这么好的解法学生怎么就想不到
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导 思维 和解 题 了．
３ １ 呈 现试题 的载 体和 背景 掩盖 了题 目的本 质 ．
中存在的不变性 ， 运动的场景便是混乱的． 再次审 视运动过程 ， 以下 ３ 个几何关系始终不变： 尸与 点 点 Ａ关 于 坐标 原 点对 称 ， ｃ是 点 Ｐ在 轴 上 的 点
射影 、 Ａ， Ｂ共 线． ３个不 变关 系 的代 数表 达 点 ｃ， 这
第１ １期
李 昌： 么好 的解法 学生怎 么就想不到 这
・１ ５・
要保 持 点 Ａ， Ｐ关 于 原 点 对称 、 Ｃ是 点 Ｐ在 轴 点 上 的射 影 、 Ａ， Ｃ共 线 ， （ ） 成 立 ， 就 是 点 Ｂ， 式 ７就 也 说 ， （ ） 一般 的椭 圆 、 曲线 仍 成立 因此 ， 式 ７对 双 引． 考查 椭 圆的性 质不 是 目的 ， 而是 以其为 载体 考查 学 生 的思 辨 能力 ， 这使 得该 题具 有很 好 的 区分 度 和甄
— — — — — — — — — — — 一
：
Ｂ
。 ｃＰ
’ ．
（ （） ６ ６
２ 一 １
注意到式（） ５ 的右端与斜率有关， 即÷ ， 。观察图
形 ， 得 可
一ｏ，
故 ｋｋ 一１ 于是 上Ｐ ． ＝ ， Ｂ ２ 好 的解 法从哪 里来
一
ｋ Ａ ｉ ｃ＝． ｝ Ａ ８＝÷． ｊ ｝ Ａ ０＝÷
・
１ ４・
中学教研 （ 数学）
设直 线 朋 ，Ｂ 的斜率 分别 为 ｋ，： 因为 点 Ｃ在 直 Ａ ｋ，
线Ａ 上， 以 Ｂ 所
ｋ ２＝
１ 一
点 ， Ｃ坐标 之间 的关 系 ， 即
Ａ：一 ． ｃ （） ４
式 （ ） 直线 的斜 率 ， 用 点 Ａ， ｃ的坐 标表 示 ， ３是 可 Ｂ，
２２ 源 于对运 动 变化 中几何 不变 关 系的代数 表达 ． 辩 证 唯物 主 义 运 动 观 告 诉 我 们 ： 化 是 绝 对 变 的 ， 变是 相对 的． 不 如果 只看 到运动 ， 不 留心运 动 而
在 高考这 一特 定 的环境 下 ， 生想 不到好 的解 学 法 ， 因 固然 很多 ， 主要 的有 ２点 ： 原 但 一是 题 目的背 景具有 迷惑 性 ， 生 的视野 被题 目表 象迷惑 致使 其 学 无法 洞察 问题 的本 质 ； 二是 学生 对运 动 中存 在 的不 变 陛这一 规律缺 乏认 识和 思考 ， ，． 更谈 不上 用之 于指
使直线 与 船 的垂直关系不变． 因此 ， 抓住 变化 的核心元素 ， 将其作 为解题的突破 口， 即可步 步推
进．
点（ 趋同意识） 则点 Ａ Ｐ对称 ， ， ， 横纵坐标都互为
相反数 ， 方便计算 （ 简意识 ） 至此， 求 ． 解法 ２便水 到渠成．
３ 学 生为什 么没 想到 好解 法
解 法 ２ 设 Ｐ（ １Ｙ ） Ｂ（ ２Ｙ ） 则 ， ， ，２ ， １ ０ ＞ ，１ ２Ａ － １ 一 １ ， （ ， ） ＞ ，２ ０ ≠ ， （－ ， Ｙ ） Ｃ １０ ． Ｘ
２
，
２
Ｎ分别是椭 圆－ ＋ ＝１ Ｘ － － 的顶点 ， 过坐标原点的直
数 学 学 习成 为学 生 的一种期 待成 为 可能．
参
考
文
献
［ ］ 吴 亚 萍． 新基 础教 育 ” 学教 学 改革指 导 纲 １ “ 数 要 ［ ． 林 ： 西师 范 大学 出版社 ，０ ９ Ｍ］桂 广 ２０ ．
