y ⎪⎩
⎪⎨⎧
<<-=其它,0210),21(24y y y ； （2）21
=
η
条件下ξ的条件密度为 )2
1()
21,()21|(|ηηξp x p x p =
⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
<<---=其它其它,0210),21(4,0210,)211()211(22x x x x 。

5．设),(ηξ是连续型随机变量，ξ有密度函数
x xe x p λλ-=21)(，0>x
而η服从区间),0(ξ上的均匀分布，试求η的密度函数。

解：据题意知，
⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,
00,1
)|(|x y x x y p ξ
η 由于)
()
,()|(|x p y x p x y p ξξη=
，故
⎪⎩⎪⎨⎧<<⋅==-其它,00,1)()|(),(2|x
y xe x
x p x y p y x p x
λξξηλ⎩⎨⎧<<=-其它,00,2x y e x λλ，
所以，η的密度函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧>==⎰⎰∞-∞
∞
-其它,00
,),()(2y dx e dx y x p y p y
x ληλ⎩⎨
⎧>=-其它,
00,y e y λλ。

6．设随机变量),(ηξ的联合密度函数为
（1）⎩
⎨⎧<<=其它,01
,0,4),(y x xy y x p ；
（2）
⎩⎨
⎧<<<=其它,
01
0,8),(y x xy y x p ， 试问ξ与η是否相互独立？为什么？
解：（1）ξ的边缘概率密度函数为
⎩⎨
⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰∞
∞-其它其它,010,2,
010,4),()(1
0x x x dy xy dy y x p x p ξ，
同理，η的边缘概率密度函数为
⎩⎨
⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰∞∞-其它其它,010,2,01
0,4),()(1
0y y y dx xy dx y x p y p η，
因为
)()(),(y p x p y x p ηξ=，所以ξ与η独立．
（2）ξ的边缘概率密度函数为
⎩⎨⎧<<-=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰∞
∞-其它其它,010),1(4,
01
0,8),()(21x x x x dy xy dy y x p x p x ξ，
同理，η的边缘概率密度函数为
⎩⎨
⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰∞
∞-其它其它,010,4,
010,8),()(20y y y dx xy dx y x p y p y η，
因为
)()(),(y p x p y x p ηξ≠，所以ξ与η不独立．
7.设随机向量),(ηξ的联合密度函数
⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,
01
||,1||,41),(y x xy
y x p ，
试证ξ与η不独立，但2
ξ与2
η是相互独立的．
证：当1||<x 时，
⎰⎰
∞∞
--=+==1
12
1
41),()(dy xy dy y x p x p ξ，其余
0)(=x p ξ．
同理当1||<y 时，2/1)(=y p η其余0)(=x p η，
当
,1||0<<x
1
0<<y 时有
)()(),(y p x p y x p ηξ≠，所以ξ与η不独立．
现试用分布函数来证2ξ与2η独立．2ξ的分布函数记为
)(1x F ，则当10≤<x 时，
⎰-==<<-=<=x x
x dx x x P x P x F 2
1
}{}{)(2
1ξξ； 同理可求得2
η的分布函数)(2y F ，得
⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤<≤=⎪⎩⎪
⎨⎧>≤<≤=,1,11
0,0,
0)(,1,11
0,0,
0)(21y y y y y F x x x x x F ),(2
2ηξ联合分布函数记为),(3y x F ，则当1,10≥≤≤y x 时
x x P y x P y x F =<=<<=}{},{),(2223ξηξ
同理得当1,10≥≤≤x y 时，),(3y x F y =；当
10,10≤≤≤≤y x 时
,{},{),(223y x x P y x P y x F <
-<<-=<<=ξηξ
=
⎰
⎰
--
=+x x
y
y xy dt st
ds 4
1
合起来写得
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤≤≥≤≤≥≤≤≤≤=1
,1,
110,10,1,10,
1,10,0
0,0),(2y x y x xy x y y y x x y x y x F 或 不难验证)()(),(213y F x F y x F =对所有y x ,都成立，所
以2
ξ与2
η独立．
8．若ηξ,相互独立，都服从1-与1这两点上的等可能分布，令ξηζ
=，试证ζ
ηξ,,两两独立但整体不独立．
证：由题设得
})1,1(}1,1({}1{-=-=====ηξηξξ P P
2
1
21212121}1,1{}1,1{=⋅+⋅=
-=-=+===ηξηξP P ，
})1,1(}1,1({}1{=-=-===-=ηξηξξ P P
212
1212121}1,1{}1,1{=
⋅+⋅=
=-=+-===ηξηξP P ．
}])1
,1(}1,1[{}1({}1,1{-=-=======ηξηξξζξ P P
}
1{}1{41
}1{}1{}1,1{==========ζξηξηξP P P P P ，
}])
1,1(}1,1[{}1({}1,1{=-=-====-==ηξηξξζξ P P
}
1{}1{4
1}1{}1{}1,1{-====
-===-===ζξηξηξP P P P P
同理可证
}1{}1{}1,1{=-===-=ζξζξP P P ，
}1{}1{}1,1{-=-==-=-=ζξζξP P P .
