北师大版九年级数学第二章二次函数同步单元训练卷(含答案)

北师大版九年级数学第二章二次函数同步单元训练卷
一、选择题（共10小题，3*10=30） 1．下列函数中是二次函数的是( )
A ．y ＝3x －1
B ．y ＝3x 2－1
C ．y ＝(x ＋1)2－x 2
D ．y ＝x 2－1 2．将抛物线y ＝(x －1)2＋3向左平移1个单位，得到的抛物线与y 轴的交点坐标是( ) A ．(0，2) B ．(0，3) C ．(0，4) D ．(0，7)
3．一小球被抛出后，距离地面的高度h (m )和飞行时间t (s )满足的函数表达式为h ＝－5(t －1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( )
A .1 m
B .5 m
C .6 m
D .7 m
4．将抛物线y ＝－5x 2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为( ) A ．y ＝－5(x ＋1)2－1 B ．y ＝－5(x －1)2－1；C ．y ＝－5(x ＋1)2＋3 D ．y ＝－5(x －1)2＋3 5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与一次函数y ＝ax ＋c 在同一直角坐标系内的图象可能是( )
6. 已知一元二次方程x 2＋bx －3＝0的一根为－3，若在二次函数y ＝x 2＋bx －3的图象上有三点(－45 ，y 1)，(－5
4 ，
y 2)，(1
6
，y 3)，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )
A ．y 1＜y 2＜y 3
B ．y 2＜y 1＜y 3
C ．y 3＜y 1＜y 2
D ．y 1＜y 3＜y 2
7．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD ，其中∠C ＝120°.若新建墙BC 与CD 的总长为12 m ，则该梯形储料场ABCD 的最大面积是( )
A ．18 m 2
B ．18 3 m 2
C ．24 3 m 2
D ．4532
m 2
8．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴正半轴交于A ，B 两点，与y 轴负半轴交于点C .若点B (4，0)，则下列结论中：①abc ＞0；②4a ＋b ＞0；③M (x 1，y 1)与N (x 2，y 2)是抛物线上的两点，若0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2；④若抛物线的对称轴是直线x ＝3，m 为任意实数，则a (m －3)(m ＋3)≤b (3－m )；⑤若AB ≥3，则4b ＋3c ＞0．正确的个数是( )
A .5
B ．4
C ．3
D ．2
9．在同一坐标系下，抛物线y 1＝－x 2＋4x 和直线y 2＝2x 的图象如图所示，那么不等式－x 2＋4x ＞2x 的解集是( )
A ．x ＜0
B ．0＜x ＜2
C ．x ＞2
D ．x ＜0或 x ＞2
10．如图，△ABC 是边长为4 cm 的等边三角形，动点P 从点A 出发，以2 cm /s 的速度沿A →C →B 运动，到达B 点即停止运动，PD ⊥AB 于点D ，则△ADP 的面积y (cm 2)与运动的时间x (s )之间的函数图象为( )
二．填空题（共8小题，3*8=24）
11．当a ＝________时，函数y ＝(a －1)xa 2＋1＋x －3是二次函数．
12. 如果将抛物线y ＝x 2＋2x －1向上平移，使它经过点A (0，3)，那么所得新抛物线对应的函数表达式是________________．
13．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点(－1，0)，(3，0)和(0，2)，当x ＝2时，y 的值为_________.
14．若抛物线y ＝x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋2与x 轴有两个交点，则整数k 的最小值是_________．
15．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16 m ，跨度是40 m ，在线段AB 上离中心M 处5 m 的地方，桥的高度是____m .
16．如图，已知二次函数y ＝－1
2x 2＋bx ＋c 的图象经过A (2，0)，B (0，－6)两点，设该二次函数的对称轴与x 轴交
于点C ，连接BA ，BC ，则△ABC 的面积为_______．
17．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且P ＝|2a ＋b |＋|3b －2c |，Q ＝|2a －b |－|3b ＋2c |，则P ，Q 的大小关系是__________．
18．某商店经营一种水产品，成本为每千克40元，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为________元时，获得的月利润最大．
三．解答题（7小题，共66分）
19．(8分)已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过点(1，0)，(0，3
2)．求该抛物线的函数表达式；
20．(8分) 已知抛物线y ＝x 2经过点A (－2，b )． (1)求b 的值；
(2)判断点B (－2，5)是否在此抛物线上？ (3)求出抛物线上纵坐标为6的点的坐标．
21．(8分) 把二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数y ＝1
2 (x ＋1)2－1的图象． (1)试确定a ，h ，k 的值；
(2)指出二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标．
22．(10分)已知二次函数y＝(x－2)2－4.
