冠县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考测试数学

冠县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即
()2~100,X N a （0a >），试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格（低于90分）的人数占总
人数的
1
10
，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为（ ） （A ） 400 （ B ） 500 （C ） 600 （D ） 800 2． 已知圆C ：x 2
+y 2
﹣2x=1，直线l ：y=k （x ﹣1）+1，则l 与C 的位置关系是（ ） A ．一定相离 B ．一定相切
C ．相交且一定不过圆心
D ．相交且可能过圆心
3． 复数2
(2)i z i
-=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ）
A ．43i -+
B ．43i +
C ．34i +
D ．34i -
【命题意图】本题考查复数的运算和复数的概念等基础知识，意在考查基本运算能力． 4． 设βα,是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若α⊥l ，βα⊥，则β⊂l B ．若α//l ， βα//，则β⊂l C ．若α⊥l ，βα//，则β⊥l D ．若α//l ，βα⊥，则β⊥l
5． 极坐标系中，点P ，Q 分别是曲线C 1：ρ=1与曲线C 2：ρ=2上任意两点，则|PQ|的最小值为（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．2
6． 若函数21,1,()ln ,1,
x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩则函数1
()2y f x x =+的零点个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 7． S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3a 8－2a 7＝4，则下列结论正确的是（ ） A ．S 18＝72 B ．S 19＝76 C ．S 20＝80
D ．S 21＝84
8． 已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，(1,0)A -，点P 是抛物线上的动点，则当||
||
PF PA 的值最小时，PAF ∆的 面积为（ ）
B.2
C.
D. 4
【命题意图】本题考查抛物线的概念与几何性质，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力.
9．已知函数f（x）=1+x﹣+﹣+…+，则下列结论正确的是（）
A．f（x）在（0，1）上恰有一个零点B．f（x）在（﹣1，0）上恰有一个零点
C．f（x）在（0，1）上恰有两个零点D．f（x）在（﹣1，0）上恰有两个零点
10．满足条件{0，1}∪A={0，1}的所有集合A的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．已知a n=（n∈N*），则在数列{a n}的前30项中最大项和最小项分别是（）
A．a1，a30B．a1，a9C．a10，a9D．a10，a30
12．直线在平面外是指（）
A．直线与平面没有公共点
B．直线与平面相交
C．直线与平面平行
D．直线与平面最多只有一个公共点
二、填空题
13．对任意实数x，不等式ax2﹣2ax﹣4＜0恒成立，则实数a的取值范围是．
14．设向量a＝（1，－1），b＝（0，t），若（2a＋b）·a＝2，则t＝________．
15．方程（x+y﹣1）=0所表示的曲线是．
16．如图，在矩形ABCD中，AB=
3
BC=，E在AC上，若BE AC
⊥，
则ED的长=____________
17．某工厂的某种型号的机器的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）的统计资料如表：
根据上表数据可得y与x之间的线性回归方程=0.7x+，据此模型估计，该机器使用年限为14年时的维修费用约为万元．
18．已知函数f（x）=，点O为坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N+），向量=（0，1），θn是向量
与i的夹角，则++…+=．
三、解答题
19．（本题满分12分）在ABC
∆中，已知角,,
A B C所对的边分别是,,
a b c，边
7
2
c=，且
tan tan tan 3A B A B +=-ABC ∆的面积为ABC S ∆=
a b +的值．
20．已知函数()x f x e x a =-+，21
()x g x x a e
=++，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x <成立，求的取值范围； （3）设1x ，2x 是函数()f x 的两个不同零点，求证：12
1x x e +<．
21．求下列各式的值（不使用计算器）：
（1）
；
（2）lg2+lg5﹣log 21+log 39．
22．火车站
北偏东
方向的
处有一电视塔,火车站正东方向的
处有一小汽车,测得
距离为31
,
该小汽车从处以60的速度前往火车站,20分钟后到达处,测得离电视塔21,问小汽车到火车站还需多长时间？
23．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=10，a2为整数，且S n≤S4。

