高中数学竞赛教材讲义 第七章 解三角形讲义

第七章 解三角形
一、基础知识
在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，2
c
b a p ++=
为半周长。

1．正弦定理：C
c
B b A a sin sin sin ===2R （R 为△AB
C 外接圆半径）。

推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2
1
sin 21sin 21B ca A bc C ab ==
推论2：在△ABC 中，有bcoCccoB=a 推论3：在△ABC 中，AB=θ，解a 满足
)
sin(sin a b
a a -=
θ，则a=A 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。

先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为binC ，所以S △ABC =
C ab sin 2
1
；再证推论2，因为BC=π-A ，所以inBC=inA ，即inBcoCcoBinC=inA ，两边同乘以2R 得bcoCccoB=a ；再证推论3，由正弦定理
B b A a sin sin =，所以)sin()
sin(sin sin A a A a --=θθ，即inain θ-A=in θ-ainA ，等价于21-[co θ-Aa-co θ-A-a]= 2
1
-[co θ-aA-co θ-a-A]，等价于co θ-Aa=co θ-aA ，因为0θθπθθbc a c b A 2cos 222-+=⇔.22pq q
p q
c p b -++ADB ∠.ADB ∠ADC ∠∠∠π∠
∠
.
22pq q
p q
c p b -++.
2
222
22a c b AD -+=
4
1
2=
∆
ABC S 2c 2
A
4
12c 2
A
4
12
c
16
14)(12
22222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-c b a c b 2
.2
c
b a p ++=
).
)()((c p b p a p p ---β
α=∠=∠QOR POQ ,π
.)
sin(sin sin w
v u βααβ+=+O RQ
O PQ O PR ΔPQ R S S S S ∆∆∆+=⇔=⇔0sin 21uv ⇔2121v
u w αββαsin sin )sin(+=+⇔∠∠∠∠∠∠⊥⊥⊥∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠
∠⊥1G ⊥⊥
.21AE
AF
AO A O MD GM ==βπαπsin )2sin(,sin )1sin(AE PA AF AP =∠-=∠-.sin sin 2sin 1sin αβ⋅∠∠=AF AE 2sin sin ,1sin sin ∠=∠=PM MD PM GM βαβαsin sin 1sin 2sin ⋅∠∠=MD GM AE
AF MD GM
=1G ⊥zx yz xy ⋅⋅≥8131212222+++-+=c b a P =b ac c a -+131031031sin 32
≤
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--γ2π3142,2,22=
=c b .310.21⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0π2
1
|a-b|， 从而⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈4,
0πβ，所以in 2β>|co 2α·co 2
β| 因为1=abc 2
=a 2b 2c 2
2abbcca,
所以a 2b 2c 2
4abc=1-2abbcca-2abc 又abbcca-2abc=cabab1-2c
=in 2βco 2βin 2αco 2α·co 4
β·co2β
=
41[1-co 22β1-co 22αco 4
βco2β]
=4141co2βco 4β-co 22αco 4
β-co2β >4
141co2βco 4β-in 4β-co 2
β=4
1 所以a 2b 2c 2
4abc .
214
32-C ∠33=C ∠b ”是“inA>inB ”的__________条件 6．在△ABC 中，inAcoA>0, tanA-inA
531353
1
2tan 2=⋅C A 1，则△ABC 为__________角三角形
11．三角形有一个角是600
，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是12π，求这个三角形的面积。

12．已知锐角△ABC 的外心为D ，过A ，B ，D 三点作圆，分别与AC ，BC 相交于M ，N 两点。

求证：△MNC 的外接圆半径等于△ABD 的外接圆半径。

13．已知△ABC 中，inC=B
A B
A cos cos sin sin ++，试判断其形状。

四、高考水平训练题 1．在△ABC 中，若tanA=
21, tanB=3
1
，且最长边长为1，则最短边长为__________ 2．已知n ∈N ，则以3，5，n 为三边长的钝角三角形有________个
3．已
知
2A 2
C2A2C A A cot 8cot
-6θ2θ2θ2θ2θ1km xy x y y x =-+-11.20
720sin 310
<<B A C A C B cos 2cos cos 2cos sin sin ++=2cot 2cot 2cot C B A T ++≤C B A
sin sin 2
sin 30
80=∠ACB 010=∠OAB ∠∠6
π2cos 2sin 2cos C B A 2cos 2sin C
A A C ++-，N 分别是△ABC 外接圆的弧
AB ，AC 中点，交AB 于Q ，∠∠∠∠∠∠⊥θ
sin 2EF
PQ =θ∠和N 分别是AD 和BC 的中
点，点H 1，H 2（不重合）分别是△AOB 与△COD 的垂心，求证：H 1H 2⊥MN 。

3．已知△ABC ，其中BC 上有一点M ，且△ABM 与△ACM 的内切圆大小相等，求证：
)(a P P AM -=，此处2
1
=
P abc, a, b, c 分别为△ABC 对应三边之长。

4．已知凸五边形ABCDE ，其中∠ABC=∠AED=900
，∠BAC=∠EAD ，BD 与CE 交于点O ，求证：AO ⊥BE 。

5．已知等腰梯形ABCD ，G 是对角线BD 与AC 的交点，过点G 作EF 与上、下底平行，点E
和F 分别在AB 和CD 上，求证：∠AFB=900
的充要条件是ADBC=CD 。

6．AP ，AQ ，AR ，AS 是同一个圆中的四条弦，已知∠PAQ=∠QAR=∠RAS ，求证：AR （APAR ）=AQ （AQAS ）。

7．已知一凸四边形的边长依次为a, b, c, d ，外接圆半径为R ，如果a 2b 2c 2d 2=8R 2
，试问对此四边形有何要求
8．设四边形ABCD 内接于圆，BA 和CD 延长后交于点R ，AD 和BC 延长后交于点P ，∠A ，
∠B ，∠C 指的都是△ABC 的内角，求证：若AC 与BD 交于点Q ，则
.cos cos cos BQ
B
CR C AP A =+ 9．设P 是△ABC 内一点，点P 至BC ，CA ，AB 的垂线分别为PD ，PE ，PF （D ，E ，F 是垂足），
求证：PA ·PB ·PC ≥PDPE ·PEPF ·PFPD ，并讨论等号成立之条件。