(1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
(2)根据图象，直接写出当y＜0时x的取值范围．
23．(10分) 某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润不高于90%.市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y(个)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示，
(1)根据图象，直接写出y与x的函数关系式；
(2)该公司要想每天获得3 000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
(3)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
24．(10分) 如图，在直角坐标系中，已知直线y＝－1
2x＋4与y轴交于A点，与x轴交于B点，C点坐标为(－2，
0)．
(1)求经过A，B，C三点的抛物线的表达式；
(2)如果M为抛物线的顶点，连接AM，BM，求四边形AOBM的面积．
25．(12分) 如图，已知抛物线y ＝1
2x 2＋bx 与直线y ＝2x 交于点O (0，0)，A (a ，12)．点B 是抛物线上O 、A 之间的
一个动点，过点B 分别作x 轴、y 轴的平行线与直线OA 交于点C 、E . (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)若点C 为OA 的中点，求BC 的长；
(3)以BC 、BE 为边构造矩形BCDE ，设点D 的坐标为(m ，n )，求出m 、n 之间的关系式．
参考答案
1-5BBCAD 6-10ACBBA
11.－112．y ＝x 2＋2x ＋313．214．215．1516．617.P ＞Q 18．70
19．解：把(1，0)，(0，32)代入抛物线解析式，得：⎩
⎨⎧－1
2＋b ＋c ＝0，c ＝32
，
解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝32，则抛物线解析式为y ＝－1
2x 2－x
＋32
20．解：(1)b ＝4
(2)当x ＝－2时，y ＝(－2)2＝4≠5，∴点B (－2，5)不在抛物线上
(3)当y ＝6时，x 2＝6，∴x ＝±6，∴抛物线上纵坐标为6的点有两个，即(6，6)和(－6，6)
21. 解：(1)∵二次函数y ＝1
2 (x ＋1)2－1的图象的顶点坐标为(－1，－1)，∴把点(－1，－1)先向右平移2个单位长
度，再向下平移4个单位长度得到的点的坐标为(1，－5)，∴原二次函数的表达式为y ＝12 (x －1)2－5，∴a ＝1
2 ，h
＝1，k ＝－5
(2)二次函数y ＝a (x －h )2＋k ，即y ＝1
2 (x －1)2－5的开口向上，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－5)
22. 解：(1)列表如下：描点、连线图略
(2)由图象可知：当y ＜0时，x 的取值范围是0＜x ＜4 23. 解：(1)y ＝－2x ＋260
(2)由题意，得(x －50)(－2x ＋260)＝3 000，解得x 1＝80，x 2＝100.∵50≤x ≤50×(1＋90%)＝95，∴x ＝80，∴销售单价应定为80元
(3)设每天获得的利润为w 元，由题意，得w ＝(x －50)(－2x ＋260)＝－2x 2＋360x －13 000＝－2(x －90)2＋3 200，∵50≤x ≤95，∴当x ＝90时，w 有最大值，w 最大＝3 200.答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3 200元
24. 解：(1)当x ＝0时，y ＝－12x ＋4＝4，则A (0，4)，当y ＝0时，－1
2x ＋4＝0，解得x ＝8，则B (8，0)，设抛物线
表达式为y ＝a (x ＋2)(x －8)，把A (0，4)代入得a ·2·(－8)＝4，解得a ＝－14，∴抛物线表达式为y ＝－1
4(x ＋2)(x －8)，
即y ＝－14x 2＋32x ＋4 (2)∵y ＝－14(x －3)2＋254，∴M (3，25
4)，作MD ⊥x 轴于D ，四边形AOBM 的面积＝S 梯形AODM ＋
S △BDM ＝12×(4＋254)×3＋12×5×25
4
＝31
25. 解：(1)∵点A (a ，12)在直线y ＝2x 上，∴12＝2a ，解得：a ＝6，又∵点A 是抛物线y ＝1
2x 2＋bx 上的一点，将(6，
12)代入y ＝12x 2＋bx ，可得b ＝－1，∴抛物线对应的函数表达式为y ＝1
2
x 2－x .
(2)∵点C 是OA 的中点，∴点C 的坐标为(3，6)，把y ＝6代入y ＝1
2x 2－x ，解得：x 1＝1＋13，x 2＝1－13(舍去)，
∴点B 的坐标为(1＋13，6)．故BC ＝1＋13－3＝13－2.
(3)∵直线OA 对应的函数表达式为y ＝2x ，点D 的坐标为(m ，n )，∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫12n ，n ，点C 的坐标为(m ，2m )，∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫12n ，2m ，把⎝⎛⎭⎫12n ，2m 代入y ＝12x 2－x ，可得m ＝116n 2－14n ，∴m 、n 之间的关系式为m ＝116n 2－1
4n .。