（ ） 先行 组 织者 ” ５“ 教学 方 式体 现 了 以 “ 程 ” 过 为核 心 的教 育 思 想． 既 不 一 味 支 持 建 构 主 义 理 它 论 ， 不 一 味反 对行 为 主义 理 论 ， 也 而是 根 据 不 同 的
氛沉 闷 ， 学 生 表 现 自我 的机 会少 ． 学 生 通 过课 让 而
动、 挑战性问题引导下的合作研讨 、 有代表性问题 引导下的尝试 运用 、 问题清单 ” “ 引导下 的回顾与 思考 ） 作为教学的基本手段． 这种集东西方优秀文
化 于一炉 的教 学方 式 ， 现 了过 程哲 学家怀 特海提 体 出的“ 程 ” 育 思 想 ， 满 足学 生 和谐 发展 的需 过 教 能
依次为 ：
＝一 且 Ｙ Ｐ Ａ＝一Ｙ ； Ｐ ｃ； Ｐ且 Ｙ ｃ＝０；
ｃ＝ ＝ｋｃ 口．
（） １ （） ２
（） ３
试题 以椭 圆为 载体 ， ３条动 直线 与椭 圆的交 以 点 为背 景考查 垂直 关 系 ， 背景 和载 体具 有一定 的迷 惑性 ， 学生 易将其 归 结 为 曲线 的交 点 问题 ， 择 解 选
要．
前在教师指导下 的“ 战” 从精神上、 备 ， 心理上、 智 力上 作好 了学 习新 知 识 的准 备 ， 通 过 经 历感 知 、 并 分析 、 判断、 想象和归纳等心智活动的过程 ， 可能会
产生 个性 化 的想 法 ， 得 学生课 内在 教师 指挥 下 的 使 “ 战” 程 中， 作 过 有表 现 自我 的 欲望 ， 加 上 教 师 在 再 课 内搭建 了交 流 合作 和小 组竞争 学 习 的平 台 ， 使得
学生 自主建 构相 结合 作 为教学 的基 本方 法 、 以行 为 过程 中 的“ 四练 ” “ 行 组 织 者 ” （先 引导 下 的具 体 活
按时完成教学任务带来挑战的矛盾． （ ） 习 “ 行 组 织 者 ” 数 学 学 习 成 为 学 生 ４预 先 使 的一种期待成为可能． 学生对体育课、 音乐课、 信息 技术课及各种活动课有较高 的心理期望 ， 但对抽象 枯燥的数学课感兴趣的不多， 原因是传统的课堂气
哪条 直 线 呢 ？审 视 变 化过 程 ， 以发 现 ： 有 的变 可 所 化都 是 由点 Ｐ 或 点 Ａ 或 者直线 Ｐ （ ） Ａ的变化 引起 的 （ 化 的核 心 元 素 ） 它们 的运 动 带 动 了其 他 元 素 变 ， 的变化． 由于在 变化 过 程 中受 椭 圆方 程 的制 约 ， 致
第 １ 期 １
李 昌 ： 么好 的解法学生怎么就 想不到 这
・ｌ ３・
需要 解 决 的 部 分 问 题 ， 又 给 “ 程 ” 段 提 供 了 这 过 阶 时 间保 障． 能 解 决 经 历 “ 程 ” 学 节 奏 缓 慢 对 这 过 教
生认知过程和以学生为主体 的数学活动过程作为 教学的基本过程 、 以课 内外结合和教师价值引导与
尽可能地对教学 内容、 教学方法、 教学理念等进行 次 “ 容 ” 以延 续 和 发 展 高 考 的 导 向 价 值 ］ 整 ， １ ．
一
２ １ 年江苏省数学高考试题 的答案公 布之后 ， ０ １ 针 对 其 中第 １ ８题 的第 （ ） 题 ， 者 发 现 学 生 的解 ３小 笔 法和思路与参考答案中的解法 １ 基本相 同， 他们都 感到这种解法运算繁、 耗时多、 易出错 ， 甚至无功而 返 ； 于解 法 ２， 有 学生 能够 想 到 ， 们都 不 约 而 对 鲜 他
ｙ ２ ２ ２
—
・
Ｘ２ 一
小 一Ｘ １）
，
—Ｙ ａ
一 Ａ 一 Ａ
Ｙ ｄ
