第二讲填空题技法指导

1
a
-
a 4
2
a2 2
8
a2
a
8
a
2
2
4
1 a 8
考点定位：分段函数的单调性
方法4 构造法
用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特 殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程． 构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的 ，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上 的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的 知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题 及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几 何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题 的目的．
例 4.在 ABC中，角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ，
若 a, b, c 成等差数列，则 cosA cosC
.
1 cosAcosC
解析：a, b,c 成等差数列，不妨取 ABC 为等边三角形，
则 A C 60 , 则 cosA cosC 4 .
1 cosAcosC 5
5
考点定位：两点间距离
2
2
考点定位：直线与抛物线
方法3 数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能根据 题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过 对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确 结果．这类问题的几何意义一般比较明显，如 一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几 何中两点间的距离等，求解的关键是明确几何 含义，准确规范地作出相应的图形，虽然作图 要花费一些时间，但只要认真将图形作完，解 答过程就会简便很多．
方法2 特殊值法
当填空题已知条件中含有某些不确定的 量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供 的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中 变化的不定量中选取符合条件的恰当的特殊 值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位 置、特殊点、特殊方程和特殊模型等)进行 处理，从而得出探求的结论．为保证答案的 正确性，在运用此方法时，一般应多取几个 特例．
由（2）（- 3）得b2 - c2 16 - x2 (4)
由(1)和(4)解得
b2 25 - x2 , c2 x2 7
2
2
25 x2
- x2 7
0 0
7 x5
则 x 的取值范围是 ( 7 ,5) . 考点定位：立体几何
例 10. (2014 浙江六校 3 月联考)
设 x,y∈R,则 (3 4 y cos x)2 (4 3y sin x)2 的最小值为 .
kAMNB//OkP1AB,
AB MN
B(5，0) 2x2x Nhomakorabeay2
52
9 y2
， 16
A( 9 ，12 ) 55
12
则直线 l 的方程是
．
Q
P
k AB
9
5
5
24 7
kMN
7 24
则直线
l
52 的方程是
y
12
7
(x 9)
B
5 24 5 化简得 y 7 x 15
24 8
考点定位：直线方程
例 6．(2016 丽水市高三上学期期末试题)如图，已知点 A
为圆O ： x 2 y 2 9 与圆C ：x 52 y2 16 在第一象限内
的交点，过 A 的直线 l 被圆 O 和圆 C 所截得的弦分别为 NA，
MA（ M ， N 不重合），若 NA MA ，则直线 l 的方程是
．
例 6．(2016 丽水市高三高三上学期期末试题) 解析：如图：过 O,C 分别
例 7.(2016 金华十校高三期末测试)实数 x，y 满足不等
式组
(x y 1)(2x 0 x 2
y
5)
0
，则
t
|
x x
y 1
|
的取值范围
解析：将实数 x，y 满足不等式组如图所示，
t 0 t | x y || x 1 y -1 ||1 y -1 |
x 1
x 1
x 1
令 k y -1 ，
x 1
则 k 的几何意义为阴影部分中的点与
点（-1,1）组成的斜率的取值范围，
可得与点 C 组成的斜率最小为-2，
与点 A 组成的斜率最大为 4，
k [-2,4],t |1 k |[0,5].
考点定位：线性规划
例 8.（2016 年嵊州市高三期末试题）已知 a 为实数，函数 f x x2 x2 ax 2 在区间 , 1 和 2, 上单调递增，则 a 的取值范围为 ▲ ．
解析:此题构造的是两点间距离公式：
设点 P(3 4y,4 3y),Q(cosx,sin x)
则点 P
x 3 4y
y
4
3y
在直线 3x 4y 25 0 上
点 Q 在圆 x2+y2=1 上,
故|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径.
即：d-r= 25 -1 4 , 即所求最小值为 16.
1)
an1
(an 1)2 an1 1
1
整理可得
an1
1
(an 1)2 an1 1
(an1 1)(an1 1) (an 1)2
由等比中项的定义可得数列 {an 1} 为等比数列
由等比数列的性质得到 (a5 1)2 (a1 1)(a9 1) ，
解得 (a5 1)2 16 ，所以 a5 3 . 考点定位：等比数列的定义
由双曲线的定义 PF1 PF2 2a ，
代入得 2 3c 2c 2a
e 3 1 2
考点定位：双曲线的定义
例 3.正实数数列{an}满足 a1 1, a9 7 ，
且
an1
(an
1)2 (an1 an1 1
1)
(n
N,
n
2)
，
则 a5
解析： an1
(an
1)2 (an1 an1 1
OP MN,CQ MN
如图，已知点 A 为圆O ： x 2 y 2 9 与圆C ：
NA MA AP AQ
取 OC 的中点为 B，
可知 AB 为梯形 OPQC 的中位线，
x 52 y2 16 在第一象限内的交点，过 A 的
直线 l 被圆 O 和圆 C 所截得的弦分别为 NA， MA（ M ， N 不重合），若 NA MA ，
线
x2 a2
y2 b2
1 a
0，b
0
上，过
P 作 y 轴的垂线，垂足为 Q ，若四
边形 F1F2PQ 为菱形，则该双曲线的
离心率为 .
