2019届四川省棠湖高三高考适应性考试数学（文）试题

2019届四川省棠湖中学高三高考适应性考试数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合{}(1)(4)0A x x x =+-≤，{}
2log 2B x x =≤，则A B ⋂=（ ） A ．[]2,4- B ．[)1,+∞ C ．(]0,4 D ．[)2,-+∞
【答案】C
【解析】算出集合,A B 后可求A B ⋂. 【详解】
{}[](1)(4)01,4A x x x =+-≤=-，{}(]2log 20,4B x x =≤=，
故(]0,4A B ⋂=，故选C. 【点睛】
本题考查集合的交集，属于基础题，解题时注意对数不等式的等价转化. 2．若复数21a i
i
+-在复平面内所对应的点在实轴上，则实数a =（ ） A ．2 B ．-2
C ．1
D ．0
【答案】B 【解析】算出21a i
i
+-后利用对应的点在实轴上可求2a =-. 【详解】
()()()21222122
a i i a a i
a i i ++-+++==
-，因复平面内所对应的点在实轴上， 所以
21a i
i
+-为实数，故2a =-，故选B. 【点睛】
本题考查复数的四则运算和复数的几何意义，属于基础题. 3．已知直线和平面，且
，则“
”是“
”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由线面垂直的判定定理可得充分性成立；由或
可得必要性不成立，从
而可得结论. 【详解】
由线面垂直的判定定理可得，若，则，充分性成立；
若，，则或,必要性不成立，
所以若，则“”是“”的充分不必要条件，故选A.
【点睛】
本题通过线面垂直的判断主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
4．函数的最小正周期为（）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】利用函数的最小正周期为得出结论.
【详解】
函数的是小正周期为,
故选D.
【点睛】
本题主要考查正切函数的周期性，属于基础题. 函数的周期为.
5．设直线
1:210
l x y
-+=与直线
2:30
l mx y
++=的交点为A；,P Q分别为
12
,l l上
任意两点，点M为,P Q的中点，若
1
2
AM PQ
=，则m的值为（）
A．2B．2-C．3D．3-
【答案】A
【解析】根据题意画出图形，如图所示；
直线
1210
l x y
-+=
：与直线
230
l mx y
++=
：的交点为A；M为PQ的中点，
若
1
2
AM PQ
=，则PA QA
⊥，
即
121210
l l m
⊥∴⨯+-⨯=
，（），解得2
m=．
故选A．
6．在中，，，且，则（）
A．B．5
C．D．
【答案】A
【解析】在中，由正弦定理得，又，所以，再利用余弦定理，即可求解，得到答案。

【详解】
在中，因为，
由正弦定理知，又，所以，
又由余弦定理知：，
解得，即，故选A。

【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．在中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
7．甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为，，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由甲的三视图可知，该几何体为一个正方体中间挖掉一个长方体，正方体的棱长为8，长方体的长为4，宽为4，高为6，则该几何体的体积为
；
由乙的三视图可知，该几何体为一个底面为正方形，边长为9，高为9的四棱锥，则该几何体的体积为.
∴
故选D.
点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
8．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为340x y +=，则该双曲线的离心率是（ ） A ．
3
5
B ．
54
C ．
43或3
5 D ．
35或54
【答案】D
【解析】把渐近线方程340x y +=化为斜截式方程，根据焦点的位置不同，分类求出双曲线的离心率. 【详解】
33404x y y x +=⇒=-,当焦点位于横轴时，2239
416
b b a a =⇒=，而222
c a b =+，所
以222
95
;164
c a c e a a -=⇒== 当焦点位于纵轴时，222222
22
416165,,3993
b b
c a c c a b e a a a a -=⇒==+⇒=⇒==故本题选D. 【点睛】
本题考查了通过双曲线的渐近线方程求离心率问题，解题的关键是对焦点的位置进行分类.
9．若函数为常数，）的图象关于直线对称，则函数
的图象（）
A．关于直线对称B．关于直线对称
C．关于点对称D．关于点对称
【答案】D
【解析】利用三角函数的对称性求得a的值，可得g（x）的解析式，再代入选项，利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．
【详解】
解：∵函数f（x）＝a sin x+cos x（a为常数，x∈R）的图象关于直线x＝对称，∴f（0）＝f（），即，∴a＝，
所以函数g（x）＝sin x+a cos x＝sin x+cos x＝sin（x+），
当x＝﹣时，g（x）＝-，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x＝﹣对称，故A错误，
当x＝时，g（x）＝1，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x＝对称，故B错误，
当x＝时，g（x）＝≠0，故C错误，
当x＝时，g（x）＝0，故D正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质，属于中档题．
10．三棱锥中，底面，若，则该三棱锥外接球的表面积为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先利用正弦定理计算出△ABC的外接圆直径2r，再结合三棱锥的特点，得出球心的位置：过△ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点.再利用公式
可计算出该三棱锥的外接球直径，最后利用球体表面积公式可得出答
案．
【详解】
解：由于AB＝BC＝AC＝3，则△ABC是边长为3的等边三角形，由正弦定理知，△ABC 的外接圆直径为，
由于SA⊥底面ABC，所以，△ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点为该三棱锥的外接球的球心，所以外接球的半径，
因此，三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为4πR2＝4π×＝21π．
故选：C．
【点睛】
本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出球心的位置，考查计算能力，属于中等题．
11．过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点，且，则原点到的距离为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由抛物线的焦点，设直线的方程为，
由，则，所以，
根据抛物线的定义可知，解得，
当时，直线的方程为，所以原点到的距离为，当时，直线的方程为，所以原点到的距离为，
所以原点到直线的距离为，故选C．
点睛：本题考查了抛物线的定义，点到直线的距离公式及直线与抛物线的位置关系的应用，其中对于直线与圆锥曲线问题，通常通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，进而求解问题，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
12．设函数.若曲线与函数的图象有4个不同的公共点,则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分析：由有，直线与函数的图象有4个不同的交点。