所以ξ与ζ相互独立．用同样的方法可证η与ζ也相互独
立．但
{}1,1[{}1,1({}1,1,1{========ξ
ηξηξζηξ P P
4
1}1{}1{}1,1{=
======ηξηξP P P ， 而8
1}1{}1{}1{=
===ζηξ
P P P ， 所以，ζηξ,,只两两独立而不相互独立． 2.7 随机变量函数的分布
1．设ξ与η相互独立，同服从参数为p 的几何分布，试求：
（1）ηξ
+的分布；
（2）ηξ∨的分布． 解：据题意知，ξ与η的概率分布分别为
,2,1,}{1===-i p q i P i ξ ,2,1,}{1===-j p q j P j η
（1）
∑∑-=-=-
===-====+11
11
{}{},{}{k i k i k P i P i k i P k P ηξηξηξ p q
p q i k k i i 1
1
11
---=-∑=∑-=-=1
1
22k i k p q 22)1(p q k k --=，
,2,1=k
(2)令ηξζ∨=，所以
111
},{},{}{-========k i k
j j k k i k ηξηξζ
},{},{}{1
11
j k P k i P k P k j k i ==+====∑∑=-=ηξηξζ∑∑=-+-=-++=k
j j k k i k q p q
p 1
2
21
1
2
12
111
2)2(1111-----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--=k
k k k k q q q q q
q q
p
),2,1( =k
2.假定随机变量1ξ与2ξ相互独立，对2,1=i ，i ξ服从参数
为i λ的Poisson 分布，试求： （1）21
ξξ+的分布；
（2）已知n =+21
ξξ时1ξ的条件分布．
解：（1）由卷积公式及独立性得
}
,{}{210
21i k i P k P k
i -====+∑=ξξξξ}{}{210
i k P i P k
i -===∑=ξξ
2
1
12
1
)!
(!
λλλλ-=--∑
-⋅
=e i k e i k
i k i
1
210
)()!1(!!!121-=+-∑-=
k i k
i k i k e k λλλλ )
(2121!
)(λλλλ+-+=
e k k
,2,1,0=k
即21
ξξ+具有普阿松分布，且参数为21λλ+ （2）}
{}
,{}|{21211211
n P n k P n k P =+=+==
=+=ξξξξξξξξ
}
{},{2121n P k n k P =+-===
ξξξξ}
{}
{}{2121n P k n P k P =+-===
ξξξξ
(212
1
2
1
!
)()!
(!λλλλλλ----+÷-⋅
=
e
n e
k n e
k n k n k
k
n k
k n -⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2122
11λ
λλλλλ，n k
,,2,1,0 =
3.设随机向量),(ηξ有联合分布如下表：
试求：（1）ηξ
+的概率分布；
（2）ηξ∨的概率分布；（3）2
η的概率分布．
解：（1）ηξ
+的全部可能取值为0，1，2，3，4，5
16/2}1,1{}0{=-====+ηξηξP P ，
00}1,2{}0,1{}1{=+=-==+====+ηξηξηξP P P ，
,3{}0,2{}1,1{}2{=+==+====+η
ξηξηξηξP P P P
16/716/216/316/2=++=，
,3{}1,2{}2,1{}3{=+==+====+η
ξηξηξηξP P P P
16/10016/1=++=，
1
/116/2}1,3{}2,2{}4{+===+====+ηξηξηξP P P ，
16/3}2,3{}5{=====+ηξηξP P ．
所以，ηξ
+的概率分布为
(2)
ηξ∨的全部可能取值为1，2，3
,1{}0,1{}1,1{}1{=+==+-====∨η
ξηξηξηξP P P P
16/416/2016/2=++=
,
2{}1,2{}2,1{}2{=+-==+====∨ξηξηξηξP P P P
16
/616/2016/3016/1}2,2{=++++===+ηξP ，
}2,3{}1,3{}0,3{}1,3{}3{==+==+==+-====∨ηξηξηξηξηξP P P P P
16/616/316/1016/2=+++=
所以，ηξ
∨的概率分布为
(3) 2
η的全部可能取值为0，1，4
16/3}0{}0{2====ηηP P ，
16
/716/316/4}1{}1{}1{2=+==+-===ηηηP P P ，
16/6}2{}4{2====ηηP P ．
所以，2
η的概率分布为
4.设ξ服从标准正态分布，试求：(1)ξ
e 的密度函数；（2）
2
1
ξ的密度函数．
解：据题意知，ξ的概率密度函数为
2
2
21)(x e
x p -=
π
