高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三下学期期末练习二模数 学文科

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三下学期期末练习（二模）数 学（文科）
本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1. 已知全集为R ，集合{|1}A x x =≥，那么集合
A R
等于
A.{|1}x x >
B.{|1}x x >-
C.{|1}x x <
D.{|1}x x <- 2. 已知命题p: 210x x x ∃∈+-<R ，,则p ⌝为 A. 210x x x ∃∈+->R ， B.210x x x ∀∈+-≥R ， C. 210x x x ∃∉+-≥R ， D.210x x x ∀∉+->R ，
3. 下列函数中，既是偶函数又在区间0+∞（，）上单调递增的是
A.3y x =
B.y =
cos y x = D.2x y =
4．设2log 3a =，4log 3b =，sin90c ︒=，则 A.a c b << B.b c a << C.c a b << D.c b a <<
5.下面给出的四个点中,位于10,
10x y x y ++>⎧⎨-+<⎩
表示的平面区域内,且到直线10x y -+=的距离
为
2
A.(1,1)-
B.(2,1)-
C.(0,3)
D.(1,1)
6.已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示， 若AD AB AC μλ+=，则=+μλ A. 2 B. 2- C. 3 D. 3-
7. 如图所示，为了测量某湖泊两侧A B ,间的距离，李宁同学首先选定了与A B ,不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案：（ABC ∆的角
,,A B C 所对的边分别记为,,a b c ）：
①测量,,A C b ②测量,,a b C ③测量,,A B a 则一定能确定A B ,间距离的所有方案的序号为
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
8. 已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点，点
,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则与平面ABCD 垂直的直线MN 有
A.0条
B.1条
C.2条
D.无数条
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 复数2+i 的模等于______.
10. 若抛物线22y px =(0)p >的准线经过双曲线221x y -=的左顶
点，则p =_____.
11. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为_______. 12. 下列函数中：
①sin2y x =-；②cos2y x =；③3sin(2)4
y x π
=+
，
其图象仅通过向左（或向右）平移就能与函数()sin2f x x =的图象重合的是_____.（填上符合要求的函数对应的序号）
13. 已知实数0a >且1a ≠，函数, 3,
(), 3.
x a x f x ax b x ⎧<=⎨+≥⎩
若数列{}n a 满足()n a f n =*()n ∈N ，且{}n a 是等差数列，则___,____.a b == 14. 农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：
根据上表所提供信息，第_____号区域的总产量最大，该区域种植密度为_____株/2
m .
4.5
2.42单株产量（千克）
区域
代号
1
D
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）
已知函数2()
23sin cos 2sin f x x x x a =-+,a ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）若函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围.
16.（本小题满分13分）
下图为某地区1月到1月鲜蔬价格指数的变化情况:
记Δx =本月价格指数-上月价格指数. 规定：当Δ0x >时，称本月价格指数环比增长； 当0x ∆<时，称本月价格指数环比下降；当0x ∆=时，称本月价格指数环比持平. (Ⅰ) 比较上半年与下半年鲜蔬价格指数月平均值的大小（不要求计算过程）；
(Ⅱ) 直接写出从2月到1月的12个月中价格指数环比下降的月份.若从这12个月中随机选
择连续的两个月进行观察，求所选两个月的价格指数都环比下降的概率; (Ⅲ) 由图判断从哪个月开始连续三个月的价格指数方差最大. (结论不要求证明)
17.（本小题满分14分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，
F
E
B 1
C 1
A 1
B
A
C
1,AB AC AC AA ⊥=，E 、F 分别是棱1BC CC 、的中点.
（Ⅰ）求证：AB ⊥平面AA1 C1C ；
（Ⅱ）若线段AC 上的点D 满足平面DEF //平面1ABC ，试确定点D 的位置，并说明理由；
（Ⅲ）证明：EF ⊥A1C.
18.（本小题满分13分）
已知函数32
1()43
f x x ax x b =+++，其中,a b ∈R 且0a ≠.
（Ⅰ）求证：函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线与()f x 总有两个不同的公共点； （Ⅱ）若函数()f x 在区间(1,1)-上有且仅有一个极值点，求实数a 的取值范围.
19.（本小题满分14分）
已知椭圆G 短轴端点分别为(0,1),(0,1)A B -. （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；
（Ⅱ）若C ,D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线BC 与x 轴交于点M ，判断
以线段MD 为直径的圆是否过点A ，并说明理由.
20.（本小题满分13分）
给定正整数3k ≥，若项数为k 的数列{}n a 满足：对任意的1,2,
,i k =，均有
k
i a k S ≤
-1
（其中12k k S a a a =+++），则称数列{}n a 为“Γ数列”． （Ⅰ）判断数列1,3,5,2,4-和23
23333,,444是否是“Γ数列”，并说明理由；
（Ⅱ）若{}n a 为“Γ数列”，求证：0i a ≥对1,2,
,i k =恒成立；
（Ⅲ）设{}n b 是公差为d 的无穷项等差数列，若对任意的正整数m ≥3，12,,
,m b b b
均构成“Γ数列”，求{}n b 的公差d ．
1解析：根据集合的基本运算性质答案C.
2解析：存在命题的否命题是：存在变为任意，条件不变，结论变为对立命题。

