第3章 点线面的投影

一、直线的投影特性
⒈直线对一个投影面的投影特性
A●
B
●
M●
A●
B●
●
a≡b≡m
●b a●
a● b
●
●a ● b
a● b●
●B
α A●
●b a●
直线垂直于投影面 直线平行于投影面
投影重合为一点 投影反映线段实长
积聚性
ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短
ab=ABcosα
⒉直线在三个投影面中的投影特性
2.平面与平面平行
一般情况： 若一平面上的两相交 直线对应地平行另一平面 的两相交直线，则两平面 平行。
特殊情况： 若两投影面垂直面相 互平行，则它们具有积聚 性的那组投影也平行。
b’ c’
a’
m’
b
a
m
c
d’
f’
a’
g’
e’
d
a
fe
g
p’ n’
p n
b’ c’
bc
平面垂直问题
若一直线垂直于一平面，则该直 线必垂直于该平面上的所有直 线;若一直线垂直于平面内的两 条相交直线，则该直线也必垂 直于该平面。如图2—46所示， AE、FC是平面ABCD上的一对 相交直线,若MN⊥AE， MN⊥FC，则MN⊥◇ABCD。 现用平面上的水平线和正平线 作为两条相交直线，则可利用 直角投影定理来反映两直线垂 直的特性，使该直线分别垂直 于平面上的水平线和正平线， 从而使该直线垂直于平面。反 之亦然。以下举例说明。
例： 直线MN与平面ABC 平行，求MN的水平投影。
b’
d’
k’
g’
c’
c
g
k
d b
b’ n’
c’
a’
m’
a m
b
n
c
例2：过M点作直线MN平行于平面ABC。
有无数解
a 有多少解？
a
b
n
c m ●
b
n
●m c
例3：过M点作直线MN平行于V面和 平面ABC。
b
cm n
a
●
c a
m●
n
b
正平线 唯一解
b
b
d
●
ab
c
ef
投影特性:
1、在其垂直的投影面上，投影有积聚性。
2、另外两个投影，反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。
⑶一般位置直线
b a a
b
b a
投影特性：
三个投影都缩短。即: 都不反映空间线段的实 长及与三个投影面夹角 的实大，且与三根投影 轴都倾斜。
一般位置直线的实长及 与投影面的角度
a c
1(2)
3 ●
●
●4
c a
2
●
●
●
1
3(4)
d 为什么？
投影特性：
b
★同名投影可能相交， b 但“交点”不符合空间 d 一个点的投影规律。
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
★“交点”是两直线上 的一对重影点的投影， 用其可帮助判断两直线 的空间位置。
三、直角投影定理
• 当相交两直线在空间互相垂直,若其中一条直线为某投影面的平行线时,则两 直线在该投影面上的投影必定反映直角,此投影特性称为直角投影定理.
AB与CD不平行。
⒉两直线相交
V c
b
k
a A a
C d
B
KD
d
k c
b H
判别方法：
交点是两直 线的共有点
b
c k•
a
d
a
d
c •k
b
若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且 交点的投影必符合空间一点的投影规律。
例3：过C点作水平线CD与AB相交。
c●
k
a
b d
先作正面投影
a
d
k
b
c●
⒊两直线交叉 两直线相交吗？
直线对一个投影面的投影特性一直线的投影特性直线垂直于投影面投影重合为一点直线平行于投影面投影反映线段实长abab直线倾斜于投影面投影比空间线段短ababcos投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线水平线平行于h面正垂线垂直于v面侧垂线垂直于w面铅垂线垂直于h面一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面1在其平行的那个投影面上的投影反映实长并反映直线与另两投影面倾角的实大
a
b α γ
b
侧平线
a
a 实长
β
b
α b
a β γ
b
a
ba
b
实长
与H面的夹角:α
与V面的夹角:β
投影特性： 与W面的夹角:γ
1在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角的实大。
2另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
⑵投影面垂直线
铅垂线
正垂线
侧垂线
a
a
cd d c ●
e f ef ●
投影面展开
V a
●
X
ax
a● H
Z
W az a
●
O
ay ay
不动 V a
●
X ax
Y
绕Z轴旋 Z 转90度
az
A
●
a● H
●a
O
W
ay
Y
Y
绕X轴旋 转90度
三、两点的相对位置
Z
两点的相对位置指两点在
a●
空间的上下、前后、左右
b ●
位置关系。
X
a●
●a ● b YW
判断方法：
▲x坐标大的在左
●
例：已知平面由AB,CD所确定， 试在平面上任作一直线。
b’
b’
