江苏省南京市八年级上学期期末学业水平调研数学卷(含答案)

江苏省南京市八年级上学期期末学业水平调研数学卷（含答案）
一、选择题 1．若分式242
x x -+的值为0，则x 的值为（ ） A ．-2
B ．0
C ．2
D ．±2 2．下列各组数不是勾股数的是（ ） A ．3，4，5
B ．6，8，10
C ．4，6，8
D ．5，12，13 3．下列条件中，不能判断△ABC 是直角三角形的是（ ） A ．a ：b ：c ＝3：4：5
B ．∠A ：∠B ：∠
C ＝3：4：5 C ．∠A +∠B ＝∠C
D ．a ：b ：c ＝1：2：3
4．如图，动点P 从点A 出发，按顺时针方向绕半圆O 匀速运动到点B ，再以相同的速度沿直径BA 回到点A 停止，线段OP 的长度d 与运动时间t 的函数图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．下列四组线段a 、b 、c ，能组成直角三角形的是（ ）
A ．4a =，5b =，6c =
B ．3a =，4b =，5c =
C ．2a =，3b =，4c =
D ．1a =，2b =3c = 6．在－
227，－π，0，3.14， 0.1010010001，－313中，无理数的个数有 ( ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 7．若3n +3n +3n ＝
19，则n ＝（ ） A ．﹣3
B ．﹣2
C ．﹣1
D ．0 8．到ABC ∆的三顶点距离相等的点是ABC ∆的是( ) A ．三条中线的交点
B ．三条角平分线的交点
C ．三条高线的交点
D ．三条边的垂直平分线的交点 9．某篮球运动员的身高为1.96cm ，用四舍五人法将1.96精确到0.1的近似值为（ ）
A ．2
B ．1.9
C ．2.0
D ．1.90 10．如图，点B 、F 、C 、
E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△DE
F 的是（ ）
A ．A
B =DE B ．A
C =DF C ．∠A =∠
D D ．BF =EC
二、填空题
11．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 中点，若4AB =，则
CD =_______________.
12．关于x 的分式方程211
x a x +=+的解为负数，则a 的取值范围是_________. 13．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上：OA ＝3，OC ＝4，D 为OC 边的中点，E 是OA 边上的一个动点，当△BDE 的周长最小时，E 点坐标为_____．
14．如果等腰三角形的一个外角是80°，那么它的底角的度数为__________.
15．使3x -有意义的x 的取值范围是__________．
16．如图，在四边形ABCD 中，∠A =90°，AD =4，连接BD ，BD ⊥CD ，∠ADB =∠C .若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为 ．
17．如图，在△PAB 中，PA=PB ，D 、E 、F 分别是边PA ，PB ，AB 上的点，且AD=BF ，BE=AF ，若∠DFE=40°，则∠P=____°.
18．当a =_______时,分式2123
a a a +--的值为1. 19．一个等腰三角形的两边分别是4和9，则这个等腰三角形的周长是_________.
20．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF ．若AB=6，则菱形AECF 的面积为__________.
三、解答题
21．解分式方程
(1)
11322x x x -=--- (2)2121
x x x =++- 22．先化简，再求值：35(2)362
x x x x -÷+---，其中53x =- 23．老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用“黑板擦”遮住原代数式的一部分，如图：232222x x x x x +⎫-
÷=⎪-+-⎭ （1）求被“黑板擦”遮住部分的代数式，并将其化简；
（2）原代数式的值能等于1-吗？请说明理由.
24．已知21a -的算术平方根是3，31a b +-的平方根是4±，c 是52a b c +-的平方根.
