《一元一次方程》PPT优秀课件
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列方程:方程是根据题中的等量关系列出的等式. 既可用已知数,又可用未知数,解决问题从比算较式方到便方.程是数
学的进步！
探究新知
观察下列方程，它们有什么共同点？
x x 1 60 70
70 y=60（y+1） 70（z-1）=60z
问题1：每个方程中，各含有几个未知数？ 1个 问题2：说一说每个方程中未知数的次数. 1次 问题3：等号两边的式子有什么共同点？ 都是整式
x
2
⑤x 2 y 1
其中是方程的是 ①②③④⑤ ，是一元一次方程的
是 ②③ ．(填序号)
课堂检测
能力提升题
根据下列问题，找出等量关系，设未知数列出方程，并指出其 是不是一元一次方程.
（1）环形跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，可以 跑3000m？
一周长×周数=总路程 解：设沿跑道跑x周.
400x=3000， 是一元一次方程.
含有未知数的等式
方程
探究新知
一辆快车和一辆慢车同时从A地出发沿同一公路同方 向行驶，快车的行驶速度是70 km/h，慢车的行驶速度是 60 km/h，快车比慢车早1 h经过B地，A，B两地间的路程 是多少？
60 km/h
1h
70 km/h
探究新知 (1) 上述问题中涉及到了哪些量？ 路程：AB之间的路程. 速度：快车70 km/h，慢车60 km/h. 时间：快车比慢车早1h经过B地.
程，则 m= 1 .
加了限制条件，需进行取舍.
方法总结：一元一次方程中求字母的值，需谨记两个条件： ①未知数的次数为1；②未知数的系数不为0.
巩固练习
方程3x5-2k -8=0是关于x的一元一次方程，则 k=___2__. 方程x|m| +4=0是关于x的一元一次方程，则 m=_1_或__-1_. 方程(m-1)x -2=0是关于x的一元一次方程，则 m__≠_1__.
探究新知 素养考点 3 根据实际问题建立方程模型
例3 根据下列问题，设未知数并列出方程： (1) 用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边 长是多少？
解：设正方形的边长为x cm. 等量关系：正方形边长×4=周长，
x 列方程：4x 24 .
探究新知
(2) 一台计算机已使用1700 h，预计每月再使用150 h， 经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间 2450 h？
解：设从甲队调给乙队x人，依题意，得 54－x＝ 13(66＋x).
探究新知
知识点 2 方程的解
对于方程4x=24，容易知道 x = 6可以使等式成立， 对 于方程 170+15x =245，你知道 x 等于什么时，等式成立吗？ 我们来试一试.
x 1 2 3 4 5 6…
170+15x 185 200 215 230 245 260 …
快车每小时比慢车多 走10km.
相同的时间，快车比 慢车多走60km.
慢车 610hkm
快车走了6h.
A
快车 B
算式：60 ÷(70-60)×70=420(km).
探究新知
（2）如果将AB之间的路程用x表示，用含x的式子表
示下列时间关系：
x
快车行完AB全程所用时间：70
h.
慢车行完AB全程所用时间：6x0 h.
x=3是不是 方程的解呢？
探究新知
方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值叫方程 的解.求方程解的过程叫做解方程.
x=420是
x 60
x 70
1 方程的解吗?
探究新知 素养考点 方程的解的识别
例 x=1000和x=2000中哪一个是方程 0.52x-(1-0.52)x=80 的解？ 解：当x=1000时， 方程左边=0.52×1000-(1-0.52)×1000=520-480=40， 右边=80，左边≠右边，所以x=1000不是此方程的解. 当 x=2000时， 方程左边= 0.52×2000-(1-0.52)×2000=1040-960=80， 右边=80，左边=右边，所以x=2000是此方程的解.
方程 的解
解方程就是求出使方程中等号两边相等的未知数 的值，这个值就是方程的解.
建立 方程 模型
实际 问题
设未 找等量 知数 关系
列方程
一元一次方程
解：因为方程 (m 2)x( m 1) 3 m 5 是关于x的一元 一次方程，
所以|m|－1 = 1，且m－2≠0，得= －2.
所以原方程为－4x+3 = －7.
课堂小结
方程
含有未知数的等式叫做方程.
一元一 次方程
只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式， 这样的方程叫做一元一次方程.
