2020-2021九年级数学上期末一模试卷(及答案)

2020-2021九年级数学上期末一模试卷(及答案)
一、选择题
1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点D ，连结OD ．若50C ∠=︒，则∠AOD 的度数为（ ）
A ．40︒
B ．50︒
C ．80︒
D ．100︒
3．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知
4EF CD ==，则球的半径长是（ ）
A ．2
B ．2.5
C ．3
D ．4
4．如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =8cm ，BC =6cm ，分别以A 、C 为圆心，以2
AC 的长为半径作圆，将Rt △ABC 截去两个扇形，则剩余（阴影）部分面积为（ ）
A ．（24−254
π）cm 2 B ．254πcm 2 C ．（24−5
4π）cm 2 D ．（24−
256π）cm 2
5．已知y 关于x 的函数表达式是24y ax x a =--，下列结论不正确的是（ ） A ．若1a =-，函数的最大值是5
B ．若1a =，当2x ≥时，y 随x 的增大而增大
C ．无论a 为何值时，函数图象一定经过点(1,4)-
D ．无论a 为何值时，函数图象与x 轴都有两个交点
6．将抛物线y=2x 2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（ ）
A ．y=2（x ﹣3）2﹣5
B ．y=2（x+3）2+5
C ．y=2（x ﹣3）2+5
D ．y=2（x+3）2﹣5 7．一元二次方程x 2+x ﹣14
＝0的根的情况是（ ） A ．有两个不等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．无实数根
D ．无法确定 8．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ）
A ．12
B ．14
C ．16
D ．112
9．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为( )
A ．x(x －1)＝2070
B ．x(x ＋1)＝2070
C ．2x(x ＋1)＝2070
D ．(1)2
x x -＝2070 10．若a 是方程22x x 30--=的一个解，则26a 3a -的值为( )
A ．3
B ．3-
C ．9
D ．9- 11．若关于x 的一元二次方程()26230a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是
（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
12．若20a ab -=（b ≠0），则
a a
b +=（ ） A ．0 B ．12 C ．0或12 D ．1或 2
二、填空题
13．函数 2
y 24x x =-- 的最小值为_____.
14．如图，抛物线y ＝﹣2x 2+2与x 轴交于点A 、B ，其顶点为E ．把这条抛物线在x 轴及其上方的部分记为C 1，将C 1向右平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B 、D ，C 2的顶点为F ，连结EF ．则图中阴影部分图形的面积为______．
15．一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm ，则此扇形的面积是_____cm 2．
16．廊桥是我国古老的文化遗产如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是______米精确到1米
17．请你写出一个有一根为0的一元二次方程：______．
18．一元二次方程22x 20-=的解是______．
19．如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切于点C ，若∠P=20°，则∠A=___________°．
20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+c （a≠0）的图象过正方形ABOC 的三个顶点A ，B ，C ，则ac 的值是________．
三、解答题
21．如图，斜坡AB 长10米，按图中的直角坐标系可用353
y x =-+表示，点A ，B 分别在x 轴和y 轴上，且30OAB ︒∠=．在坡上的A 处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落
到B 处，抛物线可用213
y x bx c =-++表示．
（1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）；
（2）求水柱离坡面AB 的最大高度；
（3）在斜坡上距离A 点2米的C 处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？
22．如图，以△ABC 的边AB 为直径画⊙O ，交AC 于点D ，半径OE//BD ，连接BE ，DE ，BD ，设BE 交AC 于点F ，若∠DEB=∠DBC． (1)求证：BC 是⊙O 的切线；
(2)若BF=BC=2，求图中阴影部分的面积．
23．已知关于x 的一元二次方程（a+c ）x 2+2bx+（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
24．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件 （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润
（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A 、B 两种营销方案
方案A ：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B ：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由
25．汽车产业的发展，有效促进我国现代建设．某汽车销售公司2007年盈利3000万元，到2009年盈利4320万元，且从2007年到2009年，每年盈利的年增长率相同，该公司2008年盈利多少万元?
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
分析：根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
详解：A 、是中心对称图形，故本选项正确；
B 、不是中心对称图形，故本选项错误；
C 、不是中心对称图形，故本选项错误；
D 、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：A ．
点睛：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
由AC 是⊙O 的切线可得∠CAB=90︒,又由50C ∠=︒，可得∠ABC=40︒;再由OD=OB ，则∠BDO=40︒最后由∠AOD=∠OBD+∠OBD 计算即可.
