【大学物理】chp6-3
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第三讲 电位移 有介质时的高斯定理
※ 有介质时的高斯定理
加入电介质(εr )
E dS
1
S
0
i
qi
1 0
( 0
)S
E dS
0S
1
S
0 r 0 r
Q0i
i
'
(1
1
r
)
0
S 0 r E dS Q0i i
自由电荷的代数和
2/12
定义：电位移矢量D
令：D
0
r
E
E
（电场中充满均匀各向 同性电介质的情况下）
电容率（介电常量）——决定于电介质种类的常数
S 0 r E dS Q0i i
自由电荷的代数和
3/12
有介质时的高斯定理
电介质中通过任一闭
D dS S
D 4r 2 q0i Q
i
D
Q
4 r
2
,
E
Q
40r 2
R1
R2
CBA Q
r
D 0r E E
D 4r 2 q0i
i
6/12
※ 电位移线
电位移D线从正自由电荷 发出，终止于负的自由电荷， 与E线不同，D线在两介质界 面上连续，而E线不连续。
自由电荷的代数和
4/12
例1 如图金属球半径为R1 、带电量+Q；均匀、各向同性电介
质层外半径R2 、相对介电常数 r ；
求：
D、E
的分布
R1
R2
解 ：对称性分析确定：
CBA Q
E、D 沿矢径方向
由高斯定理：
D dS
q0i , D 0r E E
10/12
例3 两金属板间为真空，电荷面密度为 0 , 电压 U0 300V
保持电量不变，一半空间充以的电
S
S
介质 r 5 ，板间电压变为多少？ 1
2
解: 设金属板面积为S 间距为 d 由电荷守恒定律：
D1
E1
1
D2 E2
2
1
S 2
2
S 2
0S
1 2 2 0
D1
E1
D2 E2
U Ed,
U1 E1d ,
U0
E0d
0 0
d
1
2
E1 E2
U2 E2d
sD1 dS D1S 1S,
同理可得：
D1 1, D2 2 ,
E1
D1
0 r
1 0 r
E2
D2
0
2 0
2
1 r
EA(d d1) EBd1
0 (d d1)
d1
3
2
B -Q
d1
d
9/12
例3 两金属板间为真空，电荷面密度为 0 , 电压 U0 300V
保持电量不变，一半空间充以的电
S
S
介质 r 5 ，板间电压变为多少？ 1
2
解: 设金属板面积为S 间距为 d
E
E1
E2
2 0
2 0
0 1 r
1 3 E0
U
Ed
1 3
E0d
100V
1
2 r 1 r
0
5 3
0
2
2
1r
0
1 3
0
2
1 r
11/12
同学们再见！
Q0i
i
合曲面的电位移通量等于 该曲面所包围的自由电荷
的代数和。
D 0rE E
在真空中：r 1 0 D 0 E
D dS S
S 0E dS
Q0i
i
E dS
1
S
0
Q0i
i
S 0 r E dS Q0i i
D
Q
4r 2
,
E
Q
4 r 2
++ ++
++
E线
D线
D， E
0
7/12
例2 平板电容器极板间距d 、面积S，带
电量±Q，中间充一层厚度为d1、介电常
数为 的均匀介质，
求：电场分布、极间电势差。
解：
D dS qi0 ,
Sபைடு நூலகம்
i
D dS DS
S
13
r
S
i
D dS DdS D dS
D 4r 2 q0i ,
i
5/12
1) r R1
D 4r 2 0 D 0, E 0
2) R1 r R2 D 4r 2 q0i Q i
D
Q 4r
2
,
E
Q 4
r
2
3) r R2
2
A Q
B -Q
d1
d
DS S, D D E
EA 0
EB
8/12
EA 0
EB
2
U12 1 E dl
3 2
1 E dl 3 E dl
1
A Q
3
2
1 EAdl 3 EBdl
※ 有介质时的高斯定理
加入电介质(εr )
E dS
1
S
0
i
qi
1 0
( 0
)S
E dS
0S
1
S
0 r 0 r
Q0i
i
'
(1
1
r
)
0
S 0 r E dS Q0i i
自由电荷的代数和
2/12
定义：电位移矢量D
令：D
0
r
E
E
（电场中充满均匀各向 同性电介质的情况下）
电容率（介电常量）——决定于电介质种类的常数
S 0 r E dS Q0i i
自由电荷的代数和
3/12
有介质时的高斯定理
电介质中通过任一闭
D dS S
D 4r 2 q0i Q
i
D
Q
4 r
2
,
E
Q
40r 2
R1
R2
CBA Q
r
D 0r E E
D 4r 2 q0i
i
6/12
※ 电位移线
电位移D线从正自由电荷 发出，终止于负的自由电荷， 与E线不同，D线在两介质界 面上连续，而E线不连续。
自由电荷的代数和
4/12
例1 如图金属球半径为R1 、带电量+Q；均匀、各向同性电介
质层外半径R2 、相对介电常数 r ；
求：
D、E
的分布
R1
R2
解 ：对称性分析确定：
CBA Q
E、D 沿矢径方向
由高斯定理：
D dS
q0i , D 0r E E
10/12
例3 两金属板间为真空，电荷面密度为 0 , 电压 U0 300V
保持电量不变，一半空间充以的电
S
S
介质 r 5 ，板间电压变为多少？ 1
2
解: 设金属板面积为S 间距为 d 由电荷守恒定律：
D1
E1
1
D2 E2
2
1
S 2
2
S 2
0S
1 2 2 0
D1
E1
D2 E2
U Ed,
U1 E1d ,
U0
E0d
0 0
d
1
2
E1 E2
U2 E2d
sD1 dS D1S 1S,
同理可得：
D1 1, D2 2 ,
E1
D1
0 r
1 0 r
E2
D2
0
2 0
2
1 r
EA(d d1) EBd1
0 (d d1)
d1
3
2
B -Q
d1
d
9/12
例3 两金属板间为真空，电荷面密度为 0 , 电压 U0 300V
保持电量不变，一半空间充以的电
S
S
介质 r 5 ，板间电压变为多少？ 1
2
解: 设金属板面积为S 间距为 d
E
E1
E2
2 0
2 0
0 1 r
1 3 E0
U
Ed
1 3
E0d
100V
1
2 r 1 r
0
5 3
0
2
2
1r
0
1 3
0
2
1 r
11/12
同学们再见！
Q0i
i
合曲面的电位移通量等于 该曲面所包围的自由电荷
的代数和。
D 0rE E
在真空中：r 1 0 D 0 E
D dS S
S 0E dS
Q0i
i
E dS
1
S
0
Q0i
i
S 0 r E dS Q0i i
D
Q
4r 2
,
E
Q
4 r 2
++ ++
++
E线
D线
D， E
0
7/12
例2 平板电容器极板间距d 、面积S，带
电量±Q，中间充一层厚度为d1、介电常
数为 的均匀介质，
求：电场分布、极间电势差。
解：
D dS qi0 ,
Sபைடு நூலகம்
i
D dS DS
S
13
r
S
i
D dS DdS D dS
D 4r 2 q0i ,
i
5/12
1) r R1
D 4r 2 0 D 0, E 0
2) R1 r R2 D 4r 2 q0i Q i
D
Q 4r
2
,
E
Q 4
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2
3) r R2
2
A Q
B -Q
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DS S, D D E
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8/12
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2
U12 1 E dl
3 2
1 E dl 3 E dl
1
A Q
3
2
1 EAdl 3 EBdl