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， － ｐ
２Ａ； ｘ’
（ ５） 、一
…
－
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’ ＋ １： …
，
—
若用 船来表 达 ， 则
ｋ ：
ｘＢ — ｘＡ
；一 ｉ
（ ＋ ）一（ ＋ ） ２ ２
同地 发 出感 叹 “ 此解 法巧 妙 ， 怎 么 就想 不 到 ” 作 我 ．
的方 程 Ｙ＝ｋ ， 椭 圆 ｘ与
方 程联 立 解 方 程 组 ， 点 得 Ａ， 的 坐 标 ， 而 得 点 Ｃ Ｐ 进 的坐 标 ， 写 出 直 线 Ａ 再 Ｃ
Ⅳ
． Ｍ
的方 程 ， 与 椭 圆方 程 联 再
了感 性理 解后 ， 出问题 ： 标 系 的不 同取法 ， 提 坐 对研 究结 果是 否有 影 响 ？可 激 起 学 生 对 解析 法 的理性
（） ７
种解法 产 生 的过 程 ， 质上 是 寻找条 件 和结 本
注意 到式 （ ） ６ 的右 端 也 与 斜 率 有 关 ， 设 线 段 Ｂ 若 Ｐ
论 之间 的逻辑 思 维 过 程． 因此 ， 法 产 生 于 对 题 目 解
的中点为 Ｄ， ｋ ＝ ｏ， 则 ｋｏ 结合 图形知这是必然的．
教学 目标 、 具体的学习内容和不同地域及不同类别 的学生实际 ， 吸纳各种理论的合理成分作为教学的 指导思想 ， 并以数学知识发生发展过程为载体 的学
这 么 好 的 解 法 学 生 怎 么 就 想 不 到
●李 昌 （ 杨集高级中学 江苏灌云 ２２２ ） ２２１
高 考试 题对 高 中教 学具有 良好 的导 向作 用 ， 是 教师 进 行教 学 和研究 的不 竭资 源． 高考题 的利用 应
（一 １ ２ １ ）一 ｘ —２’
这 ３个点与前 面 的点 Ａ， Ｃ有 重 复 ， 因此 ， 再 次建 可 立联 系． 若用 。 表达 ， 来 则
ＹＧ—ＹＡ ０ 一Ｙ ｄ
。 。
ｃ 一 Ａ
从 而 ｋｋ＋ｌ＝ ｋｋ ＋１ 】 ２ １２ ＝
２・ ２一戈１
线交椭 圆于点 Ｐ Ａ， ， 其中点 Ｐ在第一象限， 过点 Ｐ 作 轴的垂线 ， 垂足为 ｃ 联 结 Ａ ， ， Ｃ 并延长交椭圆 于点 Ｂ， 设直线 的斜率为 ｋ （ ） ；２ 略；３ ． １略 （ ） （ ） 对任 意 ｋ ， ＞０ 求证 ：Ａ上船 ． Ｐ
解 法 １ 写 出 直 线
为一线教师 ， 在为学生感 到惋惜的同时 ， 更多 的是 对 教 学 的深 层 次思考 ． １ 试 题 及解 法
题目 如 图 １在 平 面直 角 坐 标 系 ｘ ｙ中 ， ， ， ｏ
，
立解方程组， 得到点 Ｂ的 坐标 ， 后 计 算
的斜率为 一 ， ÷ 完成证明．
［ ］ 顾泠沅． ２ 寻找 中间地 带［ ． Ｍ］ 上海： 海教 育 上
出版 社 ，０ ３ ２０ ．
［ ］ 杨骞 ， ３ 陈金 萍． 论数 学教 学耦动 理论 的 建
构—— 兼谈 数 学教 学研 究 的教 育 学取 向
［］数 学教 育学报 ，０４ ４ ：０２ ． Ｊ． ２０ （ ）２ －３
再次 审视式 （ ） 是 变化 中 的不 变关 系 ， 其 表 达 ７ ， 且 形式 与解题 目标 一致 ， 也许不 是偶 然 １ 这 ２３ 源于数 学审 美意识 的调控 ． 问 题解 决 的思 维 过 程是 多 种 意识 共 同 调控 的 结 果． 学审美 意识 也经 常参 与到 数学解题 的过程 数 中， 比如 在化 简代 数 式 时 ， 们 会 自觉 地 化 到最 简 我 便 是求 简意 识使 然 ． 据题 目结论 ， 证 Ｐ 根 要 Ａ上Ｐ Ｂ， 即证 ｋ ・ ｐ ＝ 一ｌ代入 点 的坐 标 ， 时可 能 还 没 ｋＢ ， 此 有 收获． 联 系 不 变 量 ｋ ＝２ ，Ａ由点 Ａ， 的 若 ｋ ｋ８ Ｂ 坐标 表示 ， 注意 到点 ８与 Ｊ ｝ 达式 中的点 Ｂ为 同 朋表