3解析：A 是奇函数；B 非奇非偶；C 是偶函数；单在区间上不上一直递增的；D 是偶函数
在区间上是单调递增的。

4解析：根据对数函数的性质a>1;0<b<1;c=1;所以答案B.
5解析：本题可以通过选项带入求解B,D 不在平面区域；C （0,3）到直线的距离不等于2
所以答案为A 。

6解析：以A 为坐标原点，(1,2),(1,0),(2,2)AB AD AC ===-，
(2,2)(,2)2λμλλμ-=+∴+=，所以答案A.
7解析：本题考察正余弦定理的实际应用，①③知道三个角，一个边，可以应用正弦定理
求解A,B 间的距离，②给出的条件可以运用余弦定理求解。

所以三个条件均可以求解AB 间的距离。

8解析：求解与平面ABCD 平行的平面，因为直线11,D E C F 是两条异面直线，所以相当与
做面11CDD C 的平行面，当把面11CDD C 平移导面11ABB A 时，一定会与直线
11,D E C F 相交与两点，所以与平面ABCD 垂直的直线MN 有一条。

9.解析：2i +== 10.解析：抛物线的准线方程2p x =-
，双曲线的左顶点（1,0）122
p
p -=-∴= 11.解析：第一次循环S=0，n=1；第二次循环S=1，n=2；第三次循环S=3，n=5；第四次循
环S=8，n=26；n>10，输出结果S=8
12.解析：sin 2y x =-向右平移
2π个单位得到sin 2y x =；cos 2y x =向有平移4
π
个单位得到sin 2y x =；3sin(2)4y x π=+要通过x 不变，y 伸长3倍函数再向右平移
8
π
平移伸缩得到sin 2y x =；所以满足条件的是①②。

