2021年广东省广州市白云区中考数学一模试卷(有答案)

2021 年广东省广州市白云区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3 分）﹣的相反数是（ ）
A ．
B ．2
C ．﹣0.5
D ．﹣2
2．（3 分）下列各种图形中，可以比较大小的是（ ） A ．两条射线
B ．两条直线
C ．直线与射线
D ．两条线段
3．（3 分）下列代数式中，是 4 次单项式的为（ ）
A ．4abc
B ．﹣2π x 2y
C ．xyz 2
D ．x 4+y 4+z 4
4．（3 分）已知一组数据：5，7，4，8，6，7，2，则它的众数及中位数分别为（ ）
A ．7，8
B ．7，6
C ．6，7
D ．7，4
5．（3 分）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（ ）
A ．x 2﹣1=0
B ．x 2=0
C ．x 2+4=0
D ．﹣x 2+3=0
6．（3 分）平面内三条直线 a 、b 、c ，若 a⊥b，b⊥c，则直线 a 、c 的位置关系是（ ）
A ．垂直
B ．平行
C ．相交
D ．以上都不对
7．（3 分）某同学参加数学、物理、化学三科竞赛平均成绩是 93 分，其中数学 97 分，化学 89 分，那么物理成绩是（ ）
A ．91 分
B ．92 分
C ．93 分
D ．94 分
8．（3 分）如图所示，直线 AB⊥CD 于点 O ，直线 EF 经过点 O ，若∠1=26°，则∠2 的度数是 （
）
A ．26°
B ．64°
C ．54°
D ．以上答案都不对
9．（3 分）在反比例函数 y=的图象上有两点 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当 x 1＜0＜x 2 时，
有 y 1＜y 2，则 m 的取值范围是（
）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞D．m＜
10．（3 分）如图，两条宽度都是1 的纸条，交叉重叠放在一起，且夹角为α，则重叠部分的面积为（）
A．B．C．tanαD．1
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
11．（3 分）如图，点 D、E 分别是△ABC的边AC、BC 上的点，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠BED=°．
12．（3 分）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，则△ABC是三角形．13．（3 分）若a3•a m=a9，则m= ．
14．（3 分）已知，如图，△ABC中，∠A+∠B=90°，AD=DB，CD=4，则AB= ．
15．（3 分）化简：= ．
16．（3 分）如图，点C、D 在线段AB 上，且CD 是等腰直角△PCD的底边．当△PDB∽△ACP 时（P 与A、B 与P 分别为对应顶点），∠APB=°．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（9 分）解方程组：．
18．（9 分）AC 是菱形 ABCD 的对角线，点 E、F 分别在边 AB、AD 上，且
BE=DF．求证：△ACE≌△ACF．
19．（10 分）在一个纸盒里装有四张除数字以外完全相同卡片，四张卡片上的数字分别为
1，2，3，4．先从纸盒里随机取出一张，记下数字为 x，再从剩下的三张中随机取出一张，
记下数字为 y，这样确定了点 P 的坐标（x，y）．
（1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点 P 所有可能的坐标；
（2）求点 P（x，y）在函数 y=﹣x+4 图象上的概率．
20．（10 分）如图，一条直线分别交x 轴、y 轴于A、B 两点，交反比例函数y=（m≠0）位
于第二象限的一支于 C 点，OA=OB=2．
（1）m= ；
（2）求直线所对应的一次函数的解析式；
（3）根据（1）所填 m 的值，直接写出分解因式 a2+ma+7 的结果．
21．（12 分）如图，△ABC中，D 为BC 边上的点，∠CAD=∠CDA，E 为AB 边的中点．
（1）尺规作图：作∠C的平分线 CF，交AD 于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连结 EF，EF 与BC 是什么位置关系？为什么？
（3）若四边形 BDFE 的面积为 9，求△ABD的面积．
22．（12 分）我国实施的“一带一路”战略方针，惠及沿途各国．中欧班列也已融入其
中．从我国重庆开往德国的杜伊斯堡班列，全程约 11025 千米．同样的货物，若用轮船运输，
水路路程是铁路路程的 1.6 倍，水路所用天数是铁路所用天数的 3 倍，列车平均日速（平均
每日行驶的千米数）是轮船平均日速的 2 倍少49 千米．分别求出列车及轮船的平均日
速． 23．（12 分）如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D 在上，且=2，
OA=4．
（1）∠COD=°；
（2）求弦 AD 的长；
（3）P 是半径 OC 上一动点，连结 AP、PD，请求出 AP+PD 的最小值，并说明理由．
（解答上面各题时，请按题意，自行补足图形）
24．（14 分）二次函数y=x2+px+q 的顶点M 是直线y=﹣和直线y=x+m 的交点．
