新教材高中数学第二章等式与不等式 不等式 均值不等式及其应用第1课时学案含解析新人教B版必修1

2.2.4 均值不等式及其应用
第1课时
学习目标
1.学会推导并掌握均值不等式.
2.能够简单应用定理求最值.
自主预习
1.给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值，数称为a，b的几何平均值.
≥√ab，当且仅当时，等号成立.
2.如果a，b都是正数，那么a+b
2
3.几何意义:所有周长一定的矩形中，的面积最大.
课堂探究
问题探究一
(1)假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小;
(2)如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据(1)说出结论的几何意义.
a 1 2
b 1 4
a+b
1 3
2
√ab 1 2√2
问题探究二
均值定理的几何解释:
作线段AD=a，延长AD至点B，使DB=b(a，b>0)以AB为直径作半圆O，过D点作CD⊥AB 于D，交半圆于点C，连接AC，BC，OC.当点D在线段AB(端点除外)上运动时，试探讨OC与CD 的大小关系.
典型例题:
的最小值，并说明当x为何值时y取得最小值.
例1已知x>0，求y=x+1
x
变式训练1
已知x>0，y>0，xy=24，求4x+6y的最小值，并说明此时x，y的值.
要点归纳
在利用均值不等式求最值时要注意三点:
一是各项均为正;
二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值;三是考虑等号成立的条件是否具备.
例2已知ab>0，求证:b
a +a
b
≥2，并推导出等号成立的条件.
变式训练2
已知ab>0，求证:b
3a +3a
b
≥2，并推导出等号成立的条件.
例3已知x∈(-1，3)，求y=(1+x)(3-x)的最大值，以及y取得最大值时x的值.
核心素养专练
1.若0<a<b，则下列不等式一定成立的是()
A.a>a+b
2>√ab>b B.b>√ab>a+b
2
>a
C.b>a+b
2>√ab>a D.b>a>a+b
2
>√ab
2.已知a>0，b>0，则1
a +1
b
+2√ab的最小值是()
A.2
B.2√2
C.4
D.5
3.设b>a>0，且a+b=1，则此四个数1
2
，2ab，a2+b2，b中最大的是() A.b B.a2+b2
C.2ab
D.1
2
4.x∈[0，3]，y=(1+x)(3-x)的最大值是，最小值是.
参考答案
自主预习
1.a+b
2
√ab
2.a=b
3.正方形
课堂探究
典型例题
例1解:因为x>0，所以根据均值不等式有x+1
x ≥2√x·1
x
=2，其中等号成立的条件是当且仅
当x=1
x
，即x2=1，解得x=1或x=-1(舍去)，因此x=1时，y取得最小值2.
变式训练1解:∵x>0，y>0，
∴4x+6y≥2√24×y.
又xy=24，
∴4x+6y≥2√24×24=48.
当且仅当4x=6y时，等号成立.
即当x=6，y=4时，最小值为48.
例2证明:因为ab>0，所以b
a >0，a
b
>0，根据均值不等式得
b a +a
b
≥2√b
a
·a
b
=2.
即b
a +a
b
≥2.
当且仅当b
a =a
b
时，即a2=b2等号成立.因为ab>0，所以等号成立的条件是a=b.
变式训练2证明:因为ab>0，所以b
3a >0，3a
b
>0，根据均值不等式得
b 3a +3a
b
≥2√b
3a
·3a
b
=2.
即b
3a +3a
b
≥2.
当且仅当b
3a =3a
b
时，即9a2=b2等号成立.因为ab>0，所以等号成立的条件是3a=b.
例3解:当x∈(-1，3)时，1+x>0，3-x>0.√(1+x)(3-x)≤1+x+3-x
2
=2.从而(1+x)(3-x)≤4，即y≤4.当且仅当1+x=3-x，即x=1时，等号成立.从而x=1时，y取得最大值4.
核心素养专练
3.A
4.40
学习目标
1.能够掌握均值不等式的内容以及证明过程.
2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.
自主预习
知识点一算术平均值与几何平均值
对任意两个a，b，数叫做a，b的算术平均值，数叫做a，b的几何平均值，两个正实数的算术平均值它的几何平均值.
知识点二均值定理
1.均值定理
如果，那么a+b
√ab.当且仅当a=b时，等号成立，以上结论通常称
2
为定理，又叫均值不等式.
