(整理)2.3函数的连续性.

§2.3函数的连续性
§2.3.1函数()y f x =在0x
处的连续性
教学重点 函数连续的概念；
教学难点
分析函数在某一点处的连续性
课时安排
2课时
教学过程
［新课导入］
连续性是自然界中各种物态连续变化的数学体现，这方面实例可以举出很多，如水的连续流动、身高的连续增长、气温的变化 、动植物的生长等等随着时间的变化而连续变化；几何学上，一笔画出的的曲线也是连续的。

所有这些连续变化的现象的抽象就产生连续函数的概念。

本节讨论连续函数的有关问题。

可以先告诉大家，具有连续性的函数（或连续函数）的图形是一条不断裂的曲线（直线也看成是特殊的曲线）
函数的连续包括在一点连续和在区间连续两种情况。

今天我们讲第一种情况—函数()y f x =在0x 处的连续性。

［新课教学］
一. 函数()y f x =在0x 处的连续性定义
下面我们来看几个图，并观察以下，它在0x x =处的连续情况：
那么满足什么样的条件我们说函数连续呢？
一般地，函数)(x f 在点0x x =处连续必须满足下面三个条件：
(1) 函数f(x)在点x=x0处有定义；
(2) 函数()y f x =点0x x =的极限0
lim ()x x f x →存在； (3) 0
0lim ()()x x f x f x →= 则称()y f x =在点0x 处连续，点0x 叫做函数()y f x =的连续点。

我们再来观察几个图，说出函数在x=a 处是否连续：略
二 。

例题讲解
例1 2
1()(1)f x x =
-，在1x =处的图像是断裂的。

无定义，1lim ()x f x →也不存在。

例2 ()1112,2x x x f x x ≤>+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
，，
在1x =处的图像是连续的吗? 答案是否定的。

有定义， 0
0001111lim ()lim (1)2,5lim ()lim (2)22
x x x x f x x x f x --++→→→→=+==+=
因此1
lim ()x f x →不存在。

例3 21,1
11,1x x x x ⎧-≠⎪-⎨⎪=⎩
在1x =处的图像是断裂的；有定义，并且
2111
1lim ()lim 2lim ()(1)1x x x x f x f x f x →→→-==≠-但 例 4 3
()f x x =，在1x =处的图像是连续的；有定义，
并且3
111lim ()lim 1lim ()(1)x x x f x x f x f →→→===并且
三 . 课堂练习
1.证明函数()21f x x =+在点2x =处连续。

证：因为（1）函数()f x 在2x =处有定义：
（2）2
lim 215x x →+= 所以函数()21f x x =+在点2x =处连续。

2. 证明函数1sin ,00x x o x x ⎧≠⎪⎨⎪=⎩在x=0处连续。

证（1）函数()f x 在0x =处及左、右近旁有定义；
（2）01lim sin 0x x x
→= （3）0
lim ()0,x f x →= 所以函数()f x 在点x o =处连续。

3. 讨论函数x
y 1=在点x o =处的连续性 解：因为函数x y 1=在点x o =处没有定义，所以x
y 1=在点x o =处不连续 所以：函数()f x x =在点x o =左右连续，由定理1此函数在点x o =处连续。

4. 设
，分析点1-=x 处连续性。

解：（1）函数 ()f x 在 1-=x 处有定义。

34lim ,32lim )2(121=+=++--→-→x x x x ，所以3)(lim 1
=-→x f x （3） 3)(lim )1(1
==--→x f f x 所以函数()f x 在点1-=x 处连续。

四 . 作业
⎩⎨⎧->+-≤+=)1(4)1(2)( 2x x x x x f
P30 习题 2-3 1、2、3
()1112,2x x x f x x ≤>+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，，
在1x =处的图像是连续的吗?
答案是否定的。

有定义，
000011
11lim ()lim (1)2,5lim ()lim (2)22
x x x x f x x x f x --++→→→→=+==+=
因此1
lim ()x f x →不存在。

（2）21,1
11,1x x x x ⎧-≠⎪-⎨⎪=⎩
在1x =处的图像是断裂的；有定义，如图2-6（b ）并且
2111
1lim ()lim 2lim ()(1)1x x x x f x f x f x →→→-==≠-但 （3）3
()f x x =，在1x =处的图像是连续的；有定义，如图2-7（c ）
并且3
111lim ()lim 1lim ()(1)x x x f x x f x f →→→===并且
（4）2
1()(1)f x x =-，在1x =处的图像是断裂的。

无定义，1lim ()x f x →也不存在如图2-8（d ）
小结一下，以上函数的图形分别属于下列四种情形：
（1） 函数在1x =处没有定义，函数在1x =处不连续，如第4个函数；
（2） 函数在1x =处有定义，且1
lim ()x f x →的左、右极限存在，但两者不相等，即函数在1x =处极限不存在，函数在1x =处不连续，如第1个函数；
（3） 函数在1x =处有定义，且函数在1x =处极限存在，但1
lim ()(1)x f x f →≠，函数在1x =处不连续，如第2个函数；
（4）函数在1x =处有定义，并且在1x =处1lim ()x f x →存在，而且1
lim ()(1)x f x f →=，函数在1x =处连续，如第3个函数；
由此引出函数在一点连续的定义：
定义1 函数()y f x =点0x x =处，如果满足
（1） 函数()y f x =点0x x =处及其左、右近旁有定义；
（2） 函数()y f x =点0x x =的极限0
lim ()x x f x →存在； （3） 0
0lim ()()x x f x f x →= 则称()y f x =在点0x 处连续，点0x 叫做函数()y f x =的连续点。

例1证明函数()21f x x =+在点2x =处连续
证：因为（1）函数()f x 在2x =处有定义：
（2）2
lim 215x x →+=
所以函数()21f x x =+在点2x =处连续
例2证明函数1sin ,00x x o x x ⎧≠⎪⎨⎪=⎩
证（1）函数()f x 在0x =处及左、右近旁有定义；
（2）01lim sin 0x x x
→= （3）0
lim ()0,x f x →=
所以函数()f x 在点x o =处连续
定理1函数()f x 在0x 处连续的充分必要条件是：函数在0x 处左右连续。

例3 讨论函数()f x x =在点x o =的连续性
解：0000lim lim 0(0)lim lim()0(0)x x x x x x f x x f +
+--→→→→====-== 所以：函数()f x x =在点x o =左右连续，由定理1此函数在点x o =处连续。

2．函数()y f x =在区间 [],a b 内的连续性
定义2 如果函数()f x 在区间[],a b 内任意点都连续，则称()f x 在区间[],a b 内连续，区间[],a b 称为函数()f x 的连续区间。

连续函数的图形是一条不断裂的曲线
例4证明幂函数()()n f x x n Z +=∈是(,)-∞+∞内的连续性。

证 因为函数()n f x x =的定义域为(,)-∞+∞，设0x 为(,)-∞+∞内任意一点。

于是000lim ()(lim ),n n x x x x f x x x →→==且00(),n f x x =因此0
0lim ()(),x x f x f x →=这就证明()f x 在0x 处连续。

由0x 的任意性知幂函数()()n f x x n Z +=∈是(,)-∞+∞内的连续函数。