高考数学 第十章 第九节 离散型随机变量的均值与方差

【全程复习方略】（山东专用）2014版高考数学第十章第九节离散型随机变量的均值与方差课时提升作业理新人教A版
一、选择题
1．已知X
则下列命题：①E(X)=-
3;②D(X)=
27
;③P(X=0)=
3
.正确的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
2
其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝
3
，则D(ξ)的值是( )
(A)1
3
(B)
2
3
(C)
5
9
(D)
7
9
3．(2013·杭州模拟)若随机变量X～B(100，p)，X的数学期望E(X)=24，则p的值是( )
(A)2
5
(B)
3
5
(C)
6
25
(D)
19
25
4.若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝2
3
，P(X＝x2)＝
1
3
，且x1＜x2，又已知E(X)＝
4
3
，D(X)＝
2
9
，则x1
＋x2的值为( )
(A)5
3
(B)
7
3
(C)3 (D)
11
3
5．已知随机变量X～B(6，
2
)，则P(－2≤X≤5.5)＝( )
(A)7
8
(B)
1
8
(C)
63
64
(D)
31
32
6.利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是( )
(A)A1 (B)A2 (C)A3 (D)A4
二、填空题
7．若随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝m)＝1
3
，P(ξ＝n)＝a.若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于
____________．
8.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试
的概率为2
3
，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕
业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝
1
12
，则随机变量X的数学期望E(X)＝_________.
9.抛掷两枚骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的期望是____________.
10.(能力挑战题)设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝_________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为___________．
三、解答题
11.某品牌汽车的4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行了统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，且4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客一次付款，其利润为1万元；分2期或3期
付款方式一次分2期分3期分4期分5期
频数40 20 a 10 b
(1)若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分3期付款”的概率P(A).
(2)求η的分布列及其数学期望E(η)．
12．(2013·广东六校联考)近几年来，我国许多地区经常出现干旱现象，为抗旱经常要进行人工降雨.现由天气预报得知，某地在未来5天的指定时间的降雨概率是：前3天均为50%，后2天均为80%，5天内任何一天的该指定时间没有降雨，则在当天实行人工降雨，否则，当天不实施人工降雨.
(1)求至少有1天需要人工降雨的概率.
(2)求不需要人工降雨的天数x的分布列和期望.
13.(能力挑战题)一个口袋装有n个红球(n≥5且n∈N)和5个白球，一次摸奖从中摸2个球(每次摸奖后放回)，2个球颜色不同则为中奖.
(1)试用n表示一次摸奖中奖的概率.
(2)若n=5,求3次摸奖的中奖次数ξ=1的概率及数学期望.
(3)记3次摸奖恰有1次中奖的概率为P,当n 取多少时，P 最大? 答案解析
1．【解析】选C ．E(X)=(-1)×12+0×13+1×16=13-,∴①正确;D(X)=(-1+13)2×12+(0+13)2×13+(1+13
)2
×
16=5
9
,∴②不正确；由分布列知：③正确. 2．【解析】选C ．∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c. 又a ＋b ＋c ＝1，且E(ξ)＝－1×a ＋1×c ＝c －a ＝13
, 联立三式得a ＝
16，b ＝13，c ＝1
2， ∴D(ξ)＝(－1－13)2×16＋(0－13)2×13＋(1－13)2×12＝5
9
.
3．【解析】选C ．∵X ～B(100,p),∴E(X)=100p. 又∵E(X)=24,∴24=100p,246
p 10025
=
=
. 4.【思路点拨】利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式构造含有x 1，x 2的方程组求解. 【解析】选C.分析已知条件，利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得：
1222122
14x x 333
42412(x )(x )33339⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
g g g g ＋＝，－＋－＝， 解得11225x ,x 1,3
2x 2,x 3⎧
⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎩
＝＝ 或＝＝ 又∵x 1＜x 2，∴x 1＋x 2=3.
5．【解析】选A ．依题意，P(－2≤X ≤5.5)＝P(X ＝0,1,2,3,4,5)＝1－P(X ＝6)＝1－6
66C )2＝78
. 6.【思路点拨】求出四种方案A 1，A 2，A 3，A 4盈利的期望，再结合期望作出判断. 【解析】选C.方案A 1，A 2，A 3，A 4盈利的期望分别是： A 1:50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7； A 2:70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5； A 3:－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7； A 4:98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6. 所以A 3盈利的期望值最大,所以应选择A 3.
7．【解析】依题意有a ＝1－
13＝23，所以E(ξ)＝13m ＋23n ＝2，即m ＋2n ＝6.又D(ξ)＝13(m －2)2
＋23
(n －2)2
＝2n 2
－8n ＋8＝2(n －2)2
，所以当n ＝2时，D(ξ)取最小值为0.