【详解】
解：∵AC 是⊙O 的切线
∴∠CAB=90︒,
又∵50C ∠=︒
∴∠ABC=90︒-50︒=40︒
又∵OD=OB
∴∠BDO=∠ABC=40︒
又∵∠AOD=∠OBD+∠OBD
∴∠AOD=40︒+40︒=80︒
故答案为C.
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形以及三角形外角的概念.其中解题关键是运用圆的切线垂直于半径的性质.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
取EF 的中点M ，作MN ⊥AD 于点M ，取MN 上的球心O ，连接OF ，设OF=x ，则OM=4-x ，MF=2，然后在Rt △MOF 中利用勾股定理求得OF 的长即可．
【详解】
如图：
EF 的中点M ，作MN ⊥AD 于点M ，取MN 上的球心O ，连接OF ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN 是矩形，
∴MN=CD=4，
设OF=x ，则ON=OF ，
∴OM=MN-ON=4-x ，MF=2，
在直角三角形OMF 中，OM 2+MF 2=OF 2，
即：（4-x ）2+22=x 2，
解得：x=2.5，
故选B ．
【点睛】
本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用勾股定理得出AC 的长，再利用图中阴影部分的面积=S △ABC −S 扇形面积求出即可．
【详解】
解：在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =8cm ，BC =6cm ， ∴22228610AC AB BC =
+=+=cm ， 则2
AC =5 cm ， ∴S 阴影部分=S △ABC −S 扇形面积=2190525862423604
ππ⨯⨯⨯-=-（cm 2）， 故选：A ．
【点睛】
本题考查了扇形的面积公式，阴影部分的面积可以看作是Rt △ABC 的面积减去两个扇形的面积．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
将a 的值代入函数表达式，根据二次函数的图象与性质可判断A 、B ，将x=1代入函数表达式可判断C ，当a=0时，y=-4x 是一次函数，与x 轴只有一个交点，可判断D 错误.
【详解】
当1a =-时，()2
24125=--+=-++y x x x ，
∴当2x =-时，函数取得最大值5，故A 正确；
当1a =时，()224125y x x x =--=--，
∴函数图象开口向上，对称轴为2x =，
∴当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，故B 正确；
当x=1时，44=--=-y a a ，
∴无论a 为何值，函数图象一定经过(1,-4)，故C 正确；
当a=0时，y=-4x ，此时函数为一次函数，与x 轴只有一个交点，故D 错误；
故选D.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，以及一次函数与x 轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 6．A
解析：A
【解析】
把22y x =向右平移3个单位长度变为：2
23()y x =-，再向下平移5个单位长度变为：22(3)5y x =--．故选A ．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=2＞0，即可判断有两个不相等的实数根．
【详解】
∵△＝12﹣4×1×（﹣
14）＝2＞0， ∴方程x 2+x ﹣
14
＝0有两个不相等的实数根． 故选：A ．
本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解.
【详解】
解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，
∴两次都摸到白球的概率是：
21 126
．
故答案为C．
【点睛】
本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键．
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，
∴全班共送：（x﹣1）x=2070，
故选A．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．
10．C
解析：C
【解析】
由题意得：2a2-a-3=0，所以2a2-a=3，所以6a2-3a=3(2a2-a)=3×3=9，
故选C.
11．B
解析：B
【分析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a-6≠0且△=（-2）2-4×（a-6）×3≥0，再求出两不等式的公共部分得到a ≤
193 且a ≠6，然后找出此范围内的最大整数即可． 【详解】
根据题意得a-6≠0且△=（-2）2-4×（a-6）×3≥0，
解得a ≤193
且a ≠6， 所以整数a 的最大值为5.
故选B.
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义和跟的判别式，一元二次方程的二次项系数不能为0；当一元二次方程有实数根时，△≥0.