均值定理可叙述为:两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.
2.均值不等式求最值的条件
(1)x，y必须是.
(2)求积xy的最大值时，应看和x+y是否为;求和x+y的最小值时，应看积xy 是否为.
(3)等号成立的条件是否满足.
3.用均值不等式求最值
(1)设x，y为正实数，若x+y=s(和s为定值)，则当且仅当时，积xy有最
值.
(2)设x，y为正实数，若xy=p(积p为定值)，则当且仅当时，和x+y有最
值.
课堂探究
探究均值不等式
国际数学家大会是由国际数学联盟(IMU)主办，首届大会于1897年在瑞士苏黎世举行，1900年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议.第24届国际数学家大会会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.
问题1四边形ABCD特殊吗?
问题2四边形的面积与四个直角三角形之间有关系吗?
问题3每个直角三角形的两直角边分别用a，b表示，你能用ab来表示四边形与直角三角形的面积吗?
问题4中间的小正方形可以消失吗?
问题5此时a2+b2与2ab的关系怎么样?
问题6a2+b2≥2ab的关系永远成立吗?你能用代数法证明吗?
问题7特别地，当√a，√b代替a，b时，上述表达式变为什么?
均值定理如果a，b∈R+，那么，当且仅当a=b时，等号成立. 均值定理可以表述为:.
均值不等式的使用条件:
尝试分别用代数法和几何法证明均值定理.
代数法:
几何法:
例1已知x，y∈R+，求证:y
x +x
y
≥2，并推导出不等式中等号成立的条件.
变式训练1已知a，b∈R+，求证:(a+1
a )(b+1
b
)≥4.
例2(1)已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短?最短周长是多少?
(2)已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大?最大面积是多少?
变式训练2已知x∈(-1，3)，求y=(1+x)(3-x)的最大值，以及y取最大值时x的值.
核心素养专练
1.已知a，b，c为不全相等的正数，求证:a+b+c>√ab+√bc+√ac.
2.求函数y=2-4
x
-x(x>0)的最大值及相应的x.
课后作业课本第76页练习A.
参考答案
自主预习
知识点一正实数，a+b
2
，√ab，大于或等于
知识点二1.a，b∈R+，≥，均值
2.(1)正实数(2)定值，定值
3.(1)x=y最大值(2)x=y最小值
课堂探究
a+b
2
≥√ab，两个正实数的算数平均数大于等于它们的几何平均数.
例1证明:∵x，y∈R+，∴x
y >0，y
x
>0.
∴y
x +x
y
≥2√y
x
·x
y
=2，即y
x
+x
y
≥2，
当且仅当x=y时等号成立.
变式训练1证明:∵a，b∈R+，∴1
a ，1
b
∈R+.
∴a+1
a ≥2√a·1
a
=2，b+1
b
≥2√b·1
b
=2.
∴(a+1
a )(b+1
b
)≥4.
当且仅当a=1
a ，b=1
b
，即a=b=1时等号成立.
例2 解:(1)设矩形的长为x ，则宽为100x
，则矩形的周长l=2(x +
100x
)≥2×2√x ·
100x
=40，
当且仅当x=
100x
，即x=10时等号成立，因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最
短周长为40.
(2) 设矩形的长为x ，则宽为
36-2x 2
=18-x ，则矩形的面积S=x (18-x )≤(
x+18-x 2
)2=81，当且仅
当x=18-x ，即x=9时等号成立，因此，当矩形的长宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81.
变式训练2 解:因为x ∈(-1，3)，所以1+x>0，3-x>0. 所以y=(1+x )(3-x )≤[
(1+x)+(3-x)2
]2
=4，
当且仅当1+x=3-x ，即x=1时等号成立. 因此y 的最大值是4，此时x 是1.
核心素养专练
1.解:∵a ，b ，c 为不全相同的正数，
∴a+b>2√ab ，b+c>2√bc ，a+c>2√ac ， ∴a+b+b+c+a+c>2√ab +2√bc +2√ac . ∴a+b+c>√ab +√bc +√ac .
2.解:∵x>0，∴y=2-4
x
-x=2-(4
x
+x)≤2-2√4
x
·x =-2.当且仅当4
x
=x ，即x=2时等号成立.
因此y 的最大值是-2，此时x=2. 课后作业
略。