【最新】2019秋抚顺市六校联合体高二上册期末数学试卷(理科)(有答案)

辽宁省抚顺市六校联合体高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，每题只有一个正确答案）
1．（5分）在△ABC中，∠B=30°，b=10，c=16，则sinC等于（）
A．B．± C．± D．
2．（5分）已知数列{a n}}满足a n+1=a n，若a4=8，则a1等于（）
A．1 B．2 C．64 D．128
3．（5分）已知椭圆2+=1（b＞0）的离心率为，则b等于（）
A．3 B．C．D．
4．（5分）命题p：若a＜b，则ac2＜bc2；命题q：∃∈R，2﹣+1≤0，则下列命题为真命题的是（）
A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧q D．p∨（￢q）
5．（5分）设=（2，2，﹣1）是平面α的法向量，=（﹣3，4，2）是直线l的方向向量，则直线l与平面α的位置关系是（）
A．平行或直线在平面内B．垂直
C．相交但不垂直D．不能确定
6．（5分）已知双曲线﹣=1的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线上一点，且
•=0，则|PF1|等于（）
A．B．C．D．
7．（5分）下列说法中正确的个数是（）
①＞2是2﹣2＞0的必要不充分条件；
②命题“若=2，则向量=（0，，1）与向量=（﹣1，1，﹣2）垂直”的逆否命题是真命题；
③命题“若≠1，则2﹣3+2≠0”的否命题是“若=1，则2﹣3+2=0”
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（5分）若实数1，，y，4成等差数列，﹣2，a，b，c，﹣8成等比数列，则=（）A．﹣B．C．D．﹣
9．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若=2，b2﹣a2=ac，则
cosB等于（）
A．B．C．D．
10．（5分）已知数列{a n}是等差数列，a2=3，a7=13，则数列{}的前n项和为（）A．B．C．D．
11．（5分）函数y=log a（﹣3）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线m+ny ﹣1=0上，其中m•n＞0，则的最小值为（）
A．16 B．24 C．25 D．50
12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，n（a n+1﹣a n）=a n+1，n∈N*．若对于任意的t∈[0，1]，n∈N*，不等式＜﹣2t2﹣（a+1）t+a2﹣a+3恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．[﹣1，3]
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若实数，y满足，则=2﹣6y﹣1的最大值是．
14．（5分）设F1，F2是椭圆+y2=1的两个焦点，P在椭圆上，且满足∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积是．
15．（5分）关于的不等式（a2﹣1）2﹣（a﹣1）﹣1＜0的解集是R，则实数a的取值范围是．16．（5分）已知抛物线y2=8上有一条长为9的动弦AB，则AB中点到y轴的最短距离为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，A（﹣4，0），B（4，0），点C运动时内角满足2sinA+sinC=2sinB，求顶点C的轨迹方程．
18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足ccos（π﹣B）=（b﹣2a）sin（﹣C）
（1）求角C的大小；
（2）若c=，b=3，求△ABC的面积．
19．（12分）2017年，在国家创新驱动战略的引领下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台套设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以到厘米或毫米级．最近北斗三号工程耗资9万元建成一小型设备，已知这台设备从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为+99.5（n∈N*）元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了多少天，平均每天耗资多少钱？20．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB=3，BC=4，AC=5，AA1=6
（1）设=m，异面直线AB1与BD所成角的余弦值为，求m的值；
（2）若D是AC的中点，求平面BDC1和平面CDC1所成锐二面角的余弦值．