25．解方程：21133
x x x x =+++． 四、压轴题
26．如图，以直角三角形AOC 的直角顶点O 为原点，以OC ，OA 所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点A （0，a ），C （b ，0a 6b 80--=．
（1）a = ；b = ；直角三角形AOC 的面积为 ．
（2）已知坐标轴上有两动点P ，Q 同时出发，P 点从C 点出发以每秒2个单位长度的速度向点O 匀速移动，Q 点从O 点出发以每秒1个单位长度的速度向点A 匀速移动，点P 到达O 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是（4，3），设运动时间为t 秒．问：是否存
在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠D CO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分
∠GOD．点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，探究∠GOD，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，并证明你的结论(三角形的内角和为180)．
27．问题背景：（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD＋CE．
拓展延伸：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系．（不需要证明）
实际应用：（3）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(－2，0)，点A的坐标为(－6，3)，请直接写出B点的坐标．
28．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分
∠EPK，求∠HPQ的度数．
29．如图，A ，B 是直线y =x +4与坐标轴的交点，直线y =-2x +b 过点B ，与x 轴交于点C ．
（1）求A ，B ，C 三点的坐标；
（2）点D 是折线A —B —C 上一动点．
①当点D 是AB 的中点时，在x 轴上找一点E ，使ED +EB 的和最小，用直尺和圆规画出点E 的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求E 点的坐标．
②是否存在点D ，使△ACD 为直角三角形，若存在，直接写出D 点的坐标；若不存在，请说明理由
30．已知，在平面直角坐标系中，(42,0)A ，(0,42)B ，C 为AB 的中点，P 是线段AB 上一动点，D 是线段OA 上一点，且PO PD =，DE AB ⊥于E ．
（1）求OAB ∠的度数；
（2）当点P 运动时，PE 的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE 的值． （3）若45OPD ∠=︒，求点D 的坐标．
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一、选择题
1．C
解析：C 【解析】
由题意可知：
240
20
x
x
＝
⎧-
⎨
+≠
⎩
，
解得：x=2，
故选C.
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足a2+b2=c2，称为勾股数．由此判定即可．
【详解】
解：A、32+42=52，能构成勾股数，故选项错误；
B、62+82=102，能构成勾股数，故选项错误
C、42+62≠82，不能构成勾股数，故选项正确；
D、52+122=132，能构成勾股数，故选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
A、根据比值结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；
B、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状；
C、根据三角形的内角和为180度，即可计算出∠C的值；
D、根据比值结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状.
【详解】
A、因为a：b：c=3：4：5，所以设a=3x，b=4x，c=5x，则（3x）2+（4x）2=（5x）2，故为直角三角形，故A选项不符合题意；
B、因为∠A：∠B：∠C=3：4：5，所以设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，故
3x+4x+5x=180°，解得x=15°，3x=15×3=45°，4x=15×4=60°，5x=15×5=75°，故此三角形是锐角三角形，故B选项符合题意；
C、因为∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，故为直角三角形，故C选项不
符合题意；
D、因为a：b：c=1：2，所以设a=x，b=2x，x，则x2+x）2=（2x）2，故为直角三角形，故D选项不符合题意，
故选B.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的相关知识，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据P点半圆O、线段OB、线段OA这三段运动的情况分析即可．
【详解】
解：①当P点半圆O匀速运动时，OP长度始终等于半径不变，对应的函数图象是平行于横轴的一段线段，排除A答案；
②当P点在OB段运动时，OP长度越来越小，当P点与O点重合时OP＝0，排除C答案；
③当P点在OA段运动时，OP长度越来越大，B答案符合．
故选B．
【点睛】
本题主要考查动点问题的函数图象，熟练掌握是解题的关键．
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理，依次对各选项进行分析即可得答案．
【详解】
解：A.因为42+52≠62，所以不能围成直角三角形，此选项错误；
B.因为32+42=52，所以能围成直角三角形，此选项正确；
C. 因为22+32≠42，所以不能围成直角三角形，此选项错误；
D. 因为12+2≠32，所以不能围成直角三角形，此选项错误；
故选：B.
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理. 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．能依据这一定理判断三角形是否为直角三角形是解决此题的关键.
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据无理数的定义进行求解.
