吉林省长春汽车经济开发区第六中学2017-2018学年高二下学期4月月考数学(文)试卷word版含答案

汽车区六中高二年级2017~2018学年度下学期月考考试试题
数学（文）学科
考试说明： 1.考试时间为120分钟，满分150分，选择题涂卡。

2.考试完毕交答题卡。

第Ⅰ卷
一、选择题（本题包括12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分）
1．集合}3210123{，，，，，，---=A ，}032|{2*∈≤--=N x x x x B ，，
则B A ⋂=（ ） A ．}101-2-3{-，，，， B ．}11-2-3{-，，， C ．3}2101{-，，，， D ．3}210{，，， 2．已知复数z ，满足i z i 5)21=⋅+（，则z =（ ）
A ．
i 35310+ B ．i 3
5
310- C ．i +2 D ．i -2 3．命题“
，使得”的否定是（ ） A ． ，都有 B ．，都有 C ．
，都有
D ．
，都有
4．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴
影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
A ．
B ．
C ．
D ． 5．已知53sin =α，则)23sin(απ
-=（ ）
A ．53
B ．53-
C ．54
D ．5
4-
6．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“ 李白街上走，提壶去买酒。

遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒。

借问此壶中，原有多少酒？”，6题图为该问题的程序框图，若输出的S 值为0，则开始输入的S 值为（ ）
A ．1516
B ．34
C ．45
D ．78
7．设为锐角，)21()1(cos ，，，==b a
α，若a 与b 共线，则角
（ ）
A ．15°
B ．30°
C ．45°
D ．60° 8．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积（ ）
A ．
320 B ．310 C ． D ．3
8 9．等比数列}{n a 中，513a a ，是方程0262=++x x 的两个实数根，则9
14
4a a a 的值为（ ）
A ．2
B ．
或
C ．
D ．
10．设函数2sin 36y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭（x R ∈）的图像是曲线C ，则下列说法中正确的是
（ ）
A ．点03A π⎛⎫
⎪⎝⎭
，是曲线C 的一个对称中心
8题图
B ．直线6
x π
=
是曲线C 的一条对称轴
C ．曲线C 的图像可以由2sin3y x =的图像向左平移
6π
个单位得到 D ．曲线C 的图像可以由2sin3y x =的图像向左平移18π
个单位得到
11．已知点为双曲线E :），（0122
22>=-b a b
y a x 的右焦点，直线
与交
于两点，若,设,且]6
12[
π
πβ，∈，则该双曲线的离心率的取值
范围是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知(){}|0M f αα==, (){}|0N g ββ==,若存在,M N αβ∈∈,使得
n αβ-<,则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”.若()231x f x -=-与
()2x g x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( ) A ．214(
,e e ⎤⎥⎦ B ．214(, e e ⎤⎥⎦ C ．242[, e e ⎫⎪⎭ D ．3242[, e e ⎫
⎪⎭
第Ⅱ卷
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量,且实数x 、y 满足,则的最大值为
___________。

14．由1，7，9三个数字组合成一个四位数（其中数字9是重复的），这个四位数有如下信息：（1）与四位数1799有且只有两个位置的数字是相同的；（2）与四位数7991有且只有一个位置的数字是相同的，则满足信息的四位数是__________．
15．已知底面半径为1的圆锥的底面圆周和顶点都在表面积为16π的球面上，则该圆锥的体积为_________________
16．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若b =1,且1
sin cos sin cos 2
a B C c B A +=
则a =______________ 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17.已知数列}{n a 的前n 项和是n S ，且)(12
1
*∈=+N n a S n n 。

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设)1(log 13
1+-=n n S b ，令1
32211
11++
⋯++=
n n n b b b b b b T ，求n T 。

18．某高中学校对全体学生进行体育达标测试,每人测试A 、B 两个项目,每个项
目满分均为60分.从全体学生中随机抽取了100人,分别统计他们A 、B 两个项目的测试成绩,得到A 项目测试成绩的频率分布直方图和B 项目测试成绩的频数分布表如下图:
将学生的成绩划分为三个等级如下表：
(1)在抽取的100人中，求A 项目等级为优秀的人数； (2)已知A 项目等级为优秀的学生中女生有14人，A 项目等级为一般或良好的学生中女生有34人，试完成下列2×2列联表，并分析是否有95%以上的把握认为
B 项目测试成绩互不影响,现从该校学生中随机抽取1人进行调查,试估计其A 项目等级比B 项目等级高的概率。