人教版 数学 七年级 上册
3.1 从算式到方程
3.1.1 一元一次方程
导入新知
汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地的时间 如表所示，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50千米， 距秀水70千米．王家庄到翠湖的路程有多远？
地名 时间 王家庄 10:00
青山 13:00 秀水 15:00
导入新知
用算术方法解决 汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水 三地的时间如表所示，翠湖在青山、秀水两 地之间，距青山50千米，距秀水70千米．王 家庄到翠湖的路程有多远？
解：设卖出铅笔x支，则卖出圆珠笔（60-x）支. 等量关系：x支铅笔的售价+（60-x）支圆珠笔的售价=87
列方程：1.2 0.8x 2 0.960 x 87 .
探究新知
思考：1. 怎样将一个实际问题转化为方程问题？
2. 列方程的依据是什么？
抓关键句子找等量关系
实际问题
一元一次方程
设未知数列方程
课堂检测 （2）甲种铅笔每支0.3 元，乙种铅笔每支0.6 元，用 9 元 钱买了两种铅笔共20 支，两种铅笔各买了多少支？ 买甲种共用的钱+买乙种共用的钱=9元 甲种支数+乙种支数=20支
解：设甲种铅笔买了x支，乙种铅笔买了(20-x)支. 0.3x+0.6(20－x)=9， 是一元一次方程.
课堂检测
链接中考
由于受H7N9禽流感的影响,我市某城区今年2月份鸡的价格比1
月份下降a%,3月份比2月份下降b%,已知1月份鸡的价格为24
元/千克.设3月份鸡的价格为m元/千克,则( D )
A. m=24(1-a%-b%)
B. m=24(1-a%)b%
C. m=24-a%-b%
D. m=24(1-a%)(1-b%)
地名 时间 王家庄 10:00
青山 13:00 秀水 15:00
50 + 70 × (13 - 10) + 50 15 - 13
你会用方程方法解决这个实际问题吗？
导入新知 用方程来解决
汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀 水三地的时间如表所示，翠湖在青山、秀 水两地之间，距青山50千米，距秀水70千 米．王家庄到翠湖的路程有多远？
等量关系：女生人数- 男生人数=8， 列方程：0.52x- (1-0.52)x=8.
探究新知
例4 某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售 价为2元．该店在“6·1”儿童节举行文具优惠售卖活动， 铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果 两种笔共卖出60支，卖得金额87元.求卖出铅笔的支数.
两车所用的时间关系为：快车比慢车早到1h,
即：（慢车用时）- （快车用时）=1
x x 1 60 70
A
慢车 1h 快车 B
探究新知
（3）如果用y表示快车行完AB的总时间，你能从快车与慢车 的路程关系中找到等量关系，从而列出方程吗？
慢车 1h
A
快车 B
等量关系: 快车y小时路程=慢车（y+1）小时路程. 方程： 70 y =60（y+1）.
探究新知
一元一次方程
只含有一个未知数, 未知数的次数都是1,
（一元）
（一次）
等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
探究新知
素养考点 1 一元一次方程的识别
不是整 例1 哪些是一元一次方程？
式方程 （1） 1 1
不是等式
（3）
x-6
2x 1
； （2）3a 9 15 ； ； （4）2m 15 3 ；
是不等 式，不 是方程
（5）3x－5＝5x＋4 ； （6）x2＋2 x-6 0 ；
（7）3x＋1.8＝3 y .
含有两个
解析： 只含有一个未知数（元）未，知未数知数的次数都是1
（次）的整式方程叫做一元一次方程．
（4）（5）是一元一次方程.
巩固练习
下列哪些是一元一次方程？
（1）3y-7 ；
（2）7a+8=10 ；√
我们知道当x=5时，170+15x的值是245，所以方程 170+15x = 245中的未知数的值应是5．
探究新知
2x-3=5x-15
解：把x=3代入方程： 左边=2×3-3 = 3， 右边=5×3-15 = 0， 因为左边≠右边， 所以x=3不是方程的解. x= 4, 5, 6时呢?
x=4是方程2x-3=5x-15的解.
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系 列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.
巩固练习
根据下列问题，设出未知数，列出方程： (1)某长方形足球场的周长为310米，长和宽之差为25 米，求这个足球场的宽．
解：设这个足球场的宽为x米，依题意，得 2x＋2(x＋25)＝310.
(2)甲队有54人，乙队有66人，问从甲队调给乙队几人，可 使甲队的人数是乙队人数的三分之一 ？
（3）16y-7=9-2y ； √ （4）7y-y2=12；
（5）-4.5y-12=x-10 ； （7）7-13 y 9 .
