高二数学理科考试题

高二数学理科考试题
命题人：胡桂莲
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的. 1．已知集合{|2}x
A x y ==，{|2}x
B y y ==，则=B A ( B ) A ．[0,)+∞ B ．(0,)+∞
C ．R
D ．∅
2．已知向量()()x x ,1,,1-==，若-2与
= ( C ) A
B
C ．2
D ．4 3．已知x ，y ∈R ，则“1x y +=”是“1
4
xy ≤
”的 ( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是 ( A )
5．已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2
23cos cos 20A A +=，7a =，6c =，
则b =（ ）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．5
6．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程是 ( B )
A ．(x －1)2＋y 2＝4
B ．(x －1)2＋y 2＝2
C ．y 2＝2x
D ．y 2＝－2x
7．已知0a >，,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，若2z x y =+的最小值为0，则a = ( C )
A ．
14 B ．1
2
C ．1
D ．2 8．已知函数cos21
()sin 2x f x x
-=
，则有 ( B )
A ．函数()f x 的图像关于直线2
x π
=对称 B ．函数()f x 的图像关关于点(,0)2
π
对称
C ．函数()f x 的最小正周期为
2
π
D ．函数()f x 在区间(0,)π内单调递减
9(1)．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）
A ．
12
B ．
13
C ．
14
D ．
16
9(2)．1l ,2l ,3l
是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 （ ）
A ．12l l ⊥,
23l l ⊥13
//l l ⇒ B ．
12l l ⊥,
23//l l ⇒13
l l ⊥
C ．
233////l l l ⇒
1l ,2l ,3
l 共面 D ．1l ,2l ,3l
共点
,,共面
10．已知命题p ：R x ∀∈，23x x <；命题q ：R x ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．p q ⌝∧
C ．p q ∧⌝
D ．p q ⌝∧⌝
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.
11．已知函数2
0()2
(1)10
a x f x x f x x ⎧+≤⎪
=+⎨⎪-+>⎩，，，若对任意的),3(+∞-∈a ， 关于x 的方程kx x f =)(都有3个不同的根，则k 等于 3 12．某年级有
名学生, 现采用系统抽样方法, 抽取
人做问卷调查,
将
人按
随机编号, 则抽取的
人中,编号落入区间
的人数为 12 ．
13．某程序框图如图所示，若输出的161a =，则输入的N = 5 ．
14．已知公差不为0的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且 12n n n S a a +=，则1a = 0或1 ． 15．如图，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE ．若M 为线段A 1C
的中点，则在△ADE ①②④ ． ① |BM |是定值； ② 点M 在圆上运动；
③ 一定存在某个位置，使DE ⊥A 1C
；
A B
C D
④ 一定存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE ．
三、解答题：本题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）
在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c a >.已知2=⋅BC BA ，cos B ＝1
3
，b ＝3.求：
(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．
解析：(1)由BA →·BC →
＝2得c ·a ·cos B ＝2，又cos B ＝13
，所以ac ＝6.
由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2
＋2ac cos B ，
又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13. …………3分 解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2. …………6分
(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223
.
由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23·2 23＝ 4 2
9
. …………9分
因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，
因此cos C ＝1－sin 2
C ＝1－⎝⎛⎭⎫4 292
＝79
.
所以cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋2 23×4 29＝23
27
. …………12分
17．（本小题满分12分）
某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少%75的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区” ．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区.
（Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；
（Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区A ，调查显示其“低碳族”的比例为
2
1
，数据如图1所示，经过 同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区A 是否达到
“低碳
小区”的标
准？
解析：（Ⅰ）设三个“非低碳小区”为C B A ,,，两个“低碳小区”为,,m n 用),(y x 表示选定的两个小区，{},,,,,x y A B C m n ∈，
则从5个小区中任选两个小区,所有可能的结果有10个，它们是(,)A B ，(,)A C ，(,)A m ，
(,)A n ,(,)B C ,(,)B m ,(,)B n ,(,)C m ,(,)C n ,(,)m n . …………2分
用D 表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则D 中的结果有6个， 它们是：(,)A m ,(,)A n ,(,)B m ,(,)B n ,(,)C m ,(,)C n . …………4分
故所求概率为63
()105
P D =
=. …………6分 （II ）由图1可知月碳排放量不超过300千克的成为“低碳族”. …………8分
由图2可知，三个月后的低碳族的比例为0.070.230.460.760.75++=>，…………10分 所以三个月后小区A 达到了“低碳小区”标准. …………12分 18．（本小题满分12分）
如图，已知⊙O 的直径AB=3，点C 为⊙O 上异于A ，B 的一点，VC ⊥平面ABC ，且VC=2， 点M 为线段VB 的中点。

（I ）求证：BC ⊥平面VAC ；
（Ⅱ）若AC=l ，求直线A M 与平面VAC 所成角的大小．
解析：（I ）证明：因为VC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以VC ⊥BC ， …………3分
又因为点C 为圆O 上一点，且AB 为直径，所以AC ⊥BC ，
又因为VC ，AC ⊂平面VAC ，VC ∩AC=C ，所以BC ⊥平面VAC. …………6分
（百千克/户
图2
（百千克/户
图1
（Ⅱ）如图，
取VC 的中点N ，连接MN ，AN ，则MN ∥BC ， 由（I ）得BC ⊥平面VAC ，所以MN ⊥平面VAC ，
则∠MAN 为直线AM 与平面VAC 所成的角. …………9分
因为
MN=
12BC AN ===== 所以tan ∠MAN=1，则∠MAN=4π，所以直线A M 与平面VAC 所成角的大小为4
π
. …………12分
19．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的各项均为正数，133,7a a ==，其前n 项和为n S ，
{}n b 为等比数列, 12b =，且2232,b S =．
(Ⅰ)求n a 与n b ； （Ⅱ）若
212
11
1
1n
x ax S S S +++
≤++对任意正整数n 和任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：（1）设{}n a 的公差为d ，且0;d >{}n b 的公比为q
13223(1),2327
(6)23222
n n n a n d b q a d S b d q d q -∴=+-=∴=+==+⋅==⎧∴⎨=⎩
21,2n
n n a n b ∴=+= …………6分
（2）35(21)(2)n S n n n =++++=+ ，
∴
12
1111111
132435
(2)
n S S S n n +++
=++++⨯⨯⨯+
11111111
(1)232435
2
n n =-+-+-++
-+ 1111
(1)2212
n n =+--++323342(1)(2)4n n n +=-
<++，…………9分 问题等价于2
()1f x x ax =++的最小值大于或等于
3
4
， 即23
144
a -
≥，即21a ≤，解得11a -≤≤ …………13分 20．（本小题满分13分）设函数()|||1|f x x a x =-+-． （1）当2a =时，解不等式()3f x ≤；
（2）若存在实数x 使得()3f x ≤成立，求实数a 的取值范围
21. 设命题p :实数x 满足22
430x ax a -+<,其中0a >,命题q :实数x 满足2
260,280.
x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩.
(1)若
1,a =且p q ∧为真,求实数x 的取值范围;
(2)若p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围。