参考数据:
参考公式()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++
19．如图，在直三棱柱
中，底面
是等边三角形，为
的中点．
（Ⅰ）求证∥平面
；
（Ⅱ）若，求三棱锥
的体积．
20.已知中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上的椭圆M 的焦距为4，且椭圆M 过点
(
.
（1）求椭圆M 的方程；
（2）若过点()0,1C 的直线l 与椭圆M 交于,A B 两点， 2AC CB =，求直线l 的方程. 21.已知函数.
（1）若,求函数的单调递减区间； （2）若，求函数在区间
上的最大值；
（3）若在区间
上恒成立，求的最大值.
22．选修4-4：已知曲线1C 的极坐标方程为：
，以极点为坐标原点，以
极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，曲线2C 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=-=t y t x 23213(为参
数)，点)03(，A .
(1)求出曲线1C 的直角坐标方程和曲线
的普通方程；
(2)设曲线1C 与曲线2C 相交于，两点，求的值.
23．选修4-5：已知函数()21,f x x a x a R =++-∈. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≤；
（2）若()2f x ≥对于x R ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围.
汽车区六中高二年级2017~2018学年度下学期月考考试答案
数学（文）学科
1.【答案】C
【解析】}32101{}31|{，，，，，-=*∈≤≤-=N x x x B ，故}32101{，，，，-=⋂B A 2.【答案】D 【解析】i i
i
z +=+=
2215，所以i z -=2 3.【答案】B
【解析】由特称命题的否定得命题“
，使得
”的否定是
，都有
. 故选B.
4.【答案】A
【解析】根据几何概型的概率公式可得，A 图中奖的概率P=，B 图中奖的概率P=，
C 图中奖的概率P=，
D 图中奖的概率P=，则概率最大的为A ，故选A.
5.【答案】D 【解析】因为53sin =
α，所以5
4
cos =α， 5
4
cos )2sin()]2(sin[)23sin(
-=-=--=-+=-ααπαππαπ 6.【答案】D 【解析】设输入x ，则
（1）1i =， 21S x =-，
（2）2i =， ()221143S x x =--=-， （3）3i =， ()2431870S x x =--=-=， 所以7
8
x =
，故选D 。

7.【答案】D
【解析】由于两向量共线，所以有01cos 21221=-=-αy x y x 所以2
1cos =
α
又因为α是锐角，所以︒=60α 8.【答案】B
【解析】原图为下图所示的几何体
,所以体积为
9.【答案】D
【解析】因为153a a ，是方程的根，所以由韦达定理得26153153=-=+a a a a ，，
所以00153<<a a ，，所以09<a .215399
15
39144-=-===a a a a a a a a a .故选D . 10.【答案】D
【解析】对于A ， 2sin 313
6π
π⎛
⎫
⨯
+
=- ⎪⎝
⎭
，错误；
对于B ， 2sin 36
6π
π⎛⎫
⨯+
= ⎪⎝
⎭
对于
C ，
2sin3y x =的图像向左平移
6
π个单位得到
2sin 32sin 32cos3x 62y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，错误；
对于
D ，
2sin3y x =的图像向左平移
18
π
个单位得到
2s i n 32s i n 3
186y x x ππ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=+=
+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭
⎣⎦
，正确。

故选：D
11.【答案】D 【解析】在
，，∴，∴，
，
，
∵
，∴
，
，
，∴
，
故选D ．
点睛：由双曲线的对称性知M ，N 关于原点对称，且，由于涉及到M ，N 到焦点的距离，所以从双曲线的定义入手，利用
可建立一个关系式，其中
，这样就把离心率与之间的函数式表示出来，最后根据三角函数
的性质可得其范围．
12.【答案】B
【解析】由题意可知()20f =，且f(x)在R 上单调递减，所以函数f(x)只有一个零点2.即
21β-<，得13β<<。

函数()2x g x x ae =-在区间(1,3)上存在零点，由2x x ae -=0，
得2
x x a e
=
令()()2,1,3x x h x x e =∈， ()()222x x
x x x x h x e e ='--=，所以h(x)在区间(1,2)上单调递增，在区间（2,3）上单调递减， ()()()2314911,2,3h h h e e e e =
==>, ()h x ∈ 214(, e e ⎤
⎥⎦
，所以只需a ∈ 214(,
e e ⎤
⎥⎦
即有零点。

选B. 【点睛】要学会分析题中隐含的条件和信息，如本题先观察出f(x)的零点及单调性是解题的关键，进一步转化为函数()2
x
g x x ae =-在区间(1,3)上存在零点，再进行参变分离，应用
导数解决。

二、填空题
13. 29 14. 1979 15. 3或
23- .
16. 1或2 13.【答案】 【解析】
此时，我们作出不等式组所表示的平面区域如图
由
可得
，结合图形可知当直线经过点A
时纵截距最大，此时
.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.
【答案】1979
【解析】由信息（1）列举出满足条件的所有可能的四位数，共有五种，分别是：1997,1979, 9791,9719,7199．
若这个数是1997，则与7991有两个位置的数字相同，与信息（2）矛盾； 若这个数是1979，则满足信息（2）；
若这个数是9791，则与7991有两个位置的数字相同，与信息（2）矛盾； 若这个数是9719，则与7991四个个位置的数字均不同，与信息（2）矛盾； 若这个数是7199，则与7991有两个位置的数字相同，与信息（2）矛盾． 综上可得这个四位数只能是1979． 答案：1979
15.【答案】
3
或
23 【解析】由题意圆锥底面半径为1r =，球的半径为2,R = 如图设
1OO x = ，
则2
2
2
2
213x R r --＝＝＝ ，圆锥的高23h R x ++＝＝ 或23h R x --＝＝
所以，圆锥的体积为((2
21112333
V Sh ππ⨯⨯⨯+＝＝＝
或(
(2
21112333
V Sh ππ-⨯⨯⨯-＝＝＝.
16.【答案】1或2
【解析】由1sin cos sin cos 2a B C c B A +=， ()1
sin cos cos sin 2
B a
C c A b B +==，又b=1,所以1sin 2B =
，又c>b,所以B 角一定是锐角，所以6
B π
=。