法 １ 就成 为 自然 ， 在 学 生 的访 谈 中得 到 了 证 也 这
若 孤立 地看 待这 ３个代 数 表达式 ， 许发 现 不 也
了什 么 ； 用联 系 的观 点看 式 （ ） 式 （ ） 可 得 动 若 １， ２ ，
实． 实上 ， 圆并 不是 式 （ ） 立 的 必要 条 件 ， 事 椭 ７成 只
一
条件与结论的逻辑梳理过程之 中． 若条件与结论间 的逻辑 关系简 洁 明了， 相应 的解法 自然就简单 清晰．
２ １ 源 于对运 动过 程的逻 辑梳理 ．
显然 ， 要证 明 ２条 动 直线 间存 在 垂 直 关 系 ， 选
择动直线的斜率或者动点的坐标做为切入点是恰 当的． 可是 ， 运动变化的几何元素很多 ， 选哪个点或
３ １ 呈 现试题 的载 体和 背景 掩盖 了题 目的本 质 ．
中存在的不变性 ， 运动的场景便是混乱的． 再次审 视运动过程 ， 以下 ３ 个几何关系始终不变： 尸与 点 点 Ａ关 于 坐标 原 点对 称 ， ｃ是 点 Ｐ在 轴 上 的 点
射影 、 Ａ， Ｂ共 线． ３个不 变关 系 的代 数表 达 点 ｃ， 这
第１ １期
李 昌： 么好 的解法 学生怎 么就想不到 这
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要保 持 点 Ａ， Ｐ关 于 原 点 对称 、 Ｃ是 点 Ｐ在 轴 点 上 的射 影 、 Ａ， Ｃ共 线 ， （ ） 成 立 ， 就 是 点 Ｂ， 式 ７就 也 说 ， （ ） 一般 的椭 圆 、 曲线 仍 成立 因此 ， 式 ７对 双 引． 考查 椭 圆的性 质不 是 目的 ， 而是 以其为 载体 考查 学 生 的思 辨 能力 ， 这使 得该 题具 有很 好 的 区分 度 和甄
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中学教研 （ 数学）
设直 线 朋 ，Ｂ 的斜率 分别 为 ｋ，： 因为 点 Ｃ在 直 Ａ ｋ，
线Ａ 上， 以 Ｂ 所
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１ 一
点 ， Ｃ坐标 之间 的关 系 ， 即
Ａ：一 ． ｃ （） ４
式 （ ） 直线 的斜 率 ， 用 点 Ａ， ｃ的坐 标表 示 ， ３是 可 Ｂ，
２２ 源 于对运 动 变化 中几何 不变 关 系的代数 表达 ． 辩 证 唯物 主 义 运 动 观 告 诉 我 们 ： 化 是 绝 对 变 的 ， 变是 相对 的． 不 如果 只看 到运动 ， 不 留心运 动 而
在 高考这 一特 定 的环境 下 ， 生想 不到好 的解 学 法 ， 因 固然 很多 ， 主要 的有 ２点 ： 原 但 一是 题 目的背 景具有 迷惑 性 ， 生 的视野 被题 目表 象迷惑 致使 其 学 无法 洞察 问题 的本 质 ； 二是 学生 对运 动 中存 在 的不 变 陛这一 规律缺 乏认 识和 思考 ， ，． 更谈 不上 用之 于指
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点（ 趋同意识） 则点 Ａ Ｐ对称 ， ， ， 横纵坐标都互为