答案：0
8.【解析】1-23=13.∵P(X ＝0)＝112＝(1－p)2
×13
， ∴p ＝12.1-12=1
2
.随机变量X 的可能取值为0,1,2,3，
因此P(X ＝0)＝112，P(X ＝1)＝23×(12)2＋13×(12)2×2＝13，P(X ＝2)＝23×(12)2×2＋13×(12
)2
＝
512，P(X ＝3)＝23×(12)2＝16，因此E(X)＝0×112+1×13＋2×512＋3×16＝53
. 答案：53
9.【思路点拨】先求出一次试验成功的概率，再根据二项分布求解. 【解析】由题意一次试验成功的概率为1－
23×23＝5
9
，10次试验为10次独立重复试验，则成功次数X ～B(10，
59)，所以E(X)＝509. 答案：509
10.【解析】D(ξ)＝100p(1－p)≤100·2
p 1p ()2
+-＝25， 当且仅当p ＝1－p ，即p ＝1
2
时，D(ξ)最大，为25. 答案：
1
2
25 【变式备选】一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，a ，b ，c ∈(0,1)，且无其他得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab 的最大值为___________.
【解析】依题意得3a ＋2b ＋0×c ＝1，∵a ＞0，b ＞0，∴3a ＋2b ≥1，∴ab ≤124
.当且仅当3a ＝2b 时，等式成立． 答案：
124
11.【解析】(1)由题意可知购买该品牌汽车的顾客中，采用分3期付款的概率为0.2，所以 P(A)＝(1-0.2)3
＋1
3C ×0.2×(1－0.2)2
＝0.896.
(2)由
a
100
＝0.2得a ＝20. ∵40＋20＋a ＋10＋b ＝100，∴b ＝10. 记分期付款的期数为ξ，依题意得： P(ξ＝1)＝40100＝0.4，P(ξ＝2)＝20100＝0.2，P(ξ＝3)＝20100＝0.2，P(ξ＝4)＝10100
＝0.1，P(ξ＝5)＝
10
100
＝0.1.
由题意知η的可能取值为：1,1.5,2(单位：万元)． P(η＝1)＝P(ξ＝1)＝0.4，
P(η＝1.5)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.4,
P(η＝2)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2, ∴η的分布列为：
∴η的数学期望E(η)＝1×0.4＋1.5×0.4＋2×0.2＝1.4． 12．【解析】(1)5天全不需要人工降雨的概率是321142
P ()()2525
==
g ,故至少有1天需要人工降雨的概率是1223
1P 12525
-=-
=
. (2)x 的取值是0，1，2，3，4，5，由(1)知5天不需要人工降雨的概率是：P(x=5)=P 1=225
, 4天不需要人工降雨的概率是：
()31132
23
14114567P x 4()C C ()()2552520025
==⨯+==, 3天不需要人工降雨的概率是：
()232
13132332
141141173P x 3C ()()C ()C ()()()()2525525200
==++=, 2天不需要人工降雨的概率是：
()232
13132332
111141443P x 2C ()()C ()C ()()()()2525525200
==+⨯+⨯=， 1天不需要人工降雨的概率是：()13
23132
1114111P x 1C ()()()C ()()25255200==+=g , 0天不需要人工降雨的概率是：()32111
P x 0()()25200
===
g , 故不需要人工降雨的天数x 的分布列是：
不需要人工降雨的天数x 的期望是： E(x)=0×
1200+1×11200+2×43200+3×73200+4×725+5×225
=3.1. 【方法技巧】求离散型随机变量均值与方差的基本方法
(1)定义法：已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解.
(2)性质法：已知随机变量ξ的均值与方差，求ξ的线性函数η=a ξ+b 的均值与方差，可直接利用均值、方差的性质求解.
(3)公式法：如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布，二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解.
13.【解析】(1)记“1次从n+5个球中摸出2个球”为事件A ，card(A)=
()()
n 5n 42
++.
“1次从n+5个球中摸出2个球且2个球异色”为事件B ，card(B)=5n, 所以，所求概率()()
10n
P n 5n 4=
++.
(2)3次放回式摸奖中“每次从n+5个球中摸出2个球且2个球异色”为独立重复事件, 当n=5时，获奖次数ξ～B(3,
59
)， P(ξ=1)=80243
. E(ξ)=539´ =155
93
=.
(3)ξ～B(n,p)，
()2
132
3P(1)C p 1p 3p 6p 3p ξ==-=-+,0＜p ＜1,
令f(p)=3p 3-6p 2+3p,由f ′(p)=9p 2
-12p+3=0,得p=1
3
; 当p=
1
3
时f(p)有最大值. 由()()10n P n 5n 4=
++=1
3
，解得n=20.
所以当n=20时，3次摸奖恰有1次中奖的概率最大.。