再
由13s i n ,23
s i n
6
C C π
π
=
==或23C π=，当3C π=， 2A π=， 2a =，当23C π=，为等腰三角形，所以1a =
三、解答题 17. 试题解析：
（1）当1=n 时，11S a =，由12111=+a S ，得321=a 。

当2≥n 时，)(2
1
11n n n n n a a S S a -=-=--
所以)2(3
1
1≥=-n a a n n
故数列}{n a 是以32为首项，31
为公比的等比数列。

所以)()3
1(2)31(321*
-∈⋅=⋅=N n a n n n (6)
分
（2）因为n n n a S )3
1
(211==
- 所以1)3
1
(log )1(log 13
113
1+==-=++n S b n n n
2
1
11)2)(1(111+-
+=++=+n n n n b b n n 所以132211
11++
⋯++=
n n n b b b b b b T )2
111()4
13
1()3
12
1(+-++⋯+-+-=n n )
2(22121+=+-=
n n n 18.试题解析：
（1）由A 项目测试成绩的频率分布直方图，得
A 项目等级为优秀的频率为0.04100.4⨯=，
所以， A 项目等级为优秀的人数为0.410040⨯=．
（2）由（1）知： A 项目等级为优秀的学生中，女生数为14人，男生数为26人. A 项目26人.作出22⨯列联表：
计算()2
210026342614 4.51440604852
K ⨯-⨯=
≈⨯⨯⨯，
由于2
3.841K >，所以有95%以上的把握认为“A 项目等级为优秀”与性别有关．
（3）设“A 项目等级比B 项目等级高”为事件C ．
记“A 项目等级为良好”为事件1A ；“A 项目等级为优秀”为事件2A ；“B 项目等级为一般”为事件0B ；“B 项目等级为良好”为事件1B ．
于是()()10.020.02100.4P A =+⨯=， ()20.4P A =， 由频率估计概率得： ()02350.1100P B ++=
=， ()14015
0.55100
P B +==.
因为事件i A 与j B 相互独立，其中1,2,
0,1i j ==．
所以()()102120P C P A B A B A B =++
0.40.10.40.10.40.550.3=⨯+⨯+⨯=． 所以随机抽取一名学生其A 项目等级比B 项目等级高的概率为0.3．
19.【解析】试题分析：
（Ⅰ）连交
于，则为
的中点，连结
．
∵为的中点，
∥
，
又
平面，
平面
，
∥平面
．
（Ⅱ）∥平面，
， 即三棱锥
的体积
为．
20.试题解析;（1）设椭圆M 的方程为()22
2210y x a b a b +=>>，
24c =，∴2c =，∴2224a b c -==，又
22311a b
+=，解得26a =， 2
2b =， 故椭圆M 的方程为22
162
y x +=. （2）设直线l 的方程为1y kx =+，
由2
2
1,
{ 1,62
y kx y x =++=得()2
2
3250k x
kx ++-=，
设()11,A x y ， ()22,B x y ，则12223k x x k +=-
+， 12
2
5
3x x k =-+， 2AC CB =，∴()()1122,12,1x y x y --=-，∴122x x =-，
∴122223k x x x k +=-=-
+，则22
23k
x k =+， 又2
122
2
5
23x x x k =-=-+，∴()
22
2
2
8533k k
k =++，即22853k k =+， 2
5k =
，∴k =故直线l
的方程为1y =+. 21.试题解析：（1）当时，
.
令.
所以 函数的单调递减区间是
.
（2）.
令，由，解得. 当
，即
时，在区间上
，函数是减函数.
所以 函数在区间
上的最大值为
；
当，即时，x 在上变化时，
的变化情况如下表
极大值
所以 函数在区间上的最大值为.
综上所述：当时，函数在区间上的最大值为
； 当时，函数在区间上的最大值为.
（3）由（Ⅱ）可知：当时，在区间上恒成立； 当时，由于在区间上是增函数，
所以
,即在区间
上存在使得
.
综上所述，a 的最大值为1. 22.试题解析：(Ⅰ)
的直角坐标方程为:
的普通方程为
（Ⅱ）将
得：
由的几何意义可得：
23.试题解析：
（1）1a =时，不等式为215x x ++-≤，等价于
()()1{
215x x x t ≥++-≤或()()21{ 215
x x x -<<++-≤或()()2
{ 215x x x ≤--+--≤，
解得12x ≤≤，或21x -<<，或32x -≤≤-，
∴32x -≤≤，
∴不等式的解集是[]
3,2-.
（2）由绝对值的三角不等式得212121x a x x a x a ++-=++-≥+， ∵()2f x ≥对于x R ∀∈恒成立， ∴212a +≥， 解得12a ≥
或32
a ≤-. ∴实数a 的取值范围为31,,22
∞⎛
⎤⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭
．。