相反数 ， 方便计算 （ 简意识 ） 至此， 求 ． 解法 ２便水 到渠成．
３ 学 生为什 么没 想到 好解 法
解 法 ２ 设 Ｐ（ １Ｙ ） Ｂ（ ２Ｙ ） 则 ， ， ，２ ， １ ０ ＞ ，１ ２Ａ － １ 一 １ ， （ ， ） ＞ ，２ ０ ≠ ， （－ ， Ｙ ） Ｃ １０ ． Ｘ
２
，
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Ｎ分别是椭 圆－ ＋ ＝１ Ｘ － － 的顶点 ， 过坐标原点的直
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文
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［ ］ 吴 亚 萍． 新基 础教 育 ” 学教 学 改革指 导 纲 １ “ 数 要 ［ ． 林 ： 西师 范 大学 出版社 ，０ ９ Ｍ］桂 广 ２０ ．
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化 于一炉 的教 学方 式 ， 现 了过 程哲 学家怀 特海提 体 出的“ 程 ” 育 思 想 ， 满 足学 生 和谐 发展 的需 过 教 能
依次为 ：
＝一 且 Ｙ Ｐ Ａ＝一Ｙ ； Ｐ ｃ； Ｐ且 Ｙ ｃ＝０；
ｃ＝ ＝ｋｃ 口．
（） １ （） ２
（） ３
试题 以椭 圆为 载体 ， ３条动 直线 与椭 圆的交 以 点 为背 景考查 垂直 关 系 ， 背景 和载 体具 有一定 的迷 惑性 ， 学生 易将其 归 结 为 曲线 的交 点 问题 ， 择 解 选
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前在教师指导下 的“ 战” 从精神上、 备 ， 心理上、 智 力上 作好 了学 习新 知 识 的准 备 ， 通 过 经 历感 知 、 并 分析 、 判断、 想象和归纳等心智活动的过程 ， 可能会
产生 个性 化 的想 法 ， 得 学生课 内在 教师 指挥 下 的 使 “ 战” 程 中， 作 过 有表 现 自我 的 欲望 ， 加 上 教 师 在 再 课 内搭建 了交 流 合作 和小 组竞争 学 习 的平 台 ， 使得
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生认知过程和以学生为主体 的数学活动过程作为 教学的基本过程 、 以课 内外结合和教师价值引导与
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方 程联 立 解 方 程 组 ， 点 得 Ａ， 的 坐 标 ， 而 得 点 Ｃ Ｐ 进 的坐 标 ， 写 出 直 线 Ａ 再 Ｃ
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了感 性理 解后 ， 出问题 ： 标 系 的不 同取法 ， 提 坐 对研 究结 果是 否有 影 响 ？可 激 起 学 生 对 解析 法 的理性
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种解法 产 生 的过 程 ， 质上 是 寻找条 件 和结 本
注意 到式 （ ） ６ 的右 端 也 与 斜 率 有 关 ， 设 线 段 Ｂ 若 Ｐ
