2019-2020年高中数学选修2-1教案：第三章 圆锥曲线复习

2019-2020年高中数学选修2-1教案：第三章圆锥曲线复习
考点一圆锥曲线的定义及应用
圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如：(1)在求轨迹时，若所求轨
迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决．
例1.设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 2
4＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角
形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，求|PF 1|
|PF 2|
的值．
练习1．已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过点M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )
A ．x 2
－y 2
8＝1(x ＞1) B ．x 2
－y 2
8＝1(x ＜－1) C ．x 2
＋y 2
8＝1(x ＞0) D ．x 2
－y 2
10＝1(x ＞1)
考点二 圆锥曲线简单性质的应用
有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解．
例2.已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－c,0)，A (－a,0)，B (0，b )是两个顶点，如果
F 1到直线AB 的距离为
b
7
，求椭圆的离心率e .
练习2．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 2
3n
2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是
( ) A ．x ＝±
152y B ．y ＝±152x C ．x ＝±34y D ．y ＝±34
x 考点三 直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定：
直线l ：f (x ，y )＝0和曲线C ：g (x ，y )＝0的公共点坐标是方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
f
x ，y ＝0，g
x ，y ＝0
的解，l
和C 的交点的个数等于方程组不同解的个数．这样就将l 和C 的交点问题转化为代数的问题研究，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式Δ，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便，尤其在双曲线中要注意渐近线的特殊性．
2．弦长公式：
(1)斜率为k 的直线被圆锥曲线截得弦AB ，若A 、B 两点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝
1＋k
2
·[x 1＋x 2
2
－4x 1x 2]或当k 存在且不为零时，|AB |＝
1＋1
k
2|y 1－y 2|，
(其中x 1＋x 2、x 1x 2(或y 1＋y 2、y 1y 2)根据根与系数的关系求得)． (2)抛物线y 2
＝2px (p ＞0)过焦点F 的弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .
例3.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝3
2
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为(－a,0)． ①若|AB |＝42
5
，求直线l 的倾斜角；
②若点Q (0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且QA →·QB →
＝4，求y 0的值．
练习3．在抛物线y 2
＝16x 内，通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在的直线的方程是________．
考点四 曲线方程的求法
求曲线方程是解析几何的基本问题之一，其求解的基本方法有：
(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x ，y )，根据几何条件直接寻求x 、y 之间的关系式． (2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．
(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．
(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P (x ，y )的坐标x ，y 所满足的关系式时，借助第三个变量t ，建立t 和x ，t 和y 的关系式x ＝φ(t )，y ＝Φ(t )，再通过一些条件消掉t 就间接地找到了x 和y 所满足的方程，从而求出动点P (x ，y )所形成的曲线的普通方程，
例4.设直线y ＝ax ＋b 与双曲线3x 2
－y 2
＝1交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点，求P (a ，
b )的轨迹方程．
练习4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3
3
，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆
与直线y ＝x ＋2相切． (1)求a 与b ；
(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．
考点五 圆锥曲线中的最值与定值问题 1.圆锥曲线中的最值问题
(1)平面几何法：平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解． (2)目标函数法：建立目标函数来解与圆锥曲线有关的最值问题是常规方法，其关键是选取适当变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．
(3)判别式法：对二次曲线求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式来求最值． 2．圆锥曲线中的定值问题
圆锥曲线中的定值问题的证明可以运用函数的思想方法解决．其证明过程可总结为“变量——函数——定值”，具体操作为：
变量——选择适当的量为变量；函数——把要证明为定值的量表示成上述变量的函数；定值——把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值．
例5如图 所示，过抛物线y 2
＝2px 的顶点O 作两条互相垂直的弦交抛物线于A 、B 两点．
(1)证明直线AB 过定点；(2)求△AOB 面积的最小值．
练习5．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，B 为椭圆短轴的一个顶点，过B 点作椭圆的弦BM ，求弦长
的最大值．
考点六 数形结合思想
解析几何的本质是用方程来研究平面几何，故既要考虑曲线的形，又要考虑表示曲线的数，利用数来解形的同时，要关注用形来助数．
例6 已知P (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点，F 1、F 2是焦点，求证：以PF 2为直径
的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切．
练习 6．曲线x 2
＋y 2
＝4与曲线x 2
＋y 2
9
＝1的交点个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
高考链接
1．(全国卷Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2
2
－y 2
＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→
·MF 2
→
＜0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－
33，33 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223
，223 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－233
，233
2．(xx ·四川高考)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2
＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.
33 B ．23 C.2
2
D ．1 3．(江苏高考)如图 ，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22
，
且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；
(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若
PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．
4．(安徽高考)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B
的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510
. (1)求E 的离心率e ；
(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为7
2
，求
E 的方程．
5．(浙江高考)如图，设椭圆x 2a
2＋y 2
＝1(a >1)．
(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；
(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．。