北京市北师大附属实验中学2024届高三下学期3月零模数学试题(含解析)

北京市北师大附属实验中学2024届高三下学期3月零模数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{}{}23,2,0,1,4,4A B x x =--=≤∣，则A B = （ ）A ．{}0,1,4B ．{}
2,0,1-C ．{}
2,0,1,4-D ．{}
3,2,0,1--2．记复数i
i 1
z =+的共轭复数为z ，则z z -=（ ）A ．1
B ．1-
C ．i
D ．i
-3．已知曲线22
21(0)2x y b b -=>的焦距为4，则其离心率为（ ）
A ．1
2
B C D ．2
4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知398,36a S ==，则4a =（ ）A ．4
B ．6
C ．10
D ．12
5．在5(x -的展开式中，4x 项的系数为（ ）A ．20
-B ．20
C ．40
-D ．40
6．ABC 中，30,60,4A B AB ∠∠=== ，则将ABC 以AB 为轴旋转一周所形成的几何体的体积为（ ）A ．πB ．2π
C ．3π
D ．4π
7．函数()211f x x =+，记()0.5
511,3,log 22a f b f c f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则（ ）
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c<a<b
D ．c b a
<<8．已知函数()sin cos f x x x =，将()f x 的图象向左平移
π
6
个单位后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 在区间()0,t 上均单调递增，则t 的最大值为（ ）A ．
π12
B ．
π4
C ．
π3
D ．
2π3
9．已知,a b
为不共线的两个单位向量，,λμ为非零实数，设c a b λμ=+ ，则“λμ=”是
“,,a c b c =
”的（ ）A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
10
．已知直线:0l x y +-=，圆222Γ:(0)x y r r +=>，若直线l 上存在两点,A B ，圆
Γ上存在点C ，使得2AB =，且90ACB ∠= ，则r 的取值范围是（ ）
A ．[]
1,3B ．[]
2,3C ．[)
1,+∞D ．[)
2,+∞二、填空题
11．已知向量()()()
1,2,7,1,a b a kb a ==--⊥
，则k =
.
12．已知α满足：tan 2α=-，则sin α=
；cos2α=
.
13．设点()00,P x y 在抛物线2:8C x y =上，已知()()0,2,0,2A B -.若5AP =，则
0y = ；若00x >，则直线BP 斜率的最小值为
.
14．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，6,2AB AD ==，四条侧棱长度均相等.若平面PAD ⊥平面PBC ，则该四棱锥的高为 ；二面角P AB C --的余弦值
为
.
15．已知无穷数列{}n a 满足：对任意*n ∈N ，有0n a >，且11211,,n n n n
n n n n n a a a a a a a a a +++++->⎧=⎨+≤⎩.给
出下列四个结论：
①存在无穷多个*k ∈N ，使得21k k k a a a ++=+；②存在*k ∈N ，使得36k k k a a a ++=== ；③对任意*k ∈N ，有24k k k a a a +++=；
④对任意*
k ∈N ，存在互不相同的12,,k i i i ，使得121232k
k
i i i a a a a a a +++=+++ .其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题
16．在ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，已知
222sin sin sin sin .A C A C B =+-(1)求B ；
(2)已知4a =，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在且唯一确定，并求ABC 的面积.①3b =；
②2sin c a C =；③16AB AC ⋅=
.
17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知4AB AC BC ===，12,,AA M N =分别11B C 和1A B 的中点.
(1)求证：MN 平面11ACC A ；
(2)判断1A B 与CM 是否垂直，并说明理由；(3)求AB 与平面CMN 所成角的正弦值.
18．某项游戏的规则如下：游戏可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮游戏，分数如下表：轮次一二三四五六七八九十第一次分数76898597107第二次分数
8
7
9
10
8
9
8
7
7
9
若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”.
(1)若从以上十轮游戏中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率；
(2)假设甲再参加三轮游戏，每轮得分情况相互独立，并对是否稳定发挥以频率估计概率.记X 为甲在三轮游戏中“稳定发挥”的轮数，求X 的分布列和数学期望；
(3)假设选手乙参加n 轮游戏，每轮的两次分数均不相同.记1μ为各轮较高分的算数平均值，2μ为各轮较低分的算数平均值，3μ为各轮两次的平均分的算数平均值.试比较
3μ的大小（结论不要求证明）.
