数列复习资料(含解答)

(5)单调性：或⇔{an}是________数列；或⇔{an}是________数列；q＝1⇔{an}是____数列；q<0⇔{an}是________数列．
9．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝
10．等比数列前n项和的性质
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__________________________．
(3)am，am+k,am+2k，am+3k,…，仍是等比数列，公比为，
(4)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan} (λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
＝－n×5n＋1，
∴Tn＝(4n×5n－5n＋1)，
Sn＝(4n×5n－5n＋1)log45.
(2)∵bn＝anlog4an＝nnlog4，
∴bn＋1－bn＝(n＋1)n＋1log4－
nnlog4
＝nlog4>0，
∵n>0，log4<0，
∴－<0，∴n>14，
即n≥15时，bn<bn＋1.
故所求的n的最小值是15.
解(1)∵n≥2时，an＝7S来自－1＋2，∴an＋1＝7Sn＋2，
两式相减，得an＋1－an＝7an，∴an＋1＝8an(n≥2)．
又a1＝2，∴a2＝7a1＋2＝16＝8a1，
∴an＋1＝8an(n∈N*)．
∴{an}是一个以2为首项，8为公比的等比数列，
∴an＝2·8n－1＝23n－2.
(2)∵bn＝＝
A．14B．21C．28D．35
2．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前三项的和S3＝21，则a3＋a4＋a5等于()
A．33B．72C．84D．189
3．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是()
A．3B．1C．0D．－1
4、(2012辽宁)已知等比数列｛an｝为递增数列.若a1>0,且2（an+an+2）=5an+1,则数列｛an｝的公比q = _____________________.
从而 ， ，
所以
故
2、（接上一讲例6：2011四川20）
例3.已知正项等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{an}的通项an和前n项和Sn.
例4.已知数列{log2(an－1)}为等差数列，且a1＝3，a2＝5.
(1)求证：数列{an－1}是等比数列；
(2)求＋＋…＋的值．
证明 设log2(an－1)－log2(an－1－1)＝d(n≥2)，因为a1＝3，a2＝5，
所以d＝log2(a2－1)－log2(a1－1)＝log24－log22＝1
所以log2(an－1)＝n，所以an－1＝2n，
所以＝2 (n≥2)，所以{an－1}是以2为首项，2为公比的等比数列
(2)解 由(1)可得an－1＝(a1－1)·2n－1，所以an＝2n＋1
所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－.
A．0B．3C．8D．11
8（2012高考四川12）设函数 ，数列 是公差不为0的等差数列， ，则 （）
A、0 B、7 C、14 D、21
9（2012高考浙江）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn= ，n∈N*，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N*.
（1）求an，bn；
（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为______．
【典例讲解】
例1.若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数。
解析方法一 设此等差数列为{an}共n项，
依题意有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，①
4．等差数列{an}（公差为d）的性质
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有__________，特别地，当m＋n＝2p时，______________.
(2)am，am+k,am+2k，am+3k,…，仍是等差数列，公差为kd，
(3)等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
所以，数列的前n项和Sn＝4n或Sn＝ .
例61、（2014四川卷19(1)）设等差数列 的公差为 ，点 在函数 的图象上（ ）。若 ，点 在函数 的图象上，求数列 的前 项和 ；
解：（1）点 在函数 的图象上，所以 ，又等差数列 的公差为 ,所以
因为点 在函数 的图象上，所以 ，所以
又 ，所以
2、（2011四川卷20（1））
＝(－)，
∴Tn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)<.
∴≥，∴最小正整数m＝7.
例2.已知数列{an}是首项、公比都为q(q>0且q≠1)的等比数列，bn＝anlog4an(n∈N*)．
(1)当q＝5时，求数列{bn}的前n项和Sn；
(2)当q＝时，若bn<bn＋1，求n的最小值．
“Sn－qSn”的表达式．
5、（2013辽宁卷）已知等比数列 是递增数列, 是 的前 项和,若 是方程 的两个根,则 ____________.
6．(2011·平顶山月考)在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.
7（2011四川8）．数列 的首项为 ， 为等差数列且 ．若则 ， ，则
(4)等差数列的单调性：若公差d>0，则数列为____________；若d<0，则数列为__________；若d＝0，则数列为________．
5．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q≠0)．
c．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝______；
d．12＋22＋32＋…＋n2＝__________；
e．13＋23＋33＋…＋n3＝__________________.
(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．
例5 (2013四川卷16)(12分)在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．
解：设该数列公差为d，前n项和为Sn.