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵20a ab -= ()0b ≠，
∴a(a-b)=0，
∴a=0，b=a ．
当a=0时，原式=0；
当b=a 时，原式=12
，
故选C 二、填空题
13．-
5【解析】【分析】将二次函数配方即可直接求出二次函数的最小值【详解】∵y ＝x2﹣2x ﹣4＝x2﹣2x+1﹣5＝（x ﹣1）2﹣5∴可得二次函数的最小值为﹣5故答案是：﹣5【点睛】本题考查了二次函数的
解析：-5
【解析】
【分析】
将二次函数配方，即可直接求出二次函数的最小值．
【详解】
∵y ＝x 2﹣2x ﹣4＝x 2﹣2x+1﹣5＝（x ﹣1）2﹣5，
∴可得二次函数的最小值为﹣5．
故答案是：﹣5．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，用配方法是解此类问题的最简洁的方法．
14．4【解析】【分析】由S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE即可求解【详解】令y＝0则：x＝±1令x＝0则y＝2则：OB＝1BD＝2OB＝2S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝
解析：4
【解析】
【分析】
由S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE，即可求解．
【详解】
令y＝0，则：x＝±1，令x＝0，则y＝2，
则：OB＝1，BD＝2，OB＝2，
S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝4．
故：答案为4．
【点睛】
本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定S阴影部分图形＝S四边形BDFE是本题的关键．15．【解析】分析：先求出扇形对应的圆的半径再根据扇形的面积公式求出面积即可详解：设扇形的半径为Rcm∵扇形的圆心角为135°弧长为3πcm∴=3π解得：R=4所以此扇形的面积为=6π（cm2）故答案为6
解析：6π
【解析】
分析：先求出扇形对应的圆的半径，再根据扇形的面积公式求出面积即可．
详解：设扇形的半径为Rcm，
∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，
∴135
180
R
π⨯
=3π，
解得：R=4，
所以此扇形的面积为
2
1354
180
π⨯
=6π（cm2），
故答案为6π．
点睛：本题考查了扇形的面积计算和弧长的面积计算，能熟记扇形的面积公式和弧长公式是解此题的关键．
16．85【解析】由于两盏EF距离水面都是8m因而两盏景观灯之间的水平距离就是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值故有-140x2+10=8即
x2=80x1=45x2=-45所以两盏警示灯之间的水平
解析：
【解析】
由于两盏E 、F 距离水面都是8m ，因而两盏景观灯之间的水平距离就
是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值． 故有
， 即，，． 所以两盏警示灯之间的水平距离为：
17．【解析】【分析】根据一元二次方程定义只要是一元二次方程且有一根为0即可【详解】可以是=0等故答案为：【点睛】本题考核知识点：一元二次方程的根解题关键点：理解一元二次方程的意义
解析：240x x -=
【解析】
【分析】
根据一元二次方程定义，只要是一元二次方程，且有一根为0即可.
【详解】
可以是240x x -=，22x x -=0等.
故答案为：240x x -=
【点睛】
本题考核知识点：一元二次方程的根. 解题关键点：理解一元二次方程的意义.
18．x1＝1x2＝－1【解析】分析：方程整理后利用平方根定义开方即可求出解详解：方程整理得：x2=1开方得：x=±1解得：x1=1x2=﹣1故答案为x1=1x2=﹣1点睛：本题考查了解一元二次方程﹣直接
解析：x 1＝1，x 2＝－1
【解析】
分析：方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解．
详解：方程整理得：x 2=1，开方得：x =±1，解得：x 1=1，x 2=﹣1．
故答案为x 1=1，x 2=﹣1．
点睛：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握直接开平方法是解答本题的关键．
19．35【解析】【分析】【详解】解：∵PC 与⊙O 相切
∴∠OCP=90°∴∠COP=90°-∠P=90°-
20°=70°∵OA=OC∴∠A=∠ACO∵∠A+∠ACO=∠COP∴∠A=35°故答案为35 解析：35
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵PC 与⊙O 相切，∴∠OCP=90°，
∴∠COP=90°-∠P=90°-20°=70°，
∵OA=OC ，∴∠A=∠ACO ，
∵∠A+∠ACO=∠COP ，
∴∠A=35°，
故答案为35.