21．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n2+n﹣1，且a n＞1
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求T n=a1•2+a2•2+…+a n•2的值．
22．（12分）点M（，1）在椭圆C：=1（a＞b＞0）上，且点M到椭圆两焦点的
距离之和为2
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线y=（+1）与椭圆C相交于A，B两点，若P（﹣，0），求证：为定值．
辽宁省抚顺市六校联合体高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，每题只有一个正确答案）
1．（5分）在△ABC中，∠B=30°，b=10，c=16，则sinC等于（）
A．B．± C．± D．
【解答】解：△ABC中，∠B=30°，b=10，c=16，
由正弦定理得，=，
∴sinC===．
故选：D．
2．（5分）已知数列{a n}}满足a n+1=a n，若a4=8，则a1等于（）
A．1 B．2 C．64 D．128
【解答】解：数列{a n}}满足a n
=a n，∴公比为．
+1
∵a4=8，则a1×=﹣8，解得a1=64．
故选：C．
3．（5分）已知椭圆2+=1（b＞0）的离心率为，则b等于（）
A．3 B．C．D．
【解答】解：椭圆2+=1（b＞0）的离心率为，
可得，解得b=．
故选：B．
4．（5分）命题p：若a＜b，则ac2＜bc2；命题q：∃∈R，2﹣+1≤0，则下列命题为真命题的是（）
A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧q D．p∨（￢q）
【解答】解：当c=0时，若a＜b，则ac2＜bc2；不成立，故p是假命题，
判别式△=1﹣4=﹣3＜0，则∃∈R，2﹣+1≤0不成立，即q是假命题，
则p∨（￢q）为真命题，其余为假命题，
故选：D
5．（5分）设=（2，2，﹣1）是平面α的法向量，=（﹣3，4，2）是直线l的方向向量，则直线l与平面α的位置关系是（）
A．平行或直线在平面内B．垂直
C．相交但不垂直D．不能确定
【解答】解：∵设=（2，2，﹣1）是平面α的法向量，
=（﹣3，4，2）是直线l的方向向量，
=﹣6+8﹣2=0，
∴直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内．
故选：A．
6．（5分）已知双曲线﹣=1的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线上一点，且
•=0，则|PF1|等于（）
A．B．C．D．
【解答】解：双曲线﹣=1的左右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），a=2，
点P是双曲线上一点，且•=0，可知：PF2⊥F1F2，所以|PF2|==，
由双曲线的定义可知：|PF1|﹣|PF2|=4，所以|PF1|=4+=．
故选：A．
7．（5分）下列说法中正确的个数是（）
①＞2是2﹣2＞0的必要不充分条件；
②命题“若=2，则向量=（0，，1）与向量=（﹣1，1，﹣2）垂直”的逆否命题是真命题；
③命题“若≠1，则2﹣3+2≠0”的否命题是“若=1，则2﹣3+2=0”
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：对于①，由2﹣2＞0，解得＜0或＞2，∴＞2是2﹣2＞0的充分不必要条件，故①错误；
对于②，当=2时，0×（﹣1）+2×1+1×（﹣2）=0，∴，
∴命题“若=2，则向量=（0，，1）与向量=（﹣1，1，﹣2）垂直”是真命题，其逆否命题是真命题，故②正确；
对于③，命题“若≠1，则2﹣3+2≠0”的否命题是“若=1，则2﹣3+2=0”，故③正确．
∴说法正确的个数是2．
故选：C．
8．（5分）若实数1，，y，4成等差数列，﹣2，a，b，c，﹣8成等比数列，则=（）A．﹣B．C．D．﹣
【解答】解：∵1，，y，4成等差数列，
∴3（﹣1）=4﹣1=3
∴﹣1=1，
y﹣=1，
∵﹣2，a，b，c，﹣8五个实数成等比数列，
∴b2=（﹣2）×（﹣8），
∴b=﹣4，b=4（舍去，等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同）
∴=﹣．
故选：A．
9．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若=2，b2﹣a2=ac，则cosB等于（）
A．B．C．D．
【解答】解：△ABC中，=2，
由正弦定理得=2，c=2a；
又b2﹣a2=ac，
由余弦定理，得
cosB=
=
=﹣+
=﹣+1
=．
故选：C．
10．（5分）已知数列{a n}是等差数列，a2=3，a7=13，则数列{}的前n项和为（）A．B．C．D．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，
∵a2=3，a7=13，