（1）若直线 y=x+m 过点D（0，﹣3），求 M 点的坐标及二次函数 y=x2+px+q 的解析式；
（2）试证明无论 m 取任何值，二次函数 y=x2+px+q 的图象与直线 y=x+m 总有两个不同的交点；（3）在（1）的条件下，若二次函数 y=x2+px+q 的图象与 y 轴交于点 C，与x 的右交点为 A，
试在直线y=﹣上求异于M 的点P，使P 在△CMA的外接圆上．
25．（14 分）已知，如图，△ABC的三条边 BC=a，CA=b，AB=c，D 为△ABC内一点，且
∠ADB=∠BDC=∠CDA=120°，DA=u，DB=v，DC=w．
（1）若∠CBD=18°，则∠BCD=°；
（2）将△ACD 绕点 A 顺时针方向旋转90°到△AC'D'，画出△AC'D'，若∠CAD=20°，求
∠CAD'度数；
（3）试画出符合下列条件的正三角形：M 为正三角形内的一点，M 到正三角形三个顶点的距
离分别为 a、b、c，且正三角形的边长为 u+v+w，并给予证明．
2021 年广东省广州市白云区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3 分）﹣的相反数是（）
A．B．2 C．﹣0.5 D．﹣2
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：A．
2．（3 分）下列各种图形中，可以比较大小的是（）
A．两条射线B．两条直线C．直线与射线 D．两条线段
【解答】解：A、射线没有长度，无法比较，故此选项错误；
B、直线没有长度，无法比较，故此选项错误；
C、直线与射线没有长度，无法比较，故此选项错误；
D、两条线段可以比较大小．
故选：D．
3．（3 分）下列代数式中，是4 次单项式的为（）
A．4abc B．﹣2πx2y C．xyz2D．x4+y4+z4
【解答】解：xyz2是4 次单项式，
故选 C．
4．（3 分）已知一组数据：5，7，4，8，6，7，2，则它的众数及中位数分别为（）
A．7，8 B．7，6 C．6，7 D．7，4
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：2、4、5、6、7、7、8，
则众数为：7，
中位数为：
6．故选：B．
5．（3 分）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（）
A．x2﹣1=0 B．x2=0 C．x2+4=0 D．﹣x2+3=0
【解答】解：A、方程 x2﹣1=0 的解为x=±1；
B、方程 x2=0 的解为 x=0；
C、由方程 x2+4=0 可得x2=﹣4，方程无解；
D、方程﹣x2+3=0 的解为x=±，
故选：C．
6．（3 分）平面内三条直线a、b、c，若a⊥b，b⊥c，则直线a、c 的位置关系是（）A．垂直B．平行C．相交D．以上都不对
【解答】解：∵a⊥b，b⊥c，
∴a∥b，
故选 B．
7．（3 分）某同学参加数学、物理、化学三科竞赛平均成绩是 93 分，其中数学 97 分，化学89 分，那么物理成绩是（）
A．91 分B．92 分C．93 分D．94 分
【解答】解：物理成绩是：93×3﹣97﹣89=93
（分）．故选：C．
8．（3 分）如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF 经过点O，若∠1=26°，则∠2的度数是（）
A ．26°
B ．64°
C ．54°
D ．以上答案都不对
【解答】解：∵∠1=26°，∠DOF 与∠1 是对顶角， ∴∠DOF=∠1=26°， 又∵∠DOF 与∠2 互余， ∴∠2=90°﹣∠DOF =90°﹣26°=64°． 故选 B ．
9．（3 分）在反比例函数 y=的图象上有两点 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当 x 1＜0＜x 2 时，
有 y 1＜y 2，则 m 的取值范围是（ ）
A ．m ＞0
B ．m ＜0
C ．m ＞
D ．m ＜
【解答】解：∵x 1＜0＜x 2 时，y 1＜y 2， ∴反比例函数图象在第一，三象限， ∴1﹣3m ＞0， 解得：m ＜． 故选 D ．
10．（3 分）如图，两条宽度都是 1 的纸条，交叉重叠放在一起，且夹角为 α，则重叠部分的面积为（
）
A．B．C．tanαD．1
【解答】解：如图所示：过 A 作AE⊥BC，AF⊥CD 于 F，垂足为 E，F，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵AD∥C B，AB∥CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∵纸条宽度都为 1，
∴AE=AF=1，
∵平行四边形的面积=BC•AE=CD•AF，∴BC=CD，
∴四边形 ABCD 是菱形．
∴BC=AB，
∵=sinα，
∴BC=AB==，
∴重叠部分（图中阴影部分）的面积=BC×AE=×1=
．故选：A．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
11．（3 分）如图，点 D、E 分别是△ABC的边AC、BC 上的点，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠BED= 80 °．
【解答】解：在△ABD与△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD，
∴∠BED=∠A=80°．
故答案为 80．