d’
aa’’
c’ c’
b
b
aa
d
cc
例5： 在平面ABC内作一条水平线，使其到H面 的距离为10mm。有多少解？
a
m
n
10
c
b
b
c
n m
a
唯一解！
2.平面上取点
面上取点的方法
过点在平面内作一直线，由直线确定点的 位置，这样就转化为面上取线的问题。
b
另一判断法? 应用定比定理
因为ak/kba’k’/k’b’ 所以K不在AB上
二、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为：
平行、相交、交叉。
⒈两直线平行
投影特性：
V
b
d
a
B
A
c
D
C
空间两直线平行，则 其同名投影必相互平 行，且其投影长度之 比等于其实长之比，
a
反之亦然。即：
c b
AB:CD=ab:cd=a’b’:c’d’ dH
第三章
点、直线、平面的投影
3.1投影法和投影 3.2点的投影 3.3直线的投影 3.4点与直线、直线与直线的相对位置 3.5平面的投影 3.6直线与平面、平面与平面的相对位置 3.7换面法
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3·1投影法和投影体系
中心投影法
投影方法
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
中心投影法
投影中心
例5：求AB,CD两直线的公垂线
分析:交叉两直线的公垂线,就是与AB,CD都垂直的直线. 由于AB是铅垂线,CD是一般位置直线,所以其公垂线 为一水平线,它与CD的垂直关系在H面上反映.
作图：1.由a(b)向cd做垂线lk,交于k,由此求出k’;
2.过k’作平行线l’k’, 与a’b’交于l’, 即为公垂线的
◆水平投影面（简称水
平面或H面）
X
◆侧面投影面（简称侧
面或W面）
投影轴
OX轴V面与H面的交线 OY轴H面与W面的交线 OZ轴V面与W面的交线
Z
oW
H Y
三个投影面 互相垂直
空间点A在三个投影面上的投影
a 点A的正面投影 V a●
a 点A的水平投影
A
●
X
a 点A的侧面投影
a●
Z
● a
o
W
H Y
空间点用大写字母 表示，点的投影用 小写字母表示。
例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
b’
b’
a’
k’
d’
c’ c
a
k
d
b
a’
m’
m
a
k’
c’ c k
n’
n
b
例6： 解法一
已知平行四边形对角线AC为正平线， 补全平行四边形ABCD的水平投影。
b
解法二
b
a
k
c
a
c
d
d
d
d
a
k
c
a
c
b
b
3.6 直线与平面、平面与平面 相对位置
几何元素——线与面，面与面 相对位置——平行，相交
例7一菱形的一条对角线为一正平线,菱形的一边 位于直线上,求该菱形的投影图.
• 分析菱形的两条对角线互相垂直且平分,其对边互相平行.
• 作图
• ①在对角线AC上取中点K，即a’k’＝k’c’，ak＝kc，
• ②因AC是正平线，故另一对角线的正面投影必定垂直于a’c’。过k’作 a’c’的垂线，且与a’m’交于b’，由k’b’求出kb[图(b)]；
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面）
统称特殊位置直线
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
正垂线（垂直于Ｖ面）
投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线
⑴投影面平行线
水平线
正平线
a b a b 实长 a
b YH
▲y坐标大的在前 B点在A点之
▲z坐标大的在上
前、之右、之 下。
重影点：
A、C为H面的重影点
空间两点在某一投影面 上的投影重合为一点时， 则称此两点为该投影面 的重影点。
被挡住的投 影加( )
a
a
●
●
c●
● c
●
a(c )
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
3·3直线的投影
两点确定一条直线，将直线两端 点的同名投影用直线连接，就得 到直线的同名投影。
工程图样一般都采用正投影法绘制。
3·2点的投影
一、点在一个投影面上的投影
P
过空间点A的投射线与投 影面P的交点即为点A在
●a A●

P面上的投影a’。
P
点在一个投影面上的投影 不能确定点的空间位置。
B1 B2 ● B3 ●
●
● b
采用多面投影。
二、点的三面投影
投影面
◆正面投影面（简称正
V
面或V面）
• 如图所示，已知AB⊥BC，其中AB∥H面，BC倾斜于H面。因AB⊥Bb， AB⊥BC,则AB⊥BbcC平面;又因ab∥AB,所以ab⊥BbcC平面,因此ab⊥bc, 即∠abc=∠ABC=90
• 反之,如相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直(即为直角),且其中有一 直线为该投影面的平行线时,则这两条直线在空间必定互相垂直.