19．已知函数()2112ln 2f x a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
(1)求()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；(2)讨论()f x 的单调区间；
(3)若对任意()1,x ∈+∞，都有()ln21f x ≤-，求a 的最大值.（参考数据：ln20.7≈）
20．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为12，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设过点()0,1P 且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，过,A B 分别作y 轴的垂线，垂足为点,M N ，求证：直线AN 与BM 的交点在某条定直线上，并求该定直线的方程.
21．已知集合{}1,2,3,,A n =⋯，其中*
12,,,,m n A A A ∈N 都是A 的子集且互不相同，记
i i M A =的元素个数，()ij i j N A A =⋂的元素个数{}(,1,2,,,)i j m i j ∈< .
(1)若{}{}1213234,1,2,1,3,1n A A N N =====，直接写出所有满足条件的集合3A ；(2)若5n =，且对任意1i j m ≤<≤，都有0ij N >，求m 的最大值；
(3)若()7,31,2,,i n M i m ≥≤= 且对任意1i j m ≤<≤，都有1ij N =，求m 的最大值.
参考答案：
1．B
【分析】解不等式求得集合B ，再求交集即可.
【详解】因为{}
24B x
x =≤∣{|22}x x =-≤≤，又{}3,2,0,1,4A =--，故A B = {}2,0,1-.故选：B.2．C 【分析】
由复数四则运算以及共轭复数的概念即可求解.【详解】因为()()()i 1i i 1i i 11i 1i 2z -+===++-，所以1i 1i i 22
z z +--=-=.故选：C.3．C 【分析】
根据题意，求得,a c ，再求离心率即可.
【详解】根据题意，22a =
，则a =24c =，则2c =
；故离心率c a ==故选：C.4．B 【分析】
利用等差数列的基本量，求得首项和公差，再求4a 即可.
【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题可得31912893636a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得112
2a d =⎧⎨=-⎩，则
43826a a d =+=-=.故选：B.5．D 【分析】
由题意写出展开式通项并化简，令542
r
-
=，解得2r =，回代展开通项计算即可得解.
【详解】在5
(x
-的展开式通项为(()()55*2
15
5
C C 2,05,N r r
r
r r r r T x
x
r r -
-+=-=-≤≤∈，
由题意令542
r -=，解得2r =，所以4x 项的系数为()225C 210440-=⨯=.故选：D.6．D 【分析】
由题意得所求几何体体积即两个同底圆锥的体积之和，通过解直角三角形知识得底面圆半径以及两圆锥的高的和，由此即可得解.
【详解】
过点C 作CD AB ⊥于点D ，
则将ABC 以AB 为轴旋转一周所形成的几何体是都以CD 为底面圆半径，分别以,BD AD 为高的两个圆锥的组合体，
因为30,60,4A B AB ∠∠=== ，所以90ACB ∠= ，
从而2,BC CA ==，
由等面积法得
11
22
AC BC CD AB ⋅=⋅，即42CD =⨯
解得CD =
从而所求体积为2
1
π44π3
⨯
⨯=.
故选：D.7．B
【分析】由题意得()f x 是R 上的偶函数，由复合函数单调性可知()2
1
1
f x x =
+关于x 在()0,∞+上单调递减，进一步比较对数、指数幂的大小即可求解.
【详解】注意到()f x 定义域为全体实数，且()()
()2
2
1
1
11
f x f x x x -===
+-+，
所以()f x 是R 上的偶函数，
从而()55111,log log 2222a f f c f f ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
因为21y x =+在()0,∞+上单调递增，
所以()2
1
1
f x x =
+关于x 在()0,∞+上单调递减，
而10.52
551log 2log 532-<=<==，所以b a c <<.故选：B.8．A 【分析】
化简()f x 的解析式为一般式，并求得其单调增区间；根据三角函数图象变换求得()g x 的解析式，再求其单调增区间；结合题意，即可求得t 的最大值.