12．（3 分）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，则△ABC是直角三角形．
【解答】解：由△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，得
∠A+∠B=90°，
故答案为：直角．
13．（3 分）若a3•a m=a9，则m= 6 ．
【解答】解：由题意可知：3+m=9，
∴m=6，
故答案为：6
14．（3 分）已知，如图，△ABC中，∠A+∠B=90°，AD=DB，CD=4，则AB= 8 ．
【解答】解：∵如图，△ABC 中，∠A+∠B=90°，
∴∠ACB=90°．
∵AD=DB，
∴CD 是该直角三角形斜边 AB 上的中线，
∴ AB=2CD=8．
故答案是：8．
15．（3 分）化简：= x+y+2 ．
【解答】解：原式=
=，
=x+y+2．
故答案为：x+y+2．
16．（3 分）如图，点C、D 在线段AB 上，且CD 是等腰直角△PCD的底边．当△PDB∽△ACP 时（P 与A、B 与P 分别为对应顶点），∠APB= 135 °．
【解答】解：∵△PDB∽△ACP，
∴∠A=∠BPD，
∵CD 是等腰直角△PCD 的底边，
∴∠PCD=45°，∠CPD=90°，
由三角形的外角的性质得∠A+∠APC=∠PCD=45°，
∴∠APB=∠APC+∠PCD+∠BPD=∠APC+∠PCD+∠A=45°+90°=135°．
故答案为：135．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9 分）解方程组：．
【解答】解：
①﹣②，得（x+2y）﹣（x﹣4y）=﹣5﹣7，
即6y=﹣12，
解得 y=﹣2，
把 y=﹣2 代入②，可得：x﹣4×（﹣2）=7，
得x=﹣1，
∴原方程组的解为．
18．（9 分）AC 是菱形 ABCD 的对角线，点 E、F 分别在边 AB、AD 上，且
BE=DF．求证：△ACE≌△ACF．
【解答】证明：∵AC 是菱形 ABCD 的对角线，
∴∠FAC=∠EAC，
在△ACE 和△ACF 中，
，
∴△ACE≌△ACF（SAS）．
19．（10 分）在一个纸盒里装有四张除数字以外完全相同卡片，四张卡片上的数字分别为1，2，3，4．先从纸盒里随机取出一张，记下数字为 x，再从剩下的三张中随机取出一张，记下数字为 y，这样确定了点 P 的坐标（x，y）．
（1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点 P 所有可能的坐标；
（2）求点 P（x，y）在函数 y=﹣x+4 图象上的概率．
【解答】解：（1）树状图如下：
点P 所有可能的坐标有：（1，2），（1，3），（1，4），
（2，1），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，4），
（4，1），（4，2），（4，3）共12 种；
（2）∵共有 12 种等可能的结果，其中在函数 y=﹣x+4 图象上的点有 2 个，即（1，3），（3，1），
==．
∴点 P（x，y）在函数 y=﹣x+4 图象上的概率为：P
（点在图象上）
20．（10 分）如图，一条直线分别交x 轴、y 轴于A、B 两点，交反比例函数y=（m≠0）位于第二象限的一支于 C 点，OA=OB=2．
（1）m= ﹣8 ；
（2）求直线所对应的一次函数的解析式；
（3）根据（1）所填 m 的值，直接写出分解因式 a2+ma+7 的结果．
【解答】解：（1）m=﹣2×4=﹣8；
（2）∵OA=OB=2，
∴A、B 点的坐标分别为 A（2，0）、B（0，2），
设直线所对应的一次函数的解析为 y=kx+b，
分别把A、B 的坐标代入其中，得，
解得．
∴一次函数的解析为 y=﹣x+2；
（3）由（1）m=﹣8，
则 a2+ma+7
=a2﹣8m+7
=（a﹣1）（a﹣
7）．故答案为：﹣8．
21．（12 分）如图，△ABC中，D 为BC 边上的点，∠CAD=∠CDA，E 为AB 边的中点．（1）尺规作图：作∠C的平分线 CF，交AD 于点F（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连结 EF，EF 与BC 是什么位置关系？为什么？
（3）若四边形 BDFE 的面积为 9，求△ABD的面积．
【解答】解：（1）如图，射线 CF 即为所求；
（2）EF∥BC．
∵∠CAD=∠CDA，
∴AC=DC，即△CAD 为等腰三角形；
又 CF 是顶角∠ACD 的平分线，
∴CF 是底边 AD 的中线，即 F 为 AD 的中点，∵E 是 AB 的中点，
∴EF 为△ABD 的中位线，
∴EF∥BD，从而EF∥BC；
（3）由（2）知EF∥BC，
∴△AEF∽△ABD，
∴，
又∵AE=AB，
∴得=，
把 S 四边形
BDFE =9 代入其中，解得 S
△AEF
=3，
∴S△ABD=S△AEF+S 四边形 BDFE=3+9=12，
即△ABD 的面积为 12．
22．（12 分）我国实施的“一带一路”战略方针，惠及沿途各国．中欧班列也已融入其中．从我国重庆开往德国的杜伊斯堡班列，全程约 11025 千米．同样的货物，若用轮船运输，水路路程是铁路路程的 1.6 倍，水路所用天数是铁路所用天数的 3 倍，列车平均日速（平均每日行驶的千米数）是轮船平均日速的 2 倍少49 千米．分别求出列车及轮船的平均日速．【解答】解：设轮船的日速为 x 千米/日，
由题意，得×3=，
解此分式方程，得 x=392，
经检验，x=392 是原分式方程的解，
2x﹣49=735．
答：列车的速度为 735 千米/日；轮船的速度为 392 千米/日．。