【详解】
解：无理数有：−π，共1个．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了无理数，解答本题的关键是掌握无理数常见的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
直接利用负整数指数幂的性质结合同底数幂的乘法运算法则将原式变形得出答案．
【详解】 解：13339
n n n ++=， 1233n +-∴=，
则12n +=-，
解得：3n =-．
故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了负整数指数幂的性质以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质进行判断即可；
【详解】
∵到△ABC 的三个顶点的距离相等，
∴这个点在这个三角形三条边的垂直平分线上，
即这点是三条垂直平分线的交点．
故答案选D ．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质，准确理解性质是解题的关键．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据四舍五入法可以将1.96精确到0.1，本题得以解决．
1.96≈
2.0（精确到0.1），
故选：C．
【点睛】
此题主要考查有理数的近似值，熟练掌握，即可解题.
10．C
解析：C
【解析】
试题分析：解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．故选C．
考点：全等三角形的判定．
二、填空题
11．【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD．
【详解】
∵D是AB的中点，
∴CDAB=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要是运用了直角三角形的性质：直角三角形斜
解析：2
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD．
【详解】
∵D是AB的中点，
∴CD
1
2
AB=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要是运用了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．12．【解析】
分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程的解为负数,求出a的范围即可【详解】
分式方程去分母得:2x+a=x+1
解得:x=1-a,
由分式方程解为负数,得到1-a<0,且1
解析：12
>≠
且
a a
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程的解为负数,求出a的范围即可
【详解】
分式方程去分母得:2x+a=x+1
解得:x=1-a,
由分式方程解为负数,得到1-a<0,且1-a≠-1
解得:a＞1且a≠2,
故答案为: a＞1且a≠2
【点睛】
此题考查分式方程的解，解题关键在于求出x的值再进行分析
13．(1,0)
【解析】
【分析】
本题是典型的“将军饮马”问题，只需作D关于x轴的对称点D′，连接D′B 交x轴于点E，如图，则此时△BDE的周长最小，易得点B和D′坐标，故可利用待定系数法求出直线BD
解析：(1,0)
【解析】
【分析】
本题是典型的“将军饮马”问题，只需作D关于x轴的对称点D′，连接D′B交x轴于点E，如图，则此时△BDE的周长最小，易得点B和D′坐标，故可利用待定系数法求出直线BD'的解析式，然后求直线BD'与x轴的交点即得答案．
【详解】
解：如图，作D关于x轴的对称点D′，连接D′B交x轴于点E，连接DE，则DE= D′E，此时△BDE的周长最小，
∵D为CO的中点，∴CD＝OD＝2，
∵D和D′关于x轴对称，∴D′（0，﹣2），
由题意知：点B（3，4），∴设直线BD'的解析式为y＝kx+b，
把B（3，4），D′（0，﹣2）代入解析式，得：
34
2
k b
b
+=
⎧
⎨
=-
⎩
，解得，
2
2
k
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴直线BD'的解析式为y＝2x﹣2，
当y＝0时，x＝1，故E点坐标为（1，0）．
故答案为：（1，0）．
【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求直线的解析式和两线段之和最小问题，属于常考题型，熟练掌握求解的方法是解题关键．
14．40°
【解析】
【分析】
根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质求解．
【详解】
解：∵等腰三角形的一个外角为80°，
∴相邻角为180°-80°=100°，
∵三角形的底角不能为钝角，
∴100
解析：40°
【解析】
【分析】
根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质求解．
【详解】
解：∵等腰三角形的一个外角为80°，
∴相邻角为180°-80°=100°，
∵三角形的底角不能为钝角，
∴100°角为顶角，
∴底角为：（180°-100°）÷2=40°．
故答案为40°．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质．
15．【解析】
【分析】
根据以上信息可得到关于不等式x-3≥0，求解便能得到x的取值范围．
【详解】
根据题意，得
x-3≥0，
解得x≥3.