数形结合求出的范围。

详解：由有，显然，在同一坐标系中分别作出直线和函数的图象，当直线与相切时，求出，当直线与相切时，求得，所以，又当直线经过点时，，此时
与有两个交点，一共还是4个交点，符合。

，综上，
，选A.
点睛：本题主要考查函数图象的画法，求两个函数图象的交点的个数，考查了数形结合思想、等价转换思想，属于中档题。

画出这两个函数的图象是解题的关键。

二、填空题
13．已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则____．
【答案】-1
【解析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a ＜0，由此能求出a的值．
【详解】
∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，
幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，
∴a是奇数，且a＜0，
∴a=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
14．若满足约束条件 则 的最小值为______．
【答案】3
【解析】本题首先可以通过题目所给出的不等式方程组绘出图像，然后确定图像的三个顶点坐标，最后将其分别带入中即可得出最小值。

【详解】
如图所示，根据题目所给的不等式方程组绘出的图形可知，交点为、、，
然后将其带入中可得，
的最小值为3。

【点睛】
本题考查了线性规划的相关性质，解决本题的关键是能否根据题目所给条件画出可行域并在可行域中找出使目标函数取最值的点，考查数形结合思想，是简单题。

15．在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，若点P 满足
0PA PB PC ++=,则||OP ＝_____.
【答案】22
【解析】求出P 的坐标后可||OP 的值. 【详解】
因为0PA PB PC ++=，所以P 为ABC ∆的重心，
故P 的坐标为123123,33++++⎛⎫
⎪⎝
⎭即()2,2，故22OP =.填22. 【点睛】
在三角形ABC 中，如果G 为三角形的重心，则0GA GB GC ++=，反之也成立. 16．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则B cos 的最小值为_____.
【答案】
12
【解析】利用余弦定理和基本不等式可求B cos 的最小值. 【详解】
因为,,a b c 成等比数列，所以2b ac =
22222cos 22a c b a c ac
B ac ac
+-+-==
， 由基本不等式可以得到2221
222
a c ac ac ac ac ac +--≥=，当且仅当a c =时等号成立，
故B cos 的最小值为1
2
. 【点睛】
本题考查余弦定理、等比中项和基本不等式，此类问题是中档题.
三、解答题
17．已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-5n （n ∈N +）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{}的前n 项和T n ．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）运用数列的递推式：，计算可得数列｛｝的通项
公式；（2）结合（1）求得，运用错位相减法,结合等比数列的求和公式，即可
得到数列｛｝的前项和 .
【详解】 （1）因为，
所以
,
时,
也适合，所以
（2）因为，
所以
两式作差得：
化简得，
所以.
【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法，等比数列的求和公式，考查数列的错位相减法，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以
.
18．在信息时代的今天，随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方法，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了100人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数如下表：（注：年龄单位：岁） 年龄 [15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
)75,65[
频数 10
30
30
20
5
5
赞成人数 9
25
24
9
2
1
（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的22 列联表，并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”？
年龄不低于45岁的
人数
年龄低于45岁的人
数 合计
赞成 不赞成 合计
（2）若从年龄在[55,65)，)75,65[调查的人中各随机选取1人进行追踪调查，求选中的2人中赞成“使用微信交流”的人数恰好为1人的概率.
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
【答案】（1）见解析；（2）11
25
P =