物体 投影面
投影线 投影
物体位置 改变，投 影大小也 改变
投影特性:
投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离 对投影的大小有影响。
度量性较差!
平行投影法
且投 垂射 直线 于互 投相 影平 面行
直角（正）投影法
投影特性
且投 倾射 斜线 于互 投相 影平 面行
斜角投影法
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好!
a
①
实长
·b
② 实长
β
a
α
b
b
a
a
直角三角形法
b
注意：2直角边与夹角的关系
ab、Δz→α
a’b’、 Δy→β
3.3点与直线、直线与直线相对位置
一、点在直线上的判别方法：
◆若点在直线上,则点的 投影必在直线的同名投 V 影上。并将线段的同名 a 投影分割成与空间相同 的比例。即：
AC/CB=ac/cb=ac/cb
两面投影,且lk反映公垂线的实长。
a’
k’ c’
l’
d’ o
b’ x
c
dk
l a (b)
3.5平面的投影
3.5.1平面的表示方法
b’
a’
c’ a’
a
c a
b
b’ c’ a’
b’ d’
c’
a’
c a
b
c
a
bd
b’ c’ a’
c a
b
b’ c’ c
b
三点
直线和点 两平行线 两相交线 平面图形
3.5.2平面的投影特性
例1：判断图中两条直线是否平行。
b d 对于一般位置直线，
a
只要有两个同名投影
c
互相平行，空间两直
a
c
线就平行。
bd
AB//CD
例2：判断图中两条直线是否平行。
c
c
a
a
d b
c
b d 对于特殊位置直线，只 有两个同名投影互相平
b
行，空间直线不一定平
da
行。
如何判断？
求出侧面投影 求出侧面投影后可知：
特殊位置平面
投影面垂直面
正垂面 铅垂面 侧垂面
投影面倾斜面——一般位置平面
（1）投影面平行面
空间及投影分析——平行一个投影面，与另外两个投影
面垂直。
投影反 映实形
投影有 积聚性
投影特征：在所平行的投影面上的投影反映实形，另外两 个投影积聚成直线，且与相应的投影轴平行。
（2）投影面垂直面
空间及投影分析——只垂直一个投影面，对另外两个投
b
c
B
C A
ac
b H
◆若点的投影有一个不在 直线的同名投影上，则该 点必不在此直线上。
定比定理
例1：判断点C是否在线段AB上。
① a
c•
b
② a
c●
b
b c• a
点C在直 线AB上
a c● b
点C不在 直线AB上
例2：判断点K是否在线段AB上。
a
a
k● b
●k b
因k不在ab上，
a k●
故点K不在AB上。
1.平面对一个投影面的投影特性
A
B
B
C
b a
c
A A
C
c
a
a
b
平行
垂直
倾斜
投影特性
平面平行投影面-----投影就把实形现
平面垂直投影面-----投影积聚成直线
平面倾斜投影面-----投影类似原平面
B
b
C
c
实形性 积聚性 类似性
2.平面在三投影面体系中的投影
平面的分类：
投影面平行面
正平面 水平面 侧平面
影面倾斜。
投影有
类似性
bb’’
bb””
类似性
aa’’
aa””
积聚性
cc’’ a
cc”” 投影有
积聚性
c b
类似性
投影特征：在所垂直的投影面上的投影积聚成直线，它与投 影轴的夹角反映了平面与相应的投影面之间的夹 角；另外两个投影具有类似性。