∴d=
解得d=2．
∴a n=a2+（n﹣2）d=3+2（n﹣2）=2n﹣1．
∴==（﹣）．
∴数列{}的前n项和T n=[（1﹣）+（﹣）++…+（﹣）]=（1﹣）
=．
故选：B．
11．（5分）函数y=log a（﹣3）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线m+ny ﹣1=0上，其中m•n＞0，则的最小值为（）
A．16 B．24 C．25 D．50
【解答】解：令﹣3=1，解得=4，y=1，
则函数y=log a（﹣3）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（4，1），
∴4m+n=1，
∴=（）（4m+n）=16+1++
≥17+2=17+8=25，当且仅当m=n=时取等号，
故则的最小值为25，
故选：C
12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，n（a n+1﹣a n）=a n+1，n∈N*．若对于任意的t∈[0，1]，n∈N*，不等式＜﹣2t2﹣（a+1）t+a2﹣a+3恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．[﹣1，3]
﹣a n）=a n+1，
【解答】解：根据题意，数列{a n}中，n（a n
+1
﹣（n+1）a n=1，
∴na n
+1
∴﹣==﹣，
∴=（﹣）+（﹣）+…+（a2﹣a1）+a1，
=（﹣）+（﹣）+…+（1﹣）+2=3﹣＜3，
∵＜﹣2t2﹣（a+1）t+a2﹣a+3恒成立，
∴3≤﹣2t2﹣（a+1）t+a2﹣a+3
∴2t2+（a+1）t﹣a2+a≤0，在t∈[0，1]上恒成立，
设f（a）=2t2+（a+1）t﹣a2+a，t∈[0，1]，
∴，
即，
解得a≤﹣1或a≥3，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若实数，y满足，则=2﹣6y﹣1的最大值是﹣2．
【解答】解：由=2﹣6y﹣1得y=﹣﹣，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=﹣﹣，
由图象可知当直线，过点A时，直线y=﹣﹣，
的截距最小，此时最大，
由，解得A（1，）
代入目标函数=2﹣6y﹣1，
得=2﹣3﹣2=﹣2．
∴目标函数=2﹣6y﹣1的最大值是﹣2．
故答案为：﹣2．
14．（5分）设F1，F2是椭圆+y2=1的两个焦点，P在椭圆上，且满足∠F1PF2=60°，则△PF1F2
的面积是．
【解答】解：由题意，F1，F2是椭圆+y2=1的两个焦点，
|F1P|+|PF2|=4，|F1F2|=2；
则由余弦定理得，
|F1F2|2=|F1P|2+|PF2|2﹣2|F1P||PF2|cos60°；
故12=（|F1P|+|PF2|）2﹣2|F1P||PF2|cos60°﹣2|F1P||PF2|；
故12=16﹣3|F1P||PF2|；
故|F1P||PF2|=；
故△PF1F2的面积S=|F1P||PF2|•sin60°
=；
故答案为：．
15．（5分）关于的不等式（a2﹣1）2﹣（a﹣1）﹣1＜0的解集是R，则实数a的取值范围是（，1] ．
【解答】解：设函数f（）=（a2﹣1）2﹣（a﹣1）﹣1．由题设条件关于的不等式（a2﹣1）2﹣（a﹣1）﹣1＜0的解集为R．
可得对任意的属于R．都有f（）＜0．
又当a≠1时，函数f（）是关于的抛物线．故抛物线必开口向下，且于轴无交点．
故满足
故解得＜a＜1．
当a=1时．f（）=﹣1．成立．
综上，a的取值范围为（，1]；
故答案为：（，1]
16．（5分）已知抛物线y2=8上有一条长为9的动弦AB，则AB中点到y轴的最短距离为．
【解答】解：由题意知，设y2=8的准线方程为=﹣2，过A做AA1⊥l于A1．
过B做BB1⊥l与B1，设弦AB的中点为M，过M做MM1⊥l于M1，
则|MM1|=，|AB|≤|AF|+|BF|，（F为抛物线的焦点），
即|AF|+|BF|≥9，
∵|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|
∴|AA1|+|BB1|≥9，
∴2|MM1|≥9，|MM1|≥，
∴M到y轴的最短距离为：﹣2=．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，A（﹣4，0），B（4，0），点C运动时内角满足2sinA+sinC=2sinB，求顶点C的轨迹方程．
【解答】解：∵2sinA+sinC=2sinB，∴由正弦定理得2a﹣2b=c，即|CA|﹣|CB|=4＜8=|AB|，由双曲线的定义可知点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，且a=2，c=4，
∴b2=c2﹣a2=12．
∴顶点C的轨迹方程为：=1（＞2）．
18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足ccos（π﹣B）=（b﹣2a）sin（﹣C）