【解析】（1）通过年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数表，可以求出：年龄不低于45岁的人数中，其中赞成的人数为9+2+1=12，不赞成的人数为20+5+5-12=18；同理可算出，年龄低于45岁的人数中，赞成的人数与不赞成的人数，然后填表；根据所给的公式，可以计算出2K 的值，对照临界值表，可以判断出是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”.
（2）年龄[)55,65中有5人，不赞成的记为3A ，4A ，5A ；赞成的记为1A ，2A ，年龄
[)65,75中有5人，不赞成的记为2B ，3B ，4B ，5B ，赞成记1B ，列出从年龄[)55,65，[)65,75中各取1人可能情况， 然后查出恰好有1人使用微信交流的可能情况的个数，
最后求出概率. 【详解】
解:（1）根据频数分布，填写22⨯列联表如下：
计算观测值22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++18.36710.828≈>，
对照临界值表知，在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信 交流的态度与人的年龄有关”；
（2）年龄[)55,65中有5人，不赞成的记为3A ，4A ，5A ；赞成的记为1A ，2A ，年龄
[)65,75中有5人，不赞成的记为2B ，3B ，4B ，5B ，赞成记1B ，则从年龄[)55,65，[)65,75中各取1人共有25种可能，结果如下：
11A B ，12A B ，13A B ，14A B ，15A B ，21A B ，22A B ，23A B ，24A B ，25A B ，31A B ，32A B ，33A B ，34A B ，35A B ，41A B ，42A B ，43A B ，44A B ，45A B ，51A B ，52A B ，53A B ，
54A B ，55A B
恰好有1人使用微信交流的共有11种可能，结果如下：
12A B ，13A B ，14A B ，15A B ，22A B ，23A B ，24A B ，25A B ，31A B ，41A B ，51A B
所以从年龄在[)55,65，[
)65,75调查的人中各随机选取一人进行追踪调查，选中的2人中赞成“使用微信交流”的人数恰好为一人的概率1125
P =. 【点睛】
本题考查了通过补完列联表，计算出2K ，然后做出数学判断，考查了古典概型，考查了数学应用能力、数学运算能力. 19．在直三棱柱
中，
，为棱
的中点，
.
（1）证明：平面； （2）已知，
的面积为
，为线段
上一点，三棱锥
的体积为
，求
.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）取的中点，连接
，，可推出为的中点，从而推
出四边形
为平行四边形，即可证明
平面
；（2）过作
于，连
接，可推出平面，从而推出，设，表示出，，根据
的面积为，可求得得值，设到平面
的距离为，根据
，即可求
得，从而求得
.
试题解析：（1）证明：取的中点，连接，.
∵侧面为平行四边形 ∴为的中点， ∴ 又
∴
∴四边形为平行四边形，则.
∵平面，平面
∴
平面.
（2）解：过作于，连接
，
∵平面
∴.
又 ∴平面
∴. 设，则，，
，
∴
的面积为，∴
.
设到平面的距离为，则
.
∴
∴与重合，.
20．已知抛物线2
:4C x y = ，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的
两条切线MA,MB ，切点分别为A,B.
（1）当M 的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B 三点的圆的方程；
（2）证明：以AB 为直径的圆恒过点M.
【答案】（1）22(1)4x y +-=（2）见证明
【解析】（1）设出过M 点的切线方程，与抛物线方程联立，得到一个元二次方程，它的判别式为零，可以求出切线方程的斜率，这样可以求出A,B 两点的坐标，设出圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，可以求出a ，最后求出圆的方程；
（2）设0(,1)M x -，设切点分别为211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，把抛物线方程化24
x y =
，求导，这样可以求出切线的斜率，求出切线MA 的方程，切线MB 的方程，又因为切线MA 过点0(,1)M x -，切线MB 也过点0(,1)M x -，这样可以发现1x ，2x 是一个关
于x 的一元二次方程的两个根，计算出2
1
10(,1)4
x MA x x =-+，
2
220(,1)4
x MB x x =-+，计算MA MB ⋅，根据根与系数关系，化简MA MB ⋅，最后计
算出MA MB ⋅=0，这样就证明出以AB 为直径的圆恒过点M. 【详解】
解：（1）解：当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，
由24,1,
x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2440x kx -+=. (1) 令2
(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±. 代入方程(1)，解得A(2,1),B(-2,1).
设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =. 故过,,M A B 三点的圆的方程为2
2
(1)4x y +-=．