（6）3b-3<10 ；
探究新知 素养考点 2 利用一元一次方程的定义求字母的值
例2 若关于x的方程 2x n 1 9 0 是一元一次方程，则 n 的值为 2或－2.
【变式题】 方程 (m 1)x m 1 0 是关于x的一元一次方
探究新知
（4）如果用z表示慢车行完AB的总时间，你能找到等量 关系列出方程吗?
慢车 1h
A
快车 B
等量关系：慢车z小时路程=快车提前1小时走的路程.
方程：70（z-1）=60z.
探究新知
比较：列算式和列方程. 列算式:列出的算式表示解题的计算过程, 只能 用已知数.对于较复杂的问题,列算式比较困难.
1. 理解方程及一元一次方程的概念，会检验一 个数是不是方程的解.
探究新知
知识点 1 方程和一元一次方程的概念
在小学，我们已经见过像 2x=50，3x+1=4，5x-7=8 这样简 单的方程，还有下面列出的式子：
如： x 50 x 70
3
5
又如: 6x-11=12
x+1=2x-5
x2 –8x+2=0 |x+5| =2
（3）一个梯形的下底比上底多2 cm，高是5 cm，面 积是40 cm2，求上底．
1 2 (上底+下底）×高=梯形面积
解：设上底为x cm，则下底为(x+2)cm. 1 (x x 2)5 40 ， 是一元一次方程.
2
课堂检测
拓广探索题
已知方程 (m 2)x( m 1) 3 m 5 是关于x的一元一次方程，求m 的值，并写出其方程．
地名 时间 王家庄 10:00
青山 13:00 秀水 15:00
如果设王家庄到翠湖的路程为x千米，你能列出方程吗？
70千米 x千米 50千米
王家庄
青山 翠
秀水
湖
示意图
素养目标
3. 通过列方程的过程，感受方程作为刻画现实世界 有效模型的意义，从而体会数学的方程模型思想.
2.通过实际问题的分析找出等量关系列出方程.
探究新知
方法归纳
判断一个数值是不是方程的解的步骤：
1. 将数值代入方程左边进行计算;
2. 将数值代入方程右边进行计算;
3. 若左边＝右边，则是方程的解，反之，则不是．
巩固练习
下列一元一次方程中，解为 x 1 的是（ B ）
A. 2x 1 4 C. 2x 3 5
B. x 1 2
D. x 2 2x 1
解：设x月后这台计算机的使用时间达到2450h. 等量关系：已用时间+再用时间=检修时间， 列方程：1700 150x 2450 .
探究新知 (3) 某校女生占全体学生数的52%，比男生多8人，这 个学校一共有多少学生？
解：设这个学校的学生人数为x，那么女生人数为 0.52x，男生人数为(1- 0.52)x.
课堂检测
基础巩固题
1. x =1是下列哪个方程的解 （ B ）
A. 1 x 2
C.
x
2
1
x
2
B. 2x 1 4 3x
D. x 4 5x 2
2. 若 x =1是方程x2 －2mx +1=0的一个解，则m的值为（ C ）
A. 0
B. 2
C. 1
D. -1
课堂检测
3. 下列方程：
①x 2 1 ；②3x 11 ；③ x 5x 1 ；④y2 4 y 3 ；
学的进步！
探究新知
观察下列方程，它们有什么共同点？
x x 1 60 70
70 y=60（y+1） 70（z-1）=60z
问题1：每个方程中，各含有几个未知数？ 1个 问题2：说一说每个方程中未知数的次数. 1次 问题3：等号两边的式子有什么共同点？ 都是整式
x
2
⑤x 2 y 1
其中是方程的是 ①②③④⑤ ，是一元一次方程的
是 ②③ ．(填序号)
课堂检测
能力提升题
根据下列问题，找出等量关系，设未知数列出方程，并指出其 是不是一元一次方程.
（1）环形跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，可以 跑3000m？
一周长×周数=总路程 解：设沿跑道跑x周.
400x=3000， 是一元一次方程.
含有未知数的等式
方程
探究新知
一辆快车和一辆慢车同时从A地出发沿同一公路同方 向行驶，快车的行驶速度是70 km/h，慢车的行驶速度是 60 km/h，快车比慢车早1 h经过B地，A，B两地间的路程 是多少？
60 km/h
1h
70 km/h
探究新知 (1) 上述问题中涉及到了哪些量？ 路程：AB之间的路程. 速度：快车70 km/h，慢车60 km/h. 时间：快车比慢车早1h经过B地.
