参数估计基本知识

2
2013-10-13
(2 distribution)
1. 2. 设 X ~ N ( , 2 )，则
X z ~ N (0,1)
2分布
令 Y z 2，则 Y 服从自由度为1的2分布，即
Y ~ 2 (1)
3.
当总体 X ~ N ( , 2 ) ，从中抽取容量为n的样本，则
n 1s 2
2
4. 总体方差在1- 置信水平下的置信区间为
~ 2 n 1
n 1s 2 2 n 1s 2 2 2 2 n 1 1 2 n 1
总体方差的区间估计
(图示)
总体方差的 1 的置信区间
21 2
自由度为n-1的2
E( x1 x2 ) 1 2
• 方差为各自的方差之和 2 12 2 2 x x
1 2
n1
n2
样本方差的分布
1. 在重复选取容量为n的样本时，由样本方差的 所有可能取值形成的相对频数分布
2. 对于来自正态总体的简单随机样本，则比值 2 (n 1) s 2 的抽样分布服从自由度为 (n -1) 的2分布，即
一个任意分 布的总体
x

n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
x
x
中心极限定理
(central limit theorem)
x 的分布趋于正态 分布的过程
样本均值的抽样分布
• 设 X1, X 2 ,..., X n 是来自正态分布N(μ,σ2)的一个 样本，样本均值为x ，样本方差为s2 • 则 X
X
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估计量与估计值
(estimator & estimated value)
1. 估计量：用于估计总体参数的随机变量
– 如样本均值，样本比例, 样本方差等 – 例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量
ˆ 2. 参数用 表示，估计量用 表示
3. 估计值：估计参数时计算出来的统计量的 具体值

n N 0,1
X t n 1 S n
两个样本均值之差的抽样分布
1. 两个总体都为正态分布，即 X 1 ~ N (1 , 12 ， )
2 X 2 ~ N ( 2 , 2 )
2. 两个样本均值之差 x1 x2的抽样分布服从正态分 布，其分布的数学期望为两个总体均值之差
=10
n=4 x 5
n =16 x 2.5
= 50
总体分布
X
x 50
抽样分布
x
中心极限定理
(central limit theorem)
从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的 样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均 值为μ、方差为σ2/n的正态分布
U n1 F V n2
F ~ F (n1 , n2 )
F分布
(图示) 不同自由度的F分布
（1,10) (5,10)
(10,10)
F
样本均值的抽样分布 与中心极限定理
当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n 的样本的均值x也服从正态分布，x 的数学期望为μ，方差 为σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)
2
s 7.77 39.5 1.645 n 36 39.5 2.13 37.37,41.63
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
总体均值的区间估计
(小样本) 1. 假定条件
– 总体服从正态分布,但方差(２) 未知 – 小样本 (n < 30)
2. 使用 t 分布统计量
( xi x ) 2
i 1 n
2
~ 2 (n 1)
或
n 1 S 2 ~ 2 (n 1) 2

2分布
(图示)
n=1 n=4 n=10
n=20
不同容量样本的抽样分布
2
t 分布
• 高塞特(W.S.Gosset)于1908年在一篇以“Student” (学 生)为笔名的论文中首次提出 • 定义：设随机变量 X ~ N (0,1), Y ~ 2 ，且X与Y独立， n X 则 t Y n 其分布称为t分布，记为t(n)，其中n为自由度。
1510 1450 1480 1460 1520 1480 1490 1460 1480 1510 1530 1470 1500 1520 1510 1470
总体均值的区间估计
(例题分析)
解：已知Ｘ~N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131 根据样本数据计算得：x 1490 ， s 24.77 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
2 2
2
总体方差的区间估计
(例题分析)
【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某 天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如 下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95% 的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间
25袋食品的重量 112.5 102.6 100.0 116.6 136.8 101.0 107.5 123.5 95.4 102.8 103.0 95.0 102.0 97.8 101.5 102.0 108.8 101.6 108.6 98.4 100.5 115.6 102.2 105.0 93.3
27
43 54 36 34 48
36
31 47 44 48 45
44
33 24 40 50 32
总体均值的区间估计
(例题分析)
解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根据样本数 据计算得： 39.5 ，s 7.77 x 总体均值在1- 置信水平下的置信区间为
x z
由正态分布导出的几ຫໍສະໝຸດ 重要分布 以及参数估计基本知识(2 distribution)

2分布
Y X i2 ，则 Y ~ 2 (n) 令
1. 2. 3. 4. 分布的变量值始终为正
i 1
设 随机变量 X1 , X 2 ,..., X n 相互独立 ，且 X i ~ N (0,1)
n
分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的 正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称 期望为：E(2)=n，方差为：D(2)=2n(n为自由度) 可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量， U~2(n1)，V~2(n2),则U+V这一随机变量服从自由度为 n1+n2的2分布。
t x n
3. 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为 s x t 2 n
s
~ t (n 1)
总体均值的区间估计
(例题分析)
【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随 机抽取16只，测得其使用寿命(单位：h)如下。建立该批灯泡 平均使用寿命95%的置信区间
16灯泡使用寿命的数据
区间估计
(interval estimate)
1. 2. 在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间 范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总 体参数的接近程度给出一个概率度量
– 比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%
置信区间
样本统计量 (点估计)
n
或 x z 2
s n
( 未知)
总体均值的区间估计
(例题分析)
【例】一家保险公司收集到由36个投保人组成的随机样本， 得到每个投保人的年龄(单位：周岁)数据如下表。试建立投 保人年龄90%的置信区间
36个投保人年龄的数据
23
36 42 34 39 34
35
42 53 28 49 39
39
46 45 39 38 45
•
•
t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比 正态分布平坦和分散
一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自 由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布
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t 分布图示
标准正态分布 t (df = 13)
标准正态分布
t 分布
t (df = 5)
z
x
t 分布与标准正态分布的比较
t 不同自由度的t分布
总体方差的区间估计
(例题分析)
解:已知n＝25，1-＝95% ,根据样本数据计算得 s2 =93.21
2 2 (n 1) 0.025 (24) 39.3641 12 (n 1) 02.975 (24) 12.4011
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F分布
(F distribution)
1. 2. 由统计学家费希尔(R.A.Fisher) 提出的，以其姓氏的 第一个字母来命名 设若U为服从自由度为n1 的 2 分布，即U~2(n1)，V 为服从自由度为n2的2分布，即V~2(n2),且U和V相 互独立，则称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为
置信区间
(confidence interval)
1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为 置信区间 2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正 的总体参数，所以给它取名为置信区间 3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区 间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包 含总体参数的真值
– 如果样本均值 x =80，则80就是的估计值
点估计
(point estimate)
1. 用样本的估计量的某个取值直接作为总体参 数的估计值
例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用 两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计
2. 无法给出估计值接近总体参数程度的信息