13.解析：数列是等差数列，
,3
(),3
n a n f n an b n ⎧<=⎨+≥⎩;
21234,,3,4a a a a a a b a a b ===+=+；根
据等差数列的中项公式
22132;23;a a a a a a b =+=++①
23242;64a a a a b a a b =++=++；②解方
程①②得b=0.a=2.
14.解析：根据题意，种植密度为一次函数，函数经过（1，2.4），（8, 4.5）所以函数的解析式
114.5 2.4
2.4(1),0.3 2.181
y x y x --=
-=+-；单株产量也满足一次函数，函数经
过（1, 1.28），（8,0.72）所以函数的解析式
220.72 1.28
1.28(1),0.08 1.3681
y x y x --=
-=-+-；所以区域总产量为种植密度
乘以单株产量
2120.30.08(7)(17)0.30.08(10119)y y y x x x x =⨯=-⨯+-=-⨯--；所以当
x=5时，函数有最大值；所以第五号区域的总产量最大；该区域种植密度x=5带入1y ，所以种植密度为3.6. 北京市海淀区高三下学期期末练习（二模）
数 学 （文科）参考答案 .5
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1.C 2.B
3.D
4.B
5.A
6.A
7.D
8.B
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
，0 14.5，3.6 {第13，14题的第一空3分，第二空2分} 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.
15.解：
（Ⅰ）()2cos21f x x x a =++- 4分
1
2cos2)12
x x a =++- π
2sin(2)16x a =++-6分
∴周期
2ππ.
2
T ==7分
（Ⅱ）令()0
f x =，即
π
2sin(2)1=0
6
x a ++-， 8分
则
π
=12sin(2)
6
a x -+， 9分
因为
π
1sin(2)1
6
x -≤+≤， 11分
所以
π
112sin(2)3
6
x -≤-+≤， 12分
所以，若
()f x 有零点，则实数a 的取值范围是
[1,3]-. 13分
16.解：
（Ⅰ）上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值
.4分 （Ⅱ）从2月到1月的12个月中价格指数环比下降的月份有
4月、5月、6月、9月、10月.6分
设“所选两个月的价格指数均环比下降”为事件
A ， 7分 在这12个月份中任取连续两个月共有11种不同的取法，
8分 其中事件A 有（4月，5月），（5月，6月），（9月，10月），共
3种情况. 9分
∴3
().
11
P A =10分
（Ⅲ）从11月开始，11月,12月,1月这连续3个月的价格指数方差最大.
13分
17.解： （I ）
1A A ⊥底面ABC ，
1A A ∴⊥AB ， 2分
AB AC ⊥，1A A AC A =，
AB ∴⊥面11A ACC . 4分 （II ）面DEF //面1ABC ，面
ABC 面DEF DE =，面
ABC 面
1ABC AB =，
AB ∴//DE ， 7分 在ABC ∆中E 是棱BC 的中点， D ∴是线段AC 的中点. 8分 （III ）三棱柱111ABC A B C -中1A A AC = ∴侧面11A ACC 是菱形，
1
1AC AC ∴⊥， 9分
1
由（1）可得1
AB AC ⊥， 1AB AC A =， 1AC ∴⊥面1ABC ， 11分 1
AC ∴⊥1BC . 12分 又,E F 分别为棱1,BC CC 的中点， EF ∴//1BC ， 13分 1EF AC ∴⊥. 14分 18. 解：
（Ⅰ）由已知可得2'()24f x x ax =++. 1分
'(0)4f ∴=， 2分 又(0)f b =
()f x ∴在0x =处的切线方程为4y x b =+. 4分
令321
443
x ax x b x b +++=+，整理得2(3)0x a x +=. 0x ∴=或3x a =-， 5分 0a ≠30a ∴-≠， 6分
()f x ∴与切线有两个不同的公共点. 7分 （Ⅱ）()f x 在(1,1)-上有且仅有一个极值点，
∴2'()24f x x ax =++在(1,1)-上有且仅有一个异号零点， 9分
由二次函数图象性质可得'(1)'(1)0f f -<， 10分
即(52)(52)0a a -+<，解得52a >
或5
2a <-， 12分 综上，a 的取值范围是55
(,)(,)22
-∞-+∞. 13分
19.解:
（Ⅰ）由已知可设椭圆G 的方程为：2
221(1)x y a a
+=> 1分
由e =，可得22
2112a e a -==，3分
解得22a =, 4分
所以椭圆的标准方程为2
212
x y +=. 5分
（Ⅱ）法一：
设00(,),C x y 则000(,),0D x y x -≠ 6分 因为(0,1),(0,1)A B -， 所以直线BC 的方程为00
1
1y y x x +=
-， 7分 令0y =，得001M x x y =
+，所以00(,0)1
x
M y +. 8分
所以0
000(
,1),(,1),1
x AM AD x y y =-=--+ 9分 所以2
00011
x AM AD y y -⋅=
-++， 10分 又因为22
00121
x y +=，代入得200002(1)111y AM AD y y y -⋅=
+-=-+ 11分 因为011y -<<，所以0AM AD ⋅≠. 12分
所以90MAN ∠≠， 13分
所以点A 不在以线段MN 为直径的圆上. 14分 法二：设直线BC 的方程为1y kx =-，则1(,0)M k
. 6分
由22220,1,
x y y kx ⎧+-=⎨=-⎩化简得到222(1)20x kx +--=， 所以22(12)40k x kx +-=，所以12240,21
k
x x k ==
+， 8分
所以22222
421
112121
k k y kx k k k -=-=-=++， 所以222421(,)2121k k C k k -++，所以222421
(,)2121
k k D k k --++ 9分
所以2221421
(,1),(,1),2121
k k AM AD k k k --=-=-++ 10分
所以22224212
10212121
k AM AD k k k ---⋅=-+=≠+++， 12分
所以90MAN ∠≠， 13分
所以点A 不在以线段MN 为直径的圆上. 14分 20.解：
（Ⅰ）①因为513
5514S =<-，数列1,3,5,2,4-不是“Γ数列”，2分
②因为31113311284S =>-，又3
4
是数列2323333,,444中的最大项
所以数列23
23333,,444
是“Γ数列”. 4分
（Ⅱ）反证法证明：
假设存在某项i a <0，则
12111i i k k k i k a a a a a a S a S -+-+++++++=->.
设12111max{,,,,,
,,}j i i k k a a a a a a a -+-=，则
12111k i i i k k j S a a a a a a a k a -+--=+++++++≤(-1)，
所以(1)j k k a S ->，即1
k
j S a k >
-， 这与“Γ数列”定义矛盾，所以原结论正确． 8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）问可知10,0b d ≥≥．
①当0d =时，121
m m m S S
b b b m m ====
<-，符合题设；9分 ②当0d >时，12m b b b <<
<
由“Γ数列”的定义可知1
m m S b m ≤