【详解】()sin cos f x x x =1sin 22
x =，令ππ
2π22π,22k x k k -+≤≤+∈Z ，解得
()πππ,π,44x k k k ⎡⎤
∈-++∈⎢⎥⎣⎦
Z ，
故()f x 的单调增区间为()πππ,π,44k k k ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，则()f x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增；
将()f x 的图象向左平移
π
6
个单位后得到函数()g x 的图象，则()1π1πsin 2sin 22623g x x x ⎛⎫⎛
⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
令πππ2π22π,232k x k k -
+≤+≤+∈Z ，解得()5πππ,π,1212x k k k ⎡⎤
∈-++∈⎢⎥⎣⎦
Z ，
故()g x 的单调增区间为()5πππ,π,1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
Z ，则()g x 在π0,12⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增；
若()f x 和()g x 在区间()0,t 上均单调递增，则t 的最大值为π
12
.
故选：A.9．C
【分析】由数量积公式、单位向量的定义以及向量夹角公式可得在题设条件下，
cos ,cos ,a c b c λμ=⇔=
，注意到cos ,cos ,,,a c b c a c b c =⇔=
，由此即可结合充
要条件的定义判断.
【详解】已知,a b
为不共线的两个单位向量，,λμ为非零实数，设c a b λμ=+ ，
则此时()
2cos ,a a c a a a a a c a c c c c
b b b λμλμλλμμ+⋅⋅+⋅+⋅=⇔====⋅
()
2cos ,b a b a b b c
c a b c c c b c
b b λμμλμλ⋅+⋅+⋅⋅==+===⋅ ，而向量夹角范围是[]0,π，当[]0,πθ∈时，cos θ严格单调递减，
从而cos ,cos ,,,a c b c a c b c =⇔=
，
综上所述，在题设条件下“λμ=”是“,,a c b c =
”的充要条件.故选：C.10．C
【分析】
由题意将原问题等价转换为圆心在直线:0l x y +-=上且半径为
12
AB
=的动圆与圆222Γ:(0)x y r r +=>有交点，分直线与圆的位置关系讨论，利用圆心到直线的距离即可得解.
【详解】若直线l 上存在两点,A B ，圆Γ上存在点C ，使得2AB =，且90ACB ∠= ，则条件等价于圆心（设为D
）在直线:0l x y +-=上且半径为
12
AB
=的动圆与圆222Γ:(0)x y r r +=>有交点，
圆222Γ:(0)x y r r +=>的圆心为()0,0,
O ()0,0O
到直线:0l x y +-=
的距离2d ，
当圆222Γ:(0)x y r r +=>与直线相离时，即02r <<时，则圆222Γ:(0)x y r r +=>上的动点C 到直线的最小距离为2r -，此时只需满足21r -≤即可，所以1r ≥；
当2r ≥时，圆222Γ:(0)x y r r +=>与直线有交点，此时圆Γ和直线上一定分别存在点,C D ，使得1CD =，符合题意.综上，1r ≥. 故选：C.11．1【分析】
由向量坐标的线性运算以及向量垂直的坐标表示列出关于k 的方程即可求解.
【详解】由题意
()()()()()1,2,7,1,1,27,17,2a b a kb k k k k ==--=--=-+
，因为()
a k
b a -⊥
，
所以()
()1722550a a kb k k k ⋅-=-++=-=
，解得1k =.
故答案为：1.12．
3
5
-/0.6-【分析】根据同角三角比的基本关系求解出sin α的值，然后利用二倍角的余弦公式并结合弦化切即可求出cos 2α的值.
【详解】因为22sin tan 2cos sin cos 1α
αααα⎧==-⎪⎨⎪+=⎩
，所以sin α=；因为tan 2α=-，所以cos 0α≠，
所以2222
2
222
cos sin 1tan 3
cos 2cos sin sin cos 1tan 5ααααααααα--=-===-++，
故答案为：35-.
13． 3 1
【分析】第一空：由两点间距离公式以及点P 坐标满足抛物线方程联立列式即可求解；第二空：将直线BP 斜率表达式求出来，结合基本不等式即可得解.