（1）求角C的大小；
（2）若c=，b=3，求△ABC的面积．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）在△ABC中，ccos（π﹣B）=（b﹣2a）sin（﹣C），
即﹣ccosB=（b﹣2a）cosC，（1分）
由正弦定理得﹣sinCcosB=（sinB﹣2sinA）cosC，（2分）
可得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosC，可得：sin（B+C）=sinA=2sinAcosC，（3分）
又因为在△ABC中，sinA≠0，
所以2cosC=1，即cosC=，
所以C=．（6分）
（2）在△ABC中，c2=b2+a2﹣2abcosC，
所以13=9+a2﹣3a，解得a=4或a=﹣1（舍去），（9分）
=absinC=3．（12分）
所以S
△ABC
19．（12分）2017年，在国家创新驱动战略的引领下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台套设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以到厘米或毫米级．最近北斗三号工程耗资9万元建成一小型设备，已知这台设备从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为+99.5（n∈N*）元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了多少天，平均每天耗资多少钱？
【解答】解：设一共使用了n天，平均每天耗资为y元，
则y=（3分）
=≥2+99.75=399.75（5分）
当且仅当时，（8分）
即n=600时y取得最小值399.75（元）（11分），
所以一共使用了600天，平均每天耗资399.75元﹣﹣﹣﹣（12分）
20．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB=3，BC=4，AC=5，AA1=6
（1）设=m，异面直线AB1与BD所成角的余弦值为，求m的值；
（2）若D是AC的中点，求平面BDC1和平面CDC1所成锐二面角的余弦值．
【解答】解：（1）在△ABC中，由AB=3，BC=4，AC=5，得AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，⊥平面ABC，，
又∵BB
∴以BA，BC，BB1所在直线分别为轴，y轴，轴建立空间直角坐标系，
则A（3，0，0），B（0，0，0），C（0，4，0），B1（0，0，），
C1（0，4，）．
∴=（﹣3，4，0），
又∵，∴点D（﹣3m+3，4m，0），
=（﹣3m+3，4m，0），，
∵异面直线AB1与BD所成角的余弦值为，
∴|cos＜，＞|=，解得m=；
（2）∵D是AC中点，
∴D（）．
设平面BC1D的法向量，，．则，取1=4，得．
设平面CC1D的法向量，，．则，取2=4，得．
cos＜＞=，
∴锐二面角B﹣DC1﹣C的余弦值为．
21．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n2+n﹣1，且a n＞1（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求T n=a1•2+a2•2+…+a n•2的值．
【解答】解：（1）当n=1时，2S1=2a1=+1﹣1，a1＞1，解得a1=2．当n≥2时，2a n=2（S n﹣S n﹣1）=+n﹣1﹣，
化为：（a n+a n
﹣1﹣1）（a n﹣a n
﹣1
﹣1）=0，又a n＞1，
∴a n﹣a n
﹣1
=1，
∴数列{a n}是公差为1的等差数列，公差为1．
∴a n=2+（n﹣1）=n+1．
（2）a n•2=（n+1）•2n+1．
∵T n=2×22+3×23+4×24+…+（n+1）•2n+1，
2T n=2×23+3×24+…+n•2n+1+（n+1）•2n+2，
两式相减得：﹣T n=23+（23+24+…+2n+1）﹣（n+1）•2n+2=8+﹣（n+1）•2n+2=﹣n•2n+2，∴T n=n•2n+2．
22．（12分）点M（，1）在椭圆C：=1（a＞b＞0）上，且点M到椭圆两焦点的
距离之和为2
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线y=（+1）与椭圆C相交于A，B两点，若P（﹣，0），求证：为定
值．
【解答】解：（1）由题意可得，解得a2=5，b2=，即椭圆的方程为+=1；
（2）证明：设A（1，y1），B（2，y2）．
联立，
化为（1+32）2+62+32﹣5=0，
△=364﹣4（1+32）（32﹣5）=482+20＞0，
∴1+2=，12=．
∴y1y2=2（1+1）（2+1）=2（12+1+2+1）=2（++1）=﹣∴•=（1+，y1）•（2+，y2）=（1+）（2+）+y1y2，
=12+（1+2）++y1y2，
=﹣﹣+
=+，
=﹣5+，
=。