（2）证明：设0(,1)M x -，由已知得2
4x y =，12y x '=，设切点分别为211(,)4x A x ，
2
22(,)4
x B x ，所以12MA x k =，22MB x k =，
切线MA 的方程为211
1()42x x y x x -=-即21
11124y x x x =-， 切线MB 的方程为222
2()42
x x y x x -=-即2221124y x x x =-．
又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111
124x x x -=-. ① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得2
02211124
x x x -=-. ②
所以1x ，2x 是方程2
011124
x x x -=-的两实根，
由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-．
因为2110(,1)4x MA x x =-+，2
220(,1)4x MB x x =-+，
所以22
121020()()(1)(1)44x x MA MB x x x x ⋅=--+++
222
21212012012121
()()21164
x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣⎦． 将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=. 所以以AB 为直径的圆恒过点M ． 【点睛】
本题考查利用直线与抛物线的位置关系，求出切线的斜率，又考查了利用导数，研究抛物线的切线问题，同时考查了求过三点的圆的方程.考查了方程思想、数学运算能力. 21．已知函数，
.
（Ⅰ）求函数在点点处的切线方程； （Ⅱ）当时，
恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）（2）
【解析】（Ⅰ）将
代入解析式，求出切点坐标，对函数求导，将
代入导函数，
即可求得斜率，由点斜式方程求出切线方程；
（Ⅱ）将不等式化简为一侧为0的形式，构造新的函数，对新函数求导分析，由于导函数正负无法直接判断，所以对导函数进行求导分析，对参数进行分类讨论，从而逐步探究函数的单调性等性质，求出参数的取值范围. 【详解】 （Ⅰ）∵，∴
，
∴，，
∴函数在点
点处的切线方程为
.
（Ⅱ）
，令
，
则，，
①若，则，∴在上单调递增，
∴，
∴在上单调递增，
∴，∴，
即，不符合题意.
②若，则当时，，
∴在上单调递增，
∴，
∴在上单调递增，
∴，∴，
即，不符合题意.
③若，则当时，，
∴在上单调递减，
∴，
∴在上单调递减，
∴，∴，
即，符合题意.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】
本题考查了切线方程的求法，以及恒成立问题，求切线有两种类型，分别为已知切点求切线和已知切线过某点求切线，本题属于较简单的前者，函数恒成立问题也有两种求解方式，一种为分离参数，另一种为将所有项化简至不等式一侧构造函数，对参数进行分类讨论分析.
22．在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，
.
（1）求C的参数方程；
（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到
的参数方程，确定D 的坐标. 【答案】（1）
是参数，
；（2）
【解析】（1）先求出半圆的直角坐标方程，由此能求出半圆的参数方程； （2）设点对应的参数为，则点的坐标为，且
，半圆的
圆心是
因半圆在处的切线与直线垂直，故直线
的斜率与直线的斜率相等，
由此能求出点的坐标. 【详解】 （1）由
，得
， 所以C 的参数方程为为参数
（2）
【点睛】
本题主要考查参数方程与极坐标方程，熟记直角坐标方程与参数方程的互化以及普通方程与参数方程的互化即可，属于常考题型. 23．设函数()2,R f x x x a x =++-∈；
（1）若0a <，且()2log 2f x >对任意R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若0a >，且关于x 的不等式()3
2
f x x <有解，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) (),6-∞-；(2) ()4,+∞.
【解析】试题分析：对问题（1），可以先求出函数()2,f x x x a x R =++-∈的最小值，再根据极端不等式恒成立即可求出实数a 的取值范围；对于问题（2），要使关于x 的不等式()32f x x <
有解，那么必然函数()f x 的图象与直线3
2
y x =的图象应该有两个交点，进而可求出实数a 的取值范围．
试题解析：（1）由绝对值的性质得： ()222f x x x a x x a a =++-≥+-+=+， ∵()2log 2f x >对任意x R ∈恒成立， ∴24a +>，解得62a a -或，
∵0a <，∴ 实数a 的取值范围是(),6-∞-
（2）当0a >时， ()22,2
2{2,2 22,x a x f x x x a a x a x a x a
--+<-=++-=+-≤≤+->
若关于x 的不等式()32f x x <有解，则函数()f x 的图象与直线3
2
y x =有两个交点， ∴
23
2
a a +<，解得4a >， ∴实数a 的取值范围是()4,+∞
【考点】1.含绝对值不等式问题；2.极端不等式恒成立.。