【详解】第一空：若5AP =，则()2
2
0225x y +-=，又20
08x y =，所以()
2
0225y +=，注意到2
008
x y =≥，
所以解得030y =≥满足题意；
第二空：直线BP 斜率为20
00000
2
2288BP
x y x k
x x x ++===+，若0
0x >，
则由基本不等式得00218BP x k x =+≥=，等号成立当且仅当04x =.故答案为：3；1.14．
3
【分析】第一空：首先PO 垂直于平面ABCD ，记,,,AB BC CD DA 的中点分别为,,,E F G H ，
由线面垂直的性质、判定可以得到,AD BC 垂直于平面PHF ，进而,AD BC 垂直于,PH PF ，
2l 垂直于,PH PF ，进一步说明2l 为,PAD PBC 的交线，从而可知π
2
FPH ∠=
，由此即可进一步求解；第二空：得出二面角P AB C --的平面角为PEO ∠，结合解三角形知识即可求解.
【详解】
设矩形ABCD 的中心为O ，则由侧棱长相等，知PO 垂直于平面ABCD .记,,,AB BC CD DA 的中点分别为,,,E F G H ，过P 分别作,AB AD 的平行线12,l l ，由于PO 垂直于平面ABCD ，且,AD BC 在平面ABCD 内，故PO 垂直于,AD BC ，
而HF 垂直于,AD BC ，PO 和HF 相交于O ，,PO HF 在平面PHF 内，故,AD BC 垂直于平面
PHF .
而,PH PF 都在平面PHF 内，这意味着,AD BC 垂直于,PH PF ，从而2l 垂直于,PH PF ，又因为2l 经过P 且和,AD BC 平行，故2l 在平面,PAD PBC 内，这就说明2l 是两个平面的交线.由于2l 垂直于,PH PF ，平面,PAD PBC 互相垂直，故PH PF ⊥，所以11
322
h PO HF AB ==
==，同理可证：1l 垂直于,PE PG ，故AB 垂直于PE ，而AB 垂直于EG ，所以二面角P AB C --的平面角为PEO ∠，
故所求二面角的余弦值为cos PEO EO
EP
=
∠==
=
故答案为：315．①③④
【分析】对于①，我们得出任意连续两个自然数中必有一个属于A 即可判断；对于②，我们以斐波那契数列为反例即可推翻；对于③，设k a a =，1k a b +=，分两种情况讨论即可判断；对于④，由③可得1222k k k k a a a a +++++=或1212k k k k a a a a +++++=，由此即可进一步判断.
【详解】设{}*21N n n n A n a a a ++=∈=+，{}
*
21N n n n B n a a a ++=∈=-，则*N A B = ，
A B ⋂=∅.
如果n B ∈，则211n n n n a a a a +++=-<，故321n n n a a a +++=+，从而1n A +∈.
这意味着任意连续两个自然数中必有一个属于A ，所以A 一定是无限集，故①正确；注意到数列211n n a F -+=，2n n a F =满足全部条件，这里{}n F 是斐波那契数列，这能够得到211n n a F n -+=>以及21n n a F n =>-，从而12
n n a >-.假设此时有3k k n a a +=，0,1,2,...n =，则3312k k n k n
a a ++=>-即223
k a k n +-<对任意n 成立，这显然不可能，故②错误；
设k a a =，1k a b +=，若a b ≥，则()()1234,,,,,,,,2k k k k k a a a a a a b a b a a b ++++=++；若a b <，则()()1234,,,,,,,2,k k k k k a a a a a a b b a b a b ++++=--.任一情况都有24k k k a a a +++=，故③正确；
由③的过程还可以得到：1222k k k k a a a a +++++=或1212k k k k a a a a +++++=.这意味着可以适当选取{}31,3n i n n ∈-使得323132n n n n i a a a a --++=，从而()
12123...2...k k i i i a a a a a a +++=+++，故④正确.故答案为：①③④.
【点睛】关键点点睛：对于②的判断，关键是利用斐波那契数列的性质得出矛盾，由此即可顺利得解.16．(1)π
4
B =
(2)若选①不符题意，选②满足题意且4ABC S =+，选③满足题意且8
ABC S =△【分析】（1）由正弦定理角化边，再由余弦定理边化角即可求解；
（2）若选①，可余弦定理运算可知此时ABC 存在但不唯一，不符题意；若选②，由正弦
定理可知此时b =c 满足题意，结合三角形面积公式求
解即可；若选③，一方面有222cos 162
b c a cb A +-==，另一方面4a =，且
2216b c =-+，由此可唯一解出c ，进而b 也唯一，满足题意，结合三角形面积公式即
可求解.