（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n。

24．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲．
已知函数f（x）＝|x＋1|＋2|x－a2|（a∈R）．
（1）若函数f（x）的最小值为3，求a的值；
（2）在（1）的条件下，若直线y＝m与函数y＝f（x）的图象围成一个三角形，求m的范围，并求围成的三角形面积的最大值．
冠县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A 【解析】
P （X ≤90）＝P （X ≥110）＝110，P （90≤X ≤110）＝1－15＝45，P （100≤X ≤110）＝25，1000×2
5
＝400. 故选A.
2． 【答案】C
【解析】
【分析】将圆C 方程化为标准方程，找出圆心C 坐标与半径r ，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d ，与r 比较大小即可得到结果．
【解答】解：圆C 方程化为标准方程得：（x ﹣1）2+y 2
=2， ∴圆心C （1，0），半径r=，
∵≥＞1， ∴圆心到直线l 的距离d=
＜
=r ，且圆心（1，0）不在直线l 上，
∴直线l 与圆相交且一定不过圆心．
故选C 3． 【答案】A
【解析】根据复数的运算可知43)2()2(22
--=--=-=i i i i
i z ，可知z 的共轭复数为43z i =-+，故选A.
4． 【答案】C 111]
【解析】
考
点：线线，线面，面面的位置关系 5． 【答案】A
【解析】解：极坐标系中，点P ，Q 分别是曲线C 1：ρ=1与曲线C 2：ρ=2上任意两点， 可知两条曲线是同心圆，如图，|PQ|的最小值为：1． 故选：A ．
【点评】本题考查极坐标方程的应用，两点距离的求法，基本知识的考查．
6． 【答案】D 【
解
析
】
考点：函数的零点．
【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令0)(=x f ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在],[b a 上是连续的曲线，且0)()(<b f a f .还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
7． 【答案】
【解析】选B.∵3a 8－2a 7＝4， ∴3（a 1＋7d ）－2（a 1＋6d ）＝4，
即a 1＋9d ＝4，S 18＝18a 1＋18×17d 2＝18（a 1＋17
2d ）不恒为常数．
S 19＝19a 1＋19×18d
2＝19（a 1＋9d ）＝76，
同理S 20，S 21均不恒为常数，故选B. 8． 【答案】B
【解析】设2
(,)4y P y
，则
2
1||||
y PF PA +=.又设
2
14
y t +=，则244y t =-，1t …
，所以||||PF PA ==，当且仅当2t =，即2y =±时，等号成立，此时点(1,2)P ±，PAF ∆的面积为11
||||22222
AF y ⋅=⨯⨯=，故选B.
9． 【答案】B
【解析】解：∵f ′（x ）=1﹣x+x 2﹣x 3+…+x 2014
=（1﹣x ）（1+x 2+…+x 2012）+x 2014； ∴f ′（x ）＞0在（﹣1，0）上恒成立； 故f （x ）在（﹣1，0）上是增函数；
又∵f （0）=1，
f （﹣1）=1﹣1
﹣
﹣﹣…
﹣＜0；
故f （x ）在（﹣1，0）上恰有一个零点；
故选B ．
【点评】本题考查了导数的综合应用及函数零点的个数的判断，属于中档题．
10．【答案】D
【解析】解：由{0，1}∪A={0，1}易知： 集合A ⊆{0，1} 而集合{0，1}的子集个数为22
=4
故选D
【点评】本题考查两个集合并集时的包含关系，以及求n 个元素的集合的子集个数为2n
个这个知识点，为基
础题．
11．【答案】C
【解析】解：a
==1+，该函数在（0，）和（，+∞）上都是递减的，
n
图象如图，
∵9＜＜10．
∴这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a10，a9．
故选：C．
【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了数形结合的解题思想，解答的关键是根据数列通项公式画出图象，是基础题．
12．【答案】D
【解析】解：根据直线在平面外是指：直线平行于平面或直线与平面相交，
∴直线在平面外，则直线与平面最多只有一个公共点．
故选D．
二、填空题
13．【答案】（﹣4，0]．
【解析】解：当a=0时，不等式等价为﹣4＜0，满足条件；
当a≠0时，要使不等式ax2﹣2ax﹣4＜0恒成立，
则满足，
即，
∴
解得﹣4＜a＜0，
综上：a的取值范围是（﹣4，0]．
故答案为：（﹣4，0]．
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，注意要对二次项系数进行讨论．
14．【答案】
【解析】（2a＋b）·a＝（2，－2＋t）·（1，－1）
＝2×1＋（－2＋t）·（－1）
＝4－t ＝2，∴t ＝2. 答案：2
15．【答案】 两条射线和一个圆 ．
【解析】解：由题意可得x 2+y 2
﹣4≥0，表示的区域是以原点为圆心的圆的外部以及圆上的部分．
由方程（x+y ﹣1）
=0，可得x+y ﹣1=0，或 x 2+y 2=4，
故原方程表示一条直线在圆外的地方和一个圆，即两条射线和一个圆，
故答案为：两条射线和一个圆．
【点评】本题主要考查直线和圆的方程的特征，属于基础题．
16．【答案】21
2
【解析】在Rt △ABC 中，BC ＝3，AB ＝3，所以∠BAC ＝60°.
因为BE ⊥AC ，AB ＝3，所以AE ＝3
2
，在△EAD 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3，由余弦定理知，ED 2＝AE 2＋AD 2
－2AE ·AD ·cos ∠EAD ＝34＋9－2×32×3×32＝214，故ED ＝21
2.
17．【答案】 7.5
【解析】解：∵由表格可知=9， =4，
∴这组数据的样本中心点是（9，4），
根据样本中心点在线性回归直线=0.7x+
上，
∴4=0.7×9+，
∴
=﹣2.3，
∴这组数据对应的线性回归方程是=0.7x ﹣2.3，
∵x=14，
∴
=7.5，
故答案为：7.5
【点评】本题考查线性回归方程，考查样本中心点，做本题时要注意本题把利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的过程省掉，只要求a 的值，这样使得题目简化，注意运算不要出错．
18．【答案】 ．
【解析】解：点An （n ，
）（n ∈N +
），向量=（0，1），θn 是向量
与i 的夹角，
=
，
=
，…， =，
∴
++…+
=
+…+
=1﹣
=
，
故答案为：
． 【点评】本题考查了向量的夹角、数列“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】112
． 【解析】
试
题解析：由tan tan tan 3A B A B +=-
可得
tan tan 1tan tan A B
A B
+=-tan()A B +=
∴tan()C π-=tan C -=tan C =∵(0,)C π∈，∴3
C π
=
.
又ABC ∆的面积为ABC S ∆=1sin 2ab C =，即12ab =6ab =. 又由余弦定理可得222
2cos c a b ab C =+-，∴2227()2cos 23
a b ab π=+-，
∴22227()()32a b ab a b ab =+-=+-，∴2121()4a b +=，∵0a b +>，∴112
a b +=.1 考点：解三角形问题．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到两角和与两角差的正切函数公式、三角形的面积、正弦定理和余弦定理，以及特殊角的三角函数值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，其中熟练掌握基本公式和灵活运用公式是解答本题的关键，属于中档试题．
20．【答案】（１）()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；（２）1a >或0a <；（３）证明见解析． 【解析】
试
题解析： （1）'()1x f x e =-．
令'()0f x >，得0x >，则()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；] 令'()0f x <，得0x <，则()f x 的单调递减区间为(,0)-∞． （2）记()()()F x f x g x =-，则2
1()2x
x F x e x a a e
=-
-+-， 1
'()2x x
F x e e =+
-．
∵1220x x e e +-≥=，∴'()0F x ≥， ∴函数()F x 为(上的增函数， ∴当[]0,2x ∈时，()F x 的最小值为2(0)F a a =-．
∵存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x <成立，
∴()F x 的最小值小于0，即2
0a a -<，解得1a >或0a <．1
（3）由（1）知，0x =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点，即最小值为(0)1f a =+， 则只有1a <-时，函数()f x 由两个零点，不妨设12x x <， 易知10x <，20x >，
∴1222()()()()f x f x f x f x -=--22
22()()x
x e x a e x a -=-+-++2222x x e e x -=--，
令()2x
x
h x e e
x -=--（0x ≥），
考点：导数与函数的单调性；转化与化归思想．
21．【答案】
【解析】解：（1）
=4+1﹣﹣
=1；
（2）lg2+lg5﹣log21+log39
=1﹣0+2
=3．
【点评】本题考查对数的运算法则的应用，有理指数幂的化简求值，考查计算能力．22．【答案】
【解析】
解:由条件=,设,
在中,由余弦定理得
.
=.
在中,由正弦定理,得（）
（分钟）
答到火车站还需15分钟.
23．【答案】
【解析】（1）由a 1=10，a 2为整数，且S n ≤S 4得 a 4≥0，a 5≤0，即10+3d ≥0，10+4d ≤0，解得﹣≤d ≤﹣，
∴d=﹣3，
∴{a n }的通项公式为a n =13﹣3n 。