由已知，可得2a1＋2d＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)．
所以，a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0，解得a1＝4，d＝0，或a1＝1，d＝3，即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝________，an＝am＋________ (m，n∈N*)．
(2)前n项和公式：Sn＝__________＝____________.
3．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n.
数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn＝__________.
得，∴.
∴an＝4n－2.则bn＝an－30＝2n－31.
解得≤n≤.
∵n∈N*，∴n＝15.∴{bn}前15项为负值.∴S15最小．
可知b1＝－29，d＝2，
∴S15＝＝－225.
方法二 同方法一求出bn＝2n－31.
∵Sn＝＝n2－30n＝(n－15)2－225，
∴当n＝15时，Sn有最小值，且最小值为－225．
数列专题
（一）等差数列、等比数列及其前n项和
【知识点梳理】
1．等差数列的有关定义
(1)一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________ (n∈N*，d为常数)．
(2)数列a，A，b成等差数列的充要条件是__________，其中A叫做a，b的__________．
由Sn＝＝＝360，得n＝20.
所以该等差数列有20项．
方法二 设此等差数列共有n项，首项为a1，公差为d，
则S5＝5a1＋d＝34，①
Sn－Sn－5＝[＋na1]－[(n－5)a1＋d]
＝5a1＋(5n－15)d＝146.②
①②两式相加可得10a1＋5(n－1)d＝180，
∴a1＋d＝18，
代入Sn＝na1＋d
例31、（接上一讲例6：2014四川19）．设等差数列 的公差为 ，点 在函数 的图象上（ ）。
（1）若 ，点 在函数 的图象上，求数列 的前 项和 ；（已做）
（2）若 ，函数 的图象在点 处的切线在 轴上的截距为 ，求数列 的前 项和 。
（2）由
函数 的图象在点 处的切线方程为
所以切线在 轴上的截距为 ，从而 ，故
常见的裂项公式有：
① ＝－；
②＝；
③＝－.
(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
(5)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导．
【例题讲解】
例1：已知数列{an}，Sn是其前n项和，且an＝7Sn－1＋2(n≥2)，a1＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<对所有n∈N*都成立的最小正整数m.
10（2013年高考山东卷20）设等差数列 的前 项和为 , 且 ,
(Ⅰ)求数列 的通项公式
(Ⅱ变)设数列 满足 ,求 的通项公式
.解：（I）设等差数列 的首项为 ，公差为 ．
由 ， 得
．
解得 ．因此 ．
（II）由已知 ，
当 时， ；
当 时， ．
所以 ， ．
由（I）知 ，
所以 ．
又 ，
又
两式相减得
，
所以 ．
（二）数列求和
【知识点梳理】
求数列的前n项的和
(1)公式法
①等差数列前n项和Sn＝____________＝________________，推导方法：____________；
②等比数列前n项和Sn＝推导方法：
③常见数列的前n项和：
a．1＋2＋3＋…＋n＝__________；
b．2＋4＋6＋…＋2n＝__________；
6．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝______________.
7．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．
8．等比数列{an}（公比为q）的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·________ (n，m∈N*)．
(2)若a1<0，d>0，且满足，前n项和Sn最小；
(3)除上面方法外，还可将{an}的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意n∈N*.
解 方法一∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差数列．
设{an}的首项为a1，公差为d，由a3＝10，S6＝72，
解(1)由题意得an＝qn，
∴bn＝an·log4an＝qn·log4qn
＝n·5n·log45，
∴Sn＝(1×5＋2×52＋…＋n×5n)log45，
设Tn＝1×5＋2×52＋…＋n×5n，①
则5Tn＝1×52＋2×53＋…＋(n－1)×5n＋n×5n＋1，②
①－②得－4Tn＝5＋52＋53＋…＋5n－n×5n＋1
设 为非零实数，
（1）写出 并判断 是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；
例7（2012四川卷20）（12分)已知数列 的前 项和为 ，且 对一切正整数 都成立。
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，当 为何值时， 最大？并求出 的最大值。
【课后检测】
1．如果等差数列中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()
＝n＝360，
得18n＝360，∴n＝20.
所以该数列的项数为20项．
例2：已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．
分析：若{an}是等差数列，求前n项和的最值时，
(1)若a1>0，d<0，且满足，前n项和Sn最大；
an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝146.②
根据等差数列性质，得
a5＋an－4＝a4＋an－3＝a3＋an－2＝a2＋an－1＝a1＋an.
将①②两式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋(a4＋an－3)＋(a5＋an－4)＝5(a1＋an)＝180，
∴a1＋an＝36.