【详解】（1
222sin sin sin sin .
A C A C
B =+-
2
2
2
a c
b =+-
，即222cos 2a c b B ac +-==
所以π
4
B =.
（2）若选①3b =，因为4a =，π4
B =
，
所以由余弦定理有291624c c =+-⨯⨯
270c -+=，
解得1c =±，此时ABC 存在但不唯一，不符题意；
若选②2sin c a C =
，则4811sin sin sin 22c a a b C A B =======，
所以此时b =，
由余弦定理有2321624c c =+-⨯⨯
2160c --=，
解得c =+
c =，此时ABC 存在且唯一，
且(
11sin 4422ABC S ac B =
=´´+；若选③16AB AC ⋅= ，则222
cos 162b c a cb A +-==，
又4a =
，且222162416b c c c =+-⨯⨯=-+，
所以整理得2160c --=
，解得c =
c =-，此时ABC 存在且唯一，
且11
sin 4822ABC S ac B =
=´=.17．(1)证明过程见解析(2)垂直，理由见解析
【分析】
（1）设1AC 的中点为P ，证明MN 平行于1PC ，结合线面平行的判定定理即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，求出1A B 与CM 所在直线方向向量，判断它们的数量积是否为0即可；
（3）分别求出AB 与平面CMN 的方向向量、法向量，由向量夹角的余弦公式即可得解.
【详解】（1）
由于N 是对角线1AB 的中点.
设1AC 的中点为P ，则,N P 分别是11,AB AC 的中点，故11112NP B C MC == ，
这就说明1NPC M 是平行四边形，故MN 平行于1PC ，而1PC 在平面11ACC A 内，MN 不在平面11ACC A 内，故MN 平行于平面11ACC A ；
（2）
记BC 的中点为O ，由于AB AC =，故AO AC ⊥，
又由于该三棱柱是直三棱柱，且1111111122OM OC CC C M BC CC C B CC =++=++= ，故OM
平行于1CC .
而1CC 垂直于平面ABC ，故OM 垂直于平面ABC ，而,OA OC 均在平面ABC 内，故,,OA OC OM 两两垂直.
现在以O 为原点，,,OA OC OM
分别为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系.则()11,0,2A ，()0,2,0B -，()0,2,0C ，()0,0,2M ，
故()11,2,2A B =--- ，()0,2,2CM =- ，从而1440A B CM ⋅=-=
，这就说明1A B 垂直于CM ；（3）
由于()1,0,0A ，()0,2,0B -，故()1,2,0AB =--
.
而()0,2,0C ，()0,0,2M ，1,1,12N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故()0,2,2CM =- ，1,3,12CN ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
.设(),,n x y z =
是平面CMN 的法向量，所以0n CM n CN ⋅=⋅= ，
则1
22302
y z x y z -+=
-+=.所以y z =，62624x y z z z z =-=-=，从而可以取()4,1,1n =
.
而cos ,AB n AB n AB n ⋅=====⋅
故AB 与平面CMN
18．(1)
1
3
(2)分布列见解析，数学期望95
EX =
3
μ<【分析】
（1）该选手在第1、3、4、5、7、8轮稳定发挥，由此即可求解；
（2）首先求出甲在某一轮中发挥稳定的概率为0.6，从而可知X 服从二项分布()3,0.6B ，进一步即可求得分布列以及数学期望；
（3）首先求得3μ关于12,μμ的表达式，进一步即可比较大小.
【详解】（1）直接计算知该选手在第1、3、4、5、7、8轮稳定发挥，故26210C 151
C 453
P ==
=；（2）
甲在每轮游戏中“稳定发挥”的概率为63
105=，35~3,X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，X 的可能取值为0，1，2，3，
()()32
13
3
3833360C 1,1C 1512555125P X P X ⎛⎫
⎛⎫==⋅-===⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()()2
3
233
333543272C 1,3C 551255125
P X P X ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
==⋅-==== ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭，这就得到X 的分布列为
k 0123
()
P X k =8125361255412527125
二项分布的数学期望39
355
EX =⨯=.