故答案为
【点睛】
考查二次根式有意义的条件：二次根式的
x≥
解析：3
【解析】
【分析】
根据以上信息可得到关于不等式x-3≥0，求解便能得到x的取值范围．
【详解】
根据题意，得
x-3≥0，
解得x≥3.
x≥
故答案为3
【点睛】
考查二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负数；
16．4
【解析】
如图，过点D作DE⊥BC于点E，当DP=DE时，DP最小，
∵BD⊥DC，∠A=90°，
∴∠DEB=∠DEC=90°=∠A，∠BDC=90°，
∴∠C+∠CDE=90°，∠CDE+
解析：4
【解析】
如图，过点D作DE⊥BC于点E，当DP=DE时，DP最小，
∵BD⊥DC，∠A=90°，
∴∠DEB=∠DEC=90°=∠A，∠BDC=90°，∴∠C+∠CDE=90°，∠CDE+∠BDE=90°，∴∠BDE=∠C，
又∵∠ADB=∠C，
∴∠ADB=∠BDE，
∴在△ABD和△EBD中
A DEB
ADB BDE
BD BD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴DE=AD=4，
即DP的最小值为4.
17．100
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△ADF≌△BFE，得到∠ADF=∠BFE，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠DFE=40°，根据三角形内角和定理计算即可．
【详
解析：100
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△ADF≌△BFE，得到∠ADF=∠BFE，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠DFE=40°，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】
解：∵PA=PB，
∴∠A=∠B，
在△ADF和△BFE中，
AD BF
A B AF BE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ADF≌△BFE（SAS），
∴∠ADF=∠BFE，
∵∠DFB=∠DFE+∠EFB=∠A+∠ADF，
∴∠A=∠DFE=40°，
∴∠P=180°-∠A -∠B=100°；
故答案为：100.
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．
18．-3
【解析】
【分析】
根据题意列出方程，解出a 即可.
【详解】
解：根据题意得：=1，
即可得到
解得 ：
根据中 得到
舍弃
所以
故答案为：-3.
【点睛】
此题主要考查了可化为一元
解析：-3
【解析】
【分析】
根据题意列出方程，解出a 即可.
【详解】 解：根据题意得：2123
a a a +--=1， 即可得到 2123a a a +-=-
解得 ：3a =± 根据2123
a a a +--中 30a -≠ 得到3a ≠ 舍弃3a =
所以3a =-
故答案为：-3.
【点睛】
此题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程，关键是根据题意列出分式方程. 19．22
【解析】
【分析】
等腰三角形两边的长为4cm和9cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】
①当腰是4，底边是9时：不满足三角形的三边关系，因此舍去.
②当
解析：22
【解析】
【分析】
等腰三角形两边的长为4cm和9cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】
①当腰是4，底边是9时：不满足三角形的三边关系，因此舍去.
②当底边是4，腰长是9时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22.
故答案为22.
【点睛】
考查等腰三角形的性质以及三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
20．8
【解析】
【分析】
根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求得BC的长，则利用菱形的面积公式即可求解．
【详解】
解：∵四边形
解析：
【解析】
【分析】
根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求得BC的长，则利用菱形的面积公式即可求解．
【详解】
解：∵四边形AECF是菱形，AB=6，
∴设BE=x，则AE=6-x，CE=6-x，
∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO=∠ECO，
∵∠ECO=∠ECB，
∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°，2BE=CE，
∴CE=2x，∴2x=6-x，解得：x=2，
∴CE=AE=4.
利用勾股定理得出：
∴菱形的面积=AE •
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
三、解答题
21．(1) 无解 (2) x=1-2
【解析】
【分析】
(1) 利用分式方程的解法，解出即可；
(2) 利用分式方程的解法，解出即可.
【详解】 (1)
11322x x x
-=--- 1=x-1-3(x-2)
1=-2x+5
2x=4
x=2 检验：当x=2时，x-2=0 x=2为曾根
所以原方程无解 (2)2121
x x x =++- x(x-1)=2(x+2)+(x+2)(x-1)
x 2-x=2x+4+x 2+x-2
4x=-2 x=1-2
检验：当x=1-2时，x+2≠0 x-1≠0，所以x=1-2是解.