论 之间 的逻辑 思 维 过 程． 因此 ， 法 产 生 于 对 题 目 解
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教学 目标 、 具体的学习内容和不同地域及不同类别 的学生实际 ， 吸纳各种理论的合理成分作为教学的 指导思想 ， 并以数学知识发生发展过程为载体 的学
这 么 好 的 解 法 学 生 怎 么 就 想 不 到
●李 昌 （ 杨集高级中学 江苏灌云 ２２２ ） ２２１
高 考试 题对 高 中教 学具有 良好 的导 向作 用 ， 是 教师 进 行教 学 和研究 的不 竭资 源． 高考题 的利用 应
（一 １ ２ １ ）一 ｘ —２’
这 ３个点与前 面 的点 Ａ， Ｃ有 重 复 ， 因此 ， 再 次建 可 立联 系． 若用 。 表达 ， 来 则
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２・ ２一戈１
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解 法 １ 写 出 直 线
为一线教师 ， 在为学生感 到惋惜的同时 ， 更多 的是 对 教 学 的深 层 次思考 ． １ 试 题 及解 法
题目 如 图 １在 平 面直 角 坐 标 系 ｘ ｙ中 ， ， ， ｏ
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立解方程组， 得到点 Ｂ的 坐标 ， 后 计 算
的斜率为 一 ， ÷ 完成证明．
［ ］ 顾泠沅． ２ 寻找 中间地 带［ ． Ｍ］ 上海： 海教 育 上
出版 社 ，０ ３ ２０ ．
［ ］ 杨骞 ， ３ 陈金 萍． 论数 学教 学耦动 理论 的 建
构—— 兼谈 数 学教 学研 究 的教 育 学取 向
［］数 学教 育学报 ，０４ ４ ：０２ ． Ｊ． ２０ （ ）２ －３
再次 审视式 （ ） 是 变化 中 的不 变关 系 ， 其 表 达 ７ ， 且 形式 与解题 目标 一致 ， 也许不 是偶 然 １ 这 ２３ 源于数 学审 美意识 的调控 ． 问 题解 决 的思 维 过 程是 多 种 意识 共 同 调控 的 结 果． 学审美 意识 也经 常参 与到 数学解题 的过程 数 中， 比如 在化 简代 数 式 时 ， 们 会 自觉 地 化 到最 简 我 便 是求 简意 识使 然 ． 据题 目结论 ， 证 Ｐ 根 要 Ａ上Ｐ Ｂ， 即证 ｋ ・ ｐ ＝ 一ｌ代入 点 的坐 标 ， 时可 能 还 没 ｋＢ ， 此 有 收获． 联 系 不 变 量 ｋ ＝２ ，Ａ由点 Ａ， 的 若 ｋ ｋ８ Ｂ 坐标 表示 ， 注意 到点 ８与 Ｊ ｝ 达式 中的点 Ｂ为 同 朋表
法 １ 就成 为 自然 ， 在 学 生 的访 谈 中得 到 了 证 也 这
若 孤立 地看 待这 ３个代 数 表达式 ， 许发 现 不 也
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实． 实上 ， 圆并 不是 式 （ ） 立 的 必要 条 件 ， 事 椭 ７成 只
一
条件与结论的逻辑梳理过程之 中． 若条件与结论间 的逻辑 关系简 洁 明了， 相应 的解法 自然就简单 清晰．
２ １ 源 于对运 动过 程的逻 辑梳理 ．
显然 ， 要证 明 ２条 动 直线 间存 在 垂 直 关 系 ， 选
择动直线的斜率或者动点的坐标做为切入点是恰 当的． 可是 ， 运动变化的几何元素很多 ， 选哪个点或