（3）
设在第k 轮中，较高分和较低分分别为k a 和k b ，则(),0,N k k a b k n n ><<∈，且121...n
a a a n μ+++=
，122...n b b b n
μ+++=，
故12μμ>，且1122
1122
3 (2)
222n n n n a b a b a b a b a b a b
n n
μ++++++++++++==121
212......
22
n n a a a b b b n μμ++++++++=
=
从而
12
12
3
2
2μ
μμμμ++=
=
2
1
2
=
+>3μ<.19．(1)1
2
y =-；
(2)答案见解析；(3)2.
【分析】
（1）求得()1f ，(1)f '，再根据导数的几何意义，即可求得切线方程；
（2）讨论参数a 与0和1的大小关系，在不同情况下，求函数单调性，即可求得单调区间；（3）将问题转化为()f x 在()1,+∞上的最大值()max ln 21f x ≤-，根据（2）中所求单调性，求得()max f x ，再构造函数解关于a 的不等式即可.
【详解】（1）()2112ln 2f x a x x x x ⎛⎫⎛⎫
=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()
f x '()()()22
11111x x a x a x x x x +--⎛
⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()112f =-，(1)f '0=，故()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为102y ⎛⎫
--= ⎪⎝⎭
，即12y =-.
（2）()f x '()()()
2
11x x x a x -+--=，又0x >，10x +>，
则0a ≤时，当()0,1x ∈，()f x '0>，()y f x =单调递增；当()1,x ∈+∞，()f x '0<，
()y f x =单调递减；
01a <<时，当()0,x a ∈，()f x '0<，()y f x =单调递减；当(),1x a ∈，()f x '0>，()
y f x =单调递增；
当()1,x ∈+∞，()f x '0<，()y f x =单调递减；
1a =时，当()0,x ∈+∞，()f x '0≤，()y f x =在()0,+∞单调递减；
1a >时，当()0,1x ∈，()f x '0<，()y f x =单调递减；当()1,x a ∈，()f x '0>，()y f x =单调递增；
当(),x a ∈+∞，()f x '0<，()y f x =单调递减.
综上所述：当0a ≤，()f x 的单调增区间为()0,1，单调减区间为()1,+∞；当01a <<，()f x 的单调减区间为()()0,,1,a +∞，单调增区间为(),1a ；当1a =，()f x 的单调减区间为()0,+∞，没有单调增区间；当1a >，()f x 的单调减区间为()()0,1,,a +∞，单调增区间为()1,a .
（3）若对任意()1,x ∈+∞，都有()ln21f x ≤-，则()f x 在()1,+∞上的最大值()max ln 21f x ≤-；由（2）可知，当1a >，()f x 在()1,a 单调递增，在(),a +∞单调递减，故()()22max 1112ln ln 2122f x f a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫
==+---=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
令()21ln 21,12m x x x x x =+-+>，则()m x '1220x x =+->=，
故()y m x =在()1,+∞单调递增，又()2ln 2241ln 21m =+-+=-，则()2ln 21m ≤-；故当2a =时，()2
max 1ln 21ln 212
f x a a a =+-+≤-，
也即当2a =时，对任意()1,x ∈+∞，都有()ln21f x ≤-.故a 的最大值为2.
【点睛】关键点点睛：本题第三问处理的关键是，将()ln21f x ≤-在区间上恒成立，转化为
()max ln 21f x ≤-，再根据第二问中所求函数单调性求得()max f x ，再构造函数解不等式
21
ln 21ln 212
a a a +-+≤-即可.
20．(1)22
143
x y +=；
(2)证明见解析，定直线为3y =.
【分析】
（1）根据题意，列出,,a b c 满足的方程组，求得,a b ，即可求得椭圆方程；
（2）设出直线AB 的方程，联立椭圆方程，结合,M N 坐标，写出直线,AN BM 的方程，借助韦达定理，求得两直线交点坐标的纵坐标为定值，即可证明，进而求出定直线方程.【详解】（1）由题可得：
1
2c a =，221914a b
+=，又222a b c =+
；解得2,1a b c ===；故椭圆C 的方程为：22
143
x y +=.
