人教版高中数学-三角函数定义的巧用

三角函数定义的巧用
定义是方法的来源之一，回归定义解题展现了方法产生的根源．某些三角问题，若回归到三角函数的定义去解，则可避繁就简，简捷获解．请看下面的例子．
例1 若π06θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，，那么（ ） Ａ．1sin cos tan θθθ<< Ｂ．1cos sin tan θθθ
<< Ｃ．1sin cos tan θθθ
<< Ｄ．1cos sin tan θθθ
<< 解析：设()P x y ，是角θ终边上任一点，因为π06θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0y x r <<<，y x x r r y <<，即1sin cos tan θθθ
<<． 故应选（Ａ）．
例2 已知1sin cos 5
θθ+=，(0π)θ∈，，那么tan θ的值是 ．
解析：设()P x y ，是角θ终边上任一点，P 到坐标原点的距离为r ，则0r ≠，且sin y r θ=，cos x r
θ=． 由已知，有
15y x r +=， （1） 即22225()x y x y +=+，整理解得
34y x =-，或43
y x =-． 因为0πθ<<，所以0y >，再由（1）知0x y +>， 所以01x y >>-，1y x
<-． 所以4tan 3
y x θ=
=-． 例3 已知α为第一象限角，求证sin cos 1αα+>．
证明：设()P x y ，是角α终边上一点，则由单位圆可知，0x y r +>>． 所以，sin cos 1y x x y r r r
αα++=+=>． 例4 求证442223sin cos 2cos (1tan sin )ααααα--=++．
证明：设()P x y ，是角α终边上任一点，则sin y r α=，cos x r α=，tan y x
α=． 所以，左边44442222222
44444()223332y x y x x y x y x y r r r r r
++-=--=-=-=+； 右边222222222
2222224
22122x y y x x y y x y r x r r x r r ⎛⎫⎛⎫+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
左边 右边，故原等式成立．。