-，即111
(1)[(1)](1)2m b m d mb m m d -+-≤+-
整理得1(1)(2)2m m d b --≤（*）
显然当123m b =+时，上述不等式（*）就不成立
所以0d >时，对任意正整数3m ≥，1(1)(2)2m m d b --≤不可能都成立. 综上讨论可知{}n b 的公差0d =. 13分
高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =
（A ）{1}（B ）{1
2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是
（A ）(31)
-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，
（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m=
（A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8
（4）圆
2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A ）24 （B ）18
（C ）12 （D ）9
（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π
（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12
个单位长度，则评议后图象的对称轴为 （A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12
(k ∈Z) （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，
若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=
（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34
（9）若cos(π4–α)=35
，则sin 2α= （A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725
（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有
m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
π的近似值为
（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m
n （11）已知F1，F2是双曲线E 22
221x y a b
-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=
,则E 的离心率为
（A
B ）32
（C
D ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x
+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1
()m
i i i x y =+=∑
（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513
，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β.
（2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.
（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.
其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）
（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。

（16）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+2）的切线，则b=。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分12分）
n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7=128.n a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，.
（I ）求111101b b b ，，；
（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.
18.（本题满分12分）
某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下： 上年度出险次数
1 2 3 4 ≥5 保费
0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 一年内出险次数
1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05
（II ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（III ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
19.（本小题满分12分） 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=54，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '=
（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ；
（II ）求二面角B D A C '--的正弦值.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆E:22
13
x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.
（I ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积；
（II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.
（21）（本小题满分12分）
(I)讨论函数x x 2f (x)x 2
-=+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax a g x x
-->（）有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修41：集合证明选讲
如图，在正方形ABCD ，E,G 分别在边DA,DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F.
(I) 证明：B,C,E,F 四点共圆；
(II)若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y2=25.
（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（II ）直线l 的参数方程是（t 为参数）,l 与C 交于A 、B 两点，∣AB ∣=，求l 的斜率。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)= ∣x ∣+∣x+∣，M 为不等式f(x)＜2的解集.
（I ）求M ；
（II ）证明：当a,b ∈M 时，∣a+b ∣＜∣1+ab ∣。