（2）设直线AN 与BM 的交点为T ，根据题意，作图如下：
由题可知，直线AB 的斜率存在，又过点()0,1P ，故设其方程为1y kx =+，
联立22143x y +=，可得()22
34880k x kx ++-=，显然其0∆>，
设,A B 两点坐标为()()1122,,,x y x y ，则122
122834834k x x k x x k -⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪=
⎪+⎩；
因为,AM BN 都垂直于y 轴，故()()120,,0,M y N y ，则AN 方程为：1221
y y y x y x -=
+，BM 方程为：1212y y
y x y x -=-+，
联立,AN BM 方程可得：
()()21221122112121212
2
16112341213834k
x kx x kx x y x y
kx x k y k x x x x x x k -
+++++===+==+=++
+-
+，
故3T y =，也即直线AN 与BM 的交点在定直线3y =上.
【点睛】关键点点睛：处理本题第二问的关键是求得直线,AN BM 方程后，充分利用利用韦达定理，求出交点的纵坐标即可.
21．(1)3{1}A =或3{1,4}A =或3{2,3}A =或3{2,3,4}A =(2)max 16=m (3)max m n
=【分析】
（1）根据新定义对交集情况分类讨论即可；
（2）将集合{1,2,3,4,5}A =的子集进行两两配对得到16组，写出选择A 的16个含有元素1的子集即可得到max m ；
（3）分1~m A A 中有一元集合和没有一元集合但有二元集合，以及1~m A A 均为三元集合讨论即可.
【详解】（1）因为13231N N ==，则13A A ⋂和23A A 的元素个数均为1，又因为{}{}124,1,2,1,3n A A ===，则{}1,2,3,4A =，若{}131A A ⋂=，{}231A A ⋂=，则3{1}A =或3{1,4}A =；若{}132A A ⋂=，{}233A A ⋂=，则3{2,3}A =或3{2,3,4}A =；综上3{1}A =或3{1,4}A =或3{2,3}A =或3{2,3,4}A =.（2）集合{1,2,3,4,5}A =共有32个不同的子集，将其两两配对成16组,(1,2,,16)i i B C i = ，
使得,i i i i B C B C A ⋂=∅⋃=，则,i i B C 不能同时被选中为子集(1,2,,)j A j m = ，故16m ≤.选择A 的16个含有元素1的子集:12316{1},{1,2},{1,3},A A A A A ===⋯⋯=，符合题意.综上，max 16=m .
（3）结论:max m n =，令123{1},{1,2},{1,3},,{1,}n A A A A n ==== ，集合1~n A A 符合题意.
证明如下：
①若1~m A A 中有一元集合，不妨设1{1}A =，则其它子集中都有元素1，且元素2~n 都至多属于1个子集，
所以除1A 外的子集至多有n 1-个，故m n ≤.
②若1~m A A 中没有一元集合，但有二元集合，不妨设1{1,2}A =.其它子集分两类:{}1,j j B b =或{}1,,(1,2,,)j j b b j s '= ，和{}2,j j C c =或{}2,,(1,2,,)j j c c j t '= ，
其中,,j j s t b b '≥互不相同，,j j c c '互不相同且均不为1，2.若0=t ，则2s n ≤-，有11m s t n n
=++≤-<若1t ≥，则由11j B C ⋂=得每个集合j B 中都恰包含1C 中的1个元素（不是2)，且互不相同，因为1C 中除2外至多还有2个元素，所以2s ≤.所以1122m s t n =++≤++<.
③若1~m A A 均为三元集合，不妨设1{1,2,3}A =.将其它子集分为三类：
{}{}{}1,,(1,2,,),2,,(1,2,,),3,,(1,2,,)j j j j j j j j j B b b j s C c c j t D d d j r '''====== ，其中
s t r ≥≥.
若0t r ==，则3
2
n s -≤(除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合1~s B B )，所以3
112
n m s n -=+≤+
<.若1t ≥，不妨设1{2,4,5}C =，则由11j B C ⋂=得每个集合j B 中都或者有4、或者有5，又12,,,s B B B 中除1外无其它公共元素，所以2s ≤.所以112227m s t r n =+++≤+++=≤.综上，max m n =.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分理解集合新定义，然后对1~m A A 中集合元素个数进行分类讨论；当1~m A A 均为三元集合时，不妨设1{1,2,3}A =，再将其它子集分为三类讨论.。