【点睛】
此题主要考查了解分式方程，关键点是要进行验证是否是方程的解.
22．()133x +,15
【解析】
【分析】
先根据分式混合运算法则进行化简，再代入已知值求值.
【详解】 解：35(2)362
x x x x -÷+--- =()2345()3222
x x x x x --÷---- =()239322
x x x x --÷-- =()()()
323233x x x x x --⨯-+- =()
133x +
当3x =时，原式
15
== 【点睛】
考核知识点：二次根式化简求值.先根据分式性质进行化简是关键.
23．（1）
232
x x --；（2）原代数式的值不能等于1-；理由详见解析 【解析】
【分析】
（1）设被遮住的部分为A ，进而通过分式的化简即可得解； （2）令
212
x x +=--，求得x 的值，进行判断即可的解. 【详解】 （1）设被遮住的部分为A ，即232()222x x A x x x +-
÷=-+- ∴2232323+=222222
x x x x A x x x x x x +-=⋅-=-+----； （2）令
212x x +=--，解得0x =，当0x =时，02
x x =+ ∵除数不能为0
∴原代数式的值不能等于1-.
【点睛】 本题主要考查了分式的化简及分式的意义，熟练掌握分式的相关计算是解决本题的关键.
24．【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义求出a 的值，根据平方根的定义求出b 的值，根据微粒数的估算求出c 的值，然后代入计算，即可得到答案.
【详解】
解：∵21a -的算术平方根是3，
∴21=9a -，
∴5a =；
∵31a b +-的平方根是4±，
∴31=16a b +-，
∴351=16b ⨯+-，
∴2b =；
∵
又45<<，
∴4，
∴4c =，
∴252245a b c +-=+⨯-=，
∴2a b c +-的平方根为：
【点睛】
本题考查了算术平方根、平方根、估算无理数的大小等知识点，能根据已知得出a 、b 、c 的值是解此题的关键．
25．32x =-
【解析】
【分析】
分式方程两边同乘3(x+1)，解出x 的解，再检验解是否满足.
【详解】
解：方程两边都乘()31x +，
得：()3231x x x -=+， 解得：32x =-
， 经检验32
x =-是方程的解， ∴原方程的解为32x =-
． 【点睛】
本题考查的知识点是分式方程的求解，解题关键是解出的解要进行检验.
四、压轴题
26．（1）6；8；24；（2）存在 2.4t =时，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等；（3）∠GOD+∠ACE=∠OHC ，见解析
【解析】
【分析】
（1）利用非负性即可求出a ，b 即可得出结论,即可求出△ABC 的面积；
（2）先表示出OQ ，OP ，利用那个面积相等，建立方程求解即可得出结论；
（3）先判断出∠OAC=∠AOD ，进而判断出OG ∥AC ，即可判断出∠FHC=∠ACE ，同理∠FHO=∠GOD ，即可得出结论．
【详解】
解：(1) 解：（1）∵
b 80-=， ∴a-6=0，b-8=0，
∴a=6，b=8，
∴A （0，6），C （8，0）；
∴S △ABC=6×8÷2=24,
故答案为（0，6），（8，0）； 6；8；24
(2) ∵114222ODQ D S OQ x t t ∆=⋅=⋅⋅= 11(82)312322
ODP D S OP y t t ∆=⋅=⋅-⋅=- 由2123t t =-时, 2.4t =
∴存在 2.4t =时,使得△ODP 与△ODQ 的面积相等
(3) ）∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC ，理由如下：
∵x 轴⊥y 轴，
∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°
∴∠OAC+∠ACO=90°
又∵∠DOC=∠DCO
∴∠OAC=∠AOD
∵y 轴平分∠GOD
∴∠GOA=∠AOD
∴∠GOA=∠OAC
∴OG ∥AC ，
如图，过点H 作HF ∥OG 交x 轴于F ，
∴HF ∥AC
∴∠FHC=∠ACE
同理∠FHO=∠GOD ，
∵OG ∥FH ，
∴∠GOD=∠FHO ，
∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC
即∠GOD+∠ACE=∠OHC ，
∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC ．
∴∠GOD+∠ACE=∠OHC ．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了非负性的性质，三角形的面积公式，角平分线的定义，平行线的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
27．（1）证明见解析；（2）DE ＝BD ＋CE ；（3）B(1，4)
【解析】
【分析】
（1）证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；