，∞<<∞-x
（1）令ξη
e =，则ξe 的分布函数为
}{}{)(y e P y P y F <=<=ξηη
当0≤y 时，φξ=<}{y e ，则0)(=y F η； 当
0>y 时，
)(ln }ln {}{)(y F y P y e P y F ξξηξ=<=<=
所以，ξ
e 的密度函数为
⎩⎨
⎧>'≤='=0
,])(ln [0,
0)()(y y F y y F y p ξηη⎪⎩
⎪⎨
⎧
>⋅≤=0
,1)(ln 0,0y y y p y ξ
⎪⎩⎪
⎨⎧
>⋅≤=-0
,1
210,02)(ln 2y y e y y π⎪⎩
⎪⎨⎧
>≤=-0
,210,02)(ln 2
y e y y y π
（2）令2
1
ξζ
=
，则
2
1
ξ的分布函数为
}1
{
}{)(2
y P y P y F <=<=ξ
ζζ
当
0≤y 时，φξ
=<}1
{2y ，则0)(=y F ζ；
当
0>y 时，
1
(}1{}1{}1
{
)(2
y
F y
P y
P y P y F ξζξξξ-
=>
+-
<=<= 所以，
2
1
ξ
的密度函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧
>'-+-≤='=0,
])1(1)1([0,0)()(y y F y F y y F y p ξξζζ
⎪⎩
⎪⎨⎧
>-⋅--≤=--0),21()1()1(210,0232
3y y y p y p y y ξξ
⎪⎩
⎪⎨⎧
>+-≤=-0)],1()1([210,02
3y y p y p y y ξξ ⎪⎩⎪⎨⎧
>+≤=-
---0
],2121[2
10
,02)1(2)1(232
2
y e e y y y y
ππ
⎪⎩
⎪⎨⎧
>≤=-
,
21
0,0213y e y y y π．
5.若n ξξξ,,,21 相互独立，且皆服从指数分布，参数分别为n λλλ,,,21 ，试求),,,min(21n ξξξη =的分布．
解：当
0>y 时由独立性得
},,,{}{)(121y y y P y P y F n ≥≥≥=≥=-ξξξηη
∑==-==-==-=≥=n i i n i y n i n i y e y F y P i i 1
1
1
1
1)
ex p()())(1(}{λξλξ
⎪⎭
⎫
⎝⎛--=∴∑=n
i i y y F 1exp 1)(λη
当0y ≤时()0F y η=．求导得η的密度函数为，当0
y ≤时
()0p y η=；当0y >时
11()()exp n
n j j j j p y F y y ηηλλ==⎛⎫
'==- ⎪⎝⎭
∑∑
即),,,min(21n ξξξη
=的密度函数为
⎪⎩⎪⎨⎧
>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤=∑∑==0
,exp 0,0)(11
y y y y p n j j n
j j λλη
6.设随机变量ξ有密度函数)(x p ，试求下列随机变量的分布
函数：（1）1-=ξη
，这里0}0{==ξP ；（2）ξ
ηtg =；（3）
||ξη=．
解：（1）由0}0{==ξ
P 知，η以概率1取有限值．
当0>y 时，
⎰∞-=⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧>+<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=<=01}0{1}{)(y P P y P y P y F ξξξηη；
当
0<y 时，
⎰=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=01)(011)(y
dx x p y P y P y F ξξη；
当
0=y 时，
⎰
∞
-=0)()(dx x p y F η．
故η的分布函数为
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧<=>+=⎰⎰⎰⎰∞-∞∞
-0
,)(0,
)(0,
)()()(0
1010y dx x p y dx x p y dx x p dx x p y F y y η． （2）
}
{)(y tg P y F <=ξη⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+<<-=∞-∞= k y arctg k k P })2{πξπ
π ∑⎰∞
-∞
=+-
=
k y
arctg k k dx x p ππ
π2
)(
（3）当
0≤y 时，0)(=y F η；当0>y 时，
{}{}⎰
-=<<-=<=y y
p y y P y P y F (
||)(ξξη．
故η的分布函数为
⎪⎩⎪⎨
⎧>≤=⎰-0
,)(0,
0)(y dx x p y y F y y
η．
7．若ηξ,为相互独立的分别服从[0，1]均匀分布的随机变量，试求ηξζ
+=的分布密度函数．
解：ξ与η的密度函数为。