20．－2【解析】【分析】设正方形的对角线OA 长为2m 根据正方形的性质则可得出BC 坐标代入二次函数y=ax2+c 中即可求出a 和c 从而求积【详解】设正方形的对角线OA 长为2m 则B （﹣mm ）C （mm ）A （02
解析：－2．
【解析】
【分析】
设正方形的对角线OA 长为2m ，根据正方形的性质则可得出B 、C 坐标，代入二次函数y=ax 2+c 中，即可求出a 和c ，从而求积．
【详解】
设正方形的对角线OA 长为2m ，则B （﹣m ，m ），C （m ，m ），A （0，2m ）； 把A ，C 的坐标代入解析式可得：c=2m ①，am 2+c=m ②，
①代入②得：am 2+2m=m ，
解得：a=-
1m ， 则ac=-1m
⨯2m=-2． 考点：二次函数综合题．
三、解答题
21．（1）21533y x x =-+
+；（2）254米；（3）水柱能越过树 【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形的性质求出点A 、B 的坐标，再利用待定系数法求解可得；
（2）水柱离坡面的距离d=-
13x 2+3x+5-（-3x+5），整理成一般式，再配方成顶点式即可得；
（3）先求出点C 的坐标为（1），再求出y ，与1+3.5比较大小即可得．
【详解】
（1）∵AB=10、∠OAB=30°，
∴OB=12AB=5、OA=ABcos ∠OAB=10×2=5，
则A （53，0）、B （0，5）， 将A 、B 坐标代入y=-
13
x 2+bx+c ，得： 17553035
b c c ⎧-⨯++⎪⎨⎪⎩＝＝， 解得：435b c ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝，
∴抛物线解析式为y=-13x 2+43x+5； （2）水柱离坡面的距离d=-
13x 2+43x+5-（-3x+5） =-
13x 2+53x =-
13（x 2-53x ） =-13
（x-53）2+254， ∴当x=
53时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254米； （3）如图，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，
∵AC=2、∠OAB=30°，
∴CD=1、3
则3
当3y=-13×（3243×3＞1+3.5， 所以水柱能越过树．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、直角三角形的性质、二次函数的图象与性质．
22．(1)证明见解析；(2)3324
π-. 【解析】
【分析】 （1）求出∠ADB 的度数，求出∠ABD+∠DBC=90︒，根据切线判定推出即可；（2）连接OD ，分别求出三角形DOB 面积和扇形DOB 面积，即可求出答案.
【详解】
(1)AB Q 是O e 的直径，
90ADB ∴∠=︒，
90A ABD ∴∠+∠=︒，
A DE
B ∠=∠Q ，DEB DB
C ∠=∠，
A DBC ∴∠=∠，
90DBC ABD ∠+∠=︒Q ，
BC ∴是O e 的切线；
(2)连接OD ，
2BF BC ==Q ，且90ADB ∠=︒，
CBD FBD ∴∠=∠，
//OE BD Q ，
FBD OEB ∴∠=∠，
OE OB Q =，
OEB OBE ∴∠=∠，
11903033
CBD OEB OBE ADB ∴∠=∠=∠=∠=⨯︒=︒， 60C ∴∠=︒，
323AB BC ∴==，
O ∴e 3，
∴阴影部分的面积=扇形DOB 的面积-三角形DOB 的面积
13333362ππ=⨯= 【点睛】
本题考查了切线判定的定理和三角形及扇形面积的计算方法，熟练掌握该知识点是本题解
题的关键.
23．(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．
【解析】
试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC 的形状；
（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．
试题解析：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
考点：一元二次方程的应用．
24．(1) w＝－10x2＋700x－10000;(2) 即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大;
(3) A方案利润更高.
【解析】
【分析】
试题分析：（1）根据利润=（单价-进价）×销售量，列出函数关系式即可.
（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值.
（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较.
【详解】
解：（1）w＝（x－20）（250－10x＋250）＝－10x2＋700x－10000.
（2）∵w＝－10x2＋700x－10000＝－10（x－35）2＋2250
∴当x＝35时，w有最大值2250，
即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大.
（3）A方案利润高,理由如下：
A方案中：20＜x≤30，函数w＝－10（x－35）2＋2250随x的增大而增大，
∴当x=30时，w 有最大值，此时，最大值为2000元.
B 方案中：，解得x 的取值范围为：45≤x≤49.
∵45≤x≤49时，函数w ＝－10（x －35）2＋2250随x 的增大而减小，
∴当x=45时，w 有最大值，此时，最大值为1250元.
∵2000＞1250，
∴A 方案利润更高
25．2008年盈利3600万元．
【解析】
【分析】
设该公司从2007年到2009年，每年盈利的年增长率是x ，根据题意列出方程进行求解即可求出年增长率；然后根据2007年的盈利，即可算出2008年的盈利．
【详解】
解：设每年盈利的年增长率为x ，由题意得：
3000(1+x )2=4320，
解得：10.2x =，2 2.2x =-（不合题意，舍去），
∴年增长率20%，
∴3000×(1+20%)=3600，
答：该公司2008年盈利3600万元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是求出从2007年到2009年，每年盈利的年增长率．。