解析：四边形 F1F2PQ 为菱形，
则 QF1 F1F2 2c .
在直角三角形 QF1O 中，
QF1 2c，OF1 c，
QF1O 3
计算得到 PF1 2 3c，
高考题型·解读
③从填写内容看，主要有两类：一类是定量填 写型；要求考生填写数值、数集合、或数量关系； 比如:方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值 域、最大值或最小值、线段长度和角度大小等．由 于填空题和选择题相比，缺少可选择的信息，所以 高考题中多数是以定量型问题出现．另一类是定性 填写型：要求填写的是具有某种性质的对象或填写 给定的数学对象的某种性质，如命题真假的判断、 给定二次曲线的焦点坐标、离心率等．
高考题型·解读
解答填空题时，由于不反映过程，只要求结 果，故对正确性的要求比解答题更高、更严 格．《考试说明》中对解答填空题提出的基本要 求是“正确、合理、迅速”．为此在解填空题时 要做到：快——运算要快，力戒小题大做；稳— —变形要稳，不可操之过急；全——答案要全， 力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套； 细——审题要细，不能粗心大意．
．
解法 2：由题意知，斜边垂直于 x 轴，
设点 C ( c2 , c) ，点 A( a2 , a) ，则点 B( a 2 ,a)
2
2
2
由于 AC CB , kAC kBC 1 ,
代入得kAC kBC
c2 a2 22 ca
c2 a2 2 2
ca
c2 a2 4
1
a2 c2 2 则斜边上的高为点 C 到直线 AB 的距离 a2 c2 2
解析：设 x2 ax 2 0 的方程的根为, ，且 ，
由求根公式可得 a - a2 8 , a a2 8 ，且
2
2
ax 2
x
f (x) x2 | x2 ax 2 | 2x2 ax 2 x
ax 2
x
且在区间 , 1 和 2, 上单调递增，只需满足不等式
考点定位：三角函数的化简与解三角形
例 5.【浙江省 2015 届高三第二次考试五校联考 13】直角 ABC 的三个
顶点都 在给定的抛物线 y2 2x 上，且斜边 AB 和 y 轴平行，则 RTABC
斜边上的高的长度为
．
解析：特殊值法：不妨将 C 设为原点，
则有对称性可得直线 AC 的斜率为 1，
所以只需
y x
y
2
2x
化简
x2
2x
则 x 0或x 2 ，
所以 RTABC 斜边上的高的长度为 2 考点定位：直线与抛物线
例 5.【浙江省 2015 届高三第二次考试五校联考 13】直角 ABC 的三个
顶点都 在给定的抛物线 y2 2x 上，且斜边 AB 和 y 轴平行，则 RTABC
斜边上的高的长度为
例 1.（宁波市 2015 学年度第一学期期末考试）
x2 2x 1, x 0
若函数
f
(x)
a,
x 0 为奇函数，则 a ___， f (g(2)) ____.
g (2 x),
x0
解析： f (x) 为奇函数， f (x) f (x) ，则 f (0) f (0) ， f (0) 0 a 0
高考题型·解读
填空题常用的方法有直接法与定义法、特殊 化法、数形结合法、构造法。
方法1直接法和定义法
数学填空题，绝大都数能直接利用有关定 义、性质、定理、公式和一些规律性的结论， 经过变形、计算得出结论，使用直接法和定义 法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地 、有意识地采取灵活、简捷的变换.解题时，对 概念要有合理的分析和判断；计算时，要求推 理、运算的每一步骤都应正确无误，还要求将 答案书写准确、完整.少算多思是快速准确地解 答填空题的基本要求.
当x 0时，f (x) g(2x) f (1) g(2)
f (x) 为奇函数, g(2) f (1) f (1) 4
f (g(2)) f (4) f (4) 25
考点定位：函数的奇偶性
例 2. (2016 嵊州市高三期末试题)
已知点 P 在以 F1，F2 为焦点的双曲
浙江省高考冲刺精讲
第二讲 填空题技法指导
高考题型·解读
填空题是高考三大题型之一，试题大多能在 课本中找到原型和背景，故可以化归为熟知的题 目或基本题型．浙江省高考填空题共36分，有四 个两空和三个单空组成，且一般由易到难的顺序 排列。
高考题型·解读
填空题与选择题有质的区别：①填空题没有 备选项，因此，解答时不受诱误的干扰，但同时 也缺乏提示；②填空题的结构往往是在正确的命 题或断言中，抽出其中的一些内容留下空位，让 考生独立填上，考查方法比较灵活；
例 9.三棱锥 A BCD中， AB CD 3 ， BD AC 4， AD BC x ，则 x 的取值范围是______
解析：将三棱锥 A BCD放置于一个长方体中，长方体的长、宽、高分别为 a, b, c ，
b2 c2 9 (1)
则由题意可知
a
2
b2
16
(2)
a2 c2 x2 (3)