（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明∠ABD=∠CAE ，证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；
（3）根据△AEC ≌△CFB ，得到CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，根据坐标与图形性质解答．
【详解】
（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，
∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°
∵∠BAC ＝90°
∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°
∵∠BAD ＋∠ABD ＝90°
∴∠CAE ＝∠ABD
∵在△ADB 和△CEA 中
ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADB ≌△CEA （AAS ）
∴AE ＝BD ，AD ＝CE
∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE
即：DE ＝BD ＋CE
（2）解：数量关系：DE ＝BD ＋CE
理由如下：在△ABD 中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD ，
∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD ，∠BDA=∠AEC ，
∴∠ABD=∠CAE ，
在△ABD 和△CAE 中，
ABD CAE
BDA AEC
AB CA
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AD+AE=BD+CE；
（3）解：如图，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，
由（1）可知，△AEC≌△CFB，
∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，
∴OF=CF-OC=1，
∴点B的坐标为B（1，4）．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
28．（1）AB∥CD，理由见解析；（2）证明见解析；（3）45°．
【解析】
【分析】
（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，所以易证
AB∥CD；
（2）利用（1）中平行线的性质推知∠BEF+∠EFD=180°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG，易证PF∥GH；（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得
90902
KPG PKG HPK
︒︒
∠=-∠=-∠；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知
1
45
2
QPK EPK HPK
︒
∠=∠=+∠；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得
∠HPQ=45°．
【详解】
（1）AB∥CD，
理由如下：
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°，
又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF +∠CFE =180°，
∴AB ∥CD ；
（2）由（1）知，AB ∥CD ，∴∠BEF +∠EFD =180°．
又∵∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ， ∴1()902
FEP EFP BEF EFD ︒∠+∠=
∠+∠= ∴∠EPF =90°，即EG ⊥PF ．
∵GH ⊥EG ，
∴PF ∥GH ；
（3）∵∠PHK =∠HPK ，
∴∠PKG =2∠HPK ．
又∵GH ⊥EG ，
∴∠KPG =90°﹣∠PKG =90°﹣2∠HPK ，
∴∠EPK =180°﹣∠KPG =90°+2∠HPK ．
∵PQ 平分∠EPK ， ∴1452
QPK EPK HPK ︒∠=∠=+∠， ∴∠HPQ =∠QPK ﹣∠HPK =45°．
答：∠HPQ 的度数为45°．
【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质．解题过程中，注意“数形结合”数学思想的运用．
29．（1）A(-4，0) ；B(0，4)；C(2，0)；（2）①点E 的位置见解析，E （43-
，0）；②D 点的坐标为（-1，3）或（
45，125） 【解析】
【分析】
（1）先利用一次函数图象上点的坐标特点求得点A 、B 的坐标；然后把B 点坐标代入y=−2x ＋b 求出b 的值，确定此函数解析式，然后再求C 点坐标；