（2）∵b n ==
，
∴T n =b 1+b 2+…+b n =（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）
=。

24．【答案】
【解析】解：（1）f （x ）＝|x ＋1|＋2|x －a 2|
＝⎩⎪⎨⎪
⎧－3x ＋2a 2－1，x ≤－1，
－x ＋2a 2
＋1，－1＜x ＜a 2
，3x －2a 2
＋1，x ≥a 2
，
当x ≤－1时，f （x ）≥f （－1）＝2a 2＋2， －1＜x ＜a 2，f （a 2）＜f （x ）＜f （－1）， 即a 2＋1＜f （x ）＜2a 2＋2， 当x ≥a 2，f （x ）≥f （a 2）＝a 2＋1，
所以当x ＝a 2时，f （x ）min ＝a 2＋1，由题意得a 2＋1＝3，∴a ＝±2. （2）当a ＝±2时，由（1）知f （x ）＝
⎩⎪⎨⎪
⎧－3x ＋3，x ≤－1，－x ＋5，－1＜x ＜2，3x －3，x ≥2，
由y ＝f （x ）与y ＝m 的图象知，当它们围成三角形时，m 的范围为（3，6]，当m ＝6时，围成的三角形面积
最大，此时面积为1
2
×|3－（－1）|×|6－3|＝6.。