（2）①根据轴对称—最短路径问题画出点E 的位置，由待定系数法确定直线DB 1的解析式为y=−3x−4，易得点E 的坐标；
②分两种情况：当点D 在AB 上时，当点D 在BC 上时．当点D 在AB 上时，由等腰直角三角形的性质求得D 点的坐标为（−1，3）；当点D 在BC 上时，设AD 交y 轴于点F ，证△AOF 与△BOC 全等，得OF=2，点F 的坐标为（0，2），求得直线AD 的解析式为122y x =
+，与y=−2x ＋4组成方程组，求得交点D 的坐标为（45，125）． 【详解】 （1）在y=x +4中，
令x =0，得y=4，
令y =0，得x=-4，
∴A(-4，0) ，B(0，4)
把B(0，4)代入y=-2x+b，得b =4，
∴直线BC为：y=-2x+4
在y=-2x +4中，
令y =0，得x=2，
∴C点的坐标为(2，0)；
（2）①如图
∵点D是AB的中点
∴D（-2，2）
点B关于x轴的对称点B1的坐标为（0，-4），设直线DB1的解析式为y kx b
=+，
把D（-2，2），B1（0，-4）代入，得
22
4
k b
b
-+=
⎧
⎨
=-
⎩
，
解得k=-3，b=-4，
∴该直线为：y=-3x-4，
令y=0，得x=
4
3 -，
∴E点的坐标为（
4
3
-，0）．
②存在，D点的坐标为（-1，3）或（4
5
，
12
5
）．
当点D在AB上时，
∵OA=OB=4，
∴∠BAC=45°，
∴△ACD是以∠ADC为直角的等腰直角三角形，
∴点D的横坐标为42
1 2
，
当x=-1时，y=x+4=3，
∴D点的坐标为（-1，3）；
当点D在BC上时，如图，设AD交y轴于点F．
∵∠FAO ＋∠AFO ＝∠CBO ＋∠BFD ，∠AFO ＝∠BFD ，
∴∠FAO=∠CBO ，
又∵AO=BO ，∠AOF=∠BOC ，
∴△AOF ≌△BOC （ASA ）
∴OF=OC=2，
∴点F 的坐标为（0，2），
设直线AD 的解析式为y mx n =+，
将A （-4，0）与F （0，2）代入得402m n n -+=⎧⎨
=⎩， 解得1,22m n =
=， ∴122
y x =+， 联立12224y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得：45125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴D 的坐标为（45
，125）． 综上所述：D 点的坐标为（-1，3）或（
45，125） 【点睛】
本题是一次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的最短路径问题、直角三角形问题，第（2）②题采用了分类讨论的思想，与三角形全等结合，解题的关键是灵活运用一次函数的图象与性质以及全等的知识．
30．（1）45°；（2）PE 的值不变，PE=4，理由见详解；（3）D(828-，0)．
【解析】
【分析】
（1）根据(42,0)A ，(0,2)B ，得△AOB 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，即可求出∠OAB 的度数；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ，再证明
△POC ≌△DPE ，根据全等三角形的性质得到OC=PE ，即可得到答案；
（3）证明△POB ≌△DPA ，得到
PA=OB=，DA=PB ，进而得OD 的值，即可求出点D 的坐标．
【详解】
（1
）A
，(0,B ，
∴
OA=OB=
∵∠AOB=90°，
∴△AOB 为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°；
（2）PE 的值不变，理由如下：
∵△AOB 为等腰直角三角形，C 为AB 的中点，
∴∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ，
∵PO=PD ，
∴∠POD=∠PDO ，
∵D 是线段OA 上一点，
∴点P 在线段BC 上，
∵∠POD=45°+∠POC ，∠PDO=45°+∠DPE ，
∴∠POC=∠DPE ，
在△POC 和△DPE 中，
90POC DPE OCP PED PO PD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△POC ≅△DPE(AAS)，
∴OC=PE ，
∵OC=
12AB=12
×
×=4， ∴PE=4；
（3）∵OP=PD ， ∴∠POD=∠PDO=(180°−45°)÷2=67.5°，
∴∠APD=∠PDO−∠A=22.5°，∠BOP=90°−∠POD=22.5°，
∴∠APD=∠BOP ，
在△POB 和△DPA 中，
OBP PAD BOP APD OP PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△POB ≌△DPA(AAS)，
∴
PA=OB=DA=PB ，
∴
DA=PB=
-
，
∴OD=OA−DA=8
-，
∴点D的坐标为(8，0)．
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质定理，图形与坐标，掌握等腰直角三角形的性质，是解题的关键．。