程，则 m= 1 .
加了限制条件，需进行取舍.
方法总结：一元一次方程中求字母的值，需谨记两个条件： ①未知数的次数为1；②未知数的系数不为0.
巩固练习
方程3x5-2k -8=0是关于x的一元一次方程，则 k=___2__. 方程x|m| +4=0是关于x的一元一次方程，则 m=_1_或__-1_. 方程(m-1)x -2=0是关于x的一元一次方程，则 m__≠_1__.
探究新知 素养考点 3 根据实际问题建立方程模型
例3 根据下列问题，设未知数并列出方程： (1) 用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边 长是多少？
解：设正方形的边长为x cm. 等量关系：正方形边长×4=周长，
x 列方程：4x 24 .
探究新知
(2) 一台计算机已使用1700 h，预计每月再使用150 h， 经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间 2450 h？
解：设从甲队调给乙队x人，依题意，得 54－x＝ 13(66＋x).
探究新知
知识点 2 方程的解
对于方程4x=24，容易知道 x = 6可以使等式成立， 对 于方程 170+15x =245，你知道 x 等于什么时，等式成立吗？ 我们来试一试.
x 1 2 3 4 5 6…
170+15x 185 200 215 230 245 260 …
快车每小时比慢车多 走10km.
相同的时间，快车比 慢车多走60km.
慢车 610hkm
快车走了6h.
A
快车 B
算式：60 ÷(70-60)×70=420(km).
探究新知
（2）如果将AB之间的路程用x表示，用含x的式子表
示下列时间关系：
x
快车行完AB全程所用时间：70
h.
慢车行完AB全程所用时间：6x0 h.
x=3是不是 方程的解呢？
探究新知
方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值叫方程 的解.求方程解的过程叫做解方程.
x=420是
x 60
x 70
1 方程的解吗?
探究新知 素养考点 方程的解的识别
例 x=1000和x=2000中哪一个是方程 0.52x-(1-0.52)x=80 的解？ 解：当x=1000时， 方程左边=0.52×1000-(1-0.52)×1000=520-480=40， 右边=80，左边≠右边，所以x=1000不是此方程的解. 当 x=2000时， 方程左边= 0.52×2000-(1-0.52)×2000=1040-960=80， 右边=80，左边=右边，所以x=2000是此方程的解.
方程 的解
解方程就是求出使方程中等号两边相等的未知数 的值，这个值就是方程的解.
建立 方程 模型
实际 问题
设未 找等量 知数 关系
列方程
一元一次方程
解：因为方程 (m 2)x( m 1) 3 m 5 是关于x的一元 一次方程，
所以|m|－1 = 1，且m－2≠0，得= －2.
所以原方程为－4x+3 = －7.
课堂小结
方程
含有未知数的等式叫做方程.
一元一 次方程
只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式， 这样的方程叫做一元一次方程.
人教版 数学 七年级 上册
3.1 从算式到方程
3.1.1 一元一次方程
导入新知
汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地的时间 如表所示，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50千米， 距秀水70千米．王家庄到翠湖的路程有多远？
地名 时间 王家庄 10:00
青山 13:00 秀水 15:00
导入新知
用算术方法解决 汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水 三地的时间如表所示，翠湖在青山、秀水两 地之间，距青山50千米，距秀水70千米．王 家庄到翠湖的路程有多远？
解：设卖出铅笔x支，则卖出圆珠笔（60-x）支. 等量关系：x支铅笔的售价+（60-x）支圆珠笔的售价=87
列方程：1.2 0.8x 2 0.960 x 87 .
探究新知
思考：1. 怎样将一个实际问题转化为方程问题？
2. 列方程的依据是什么？
抓关键句子找等量关系
实际问题
一元一次方程
设未知数列方程
课堂检测 （2）甲种铅笔每支0.3 元，乙种铅笔每支0.6 元，用 9 元 钱买了两种铅笔共20 支，两种铅笔各买了多少支？ 买甲种共用的钱+买乙种共用的钱=9元 甲种支数+乙种支数=20支
解：设甲种铅笔买了x支，乙种铅笔买了(20-x)支. 0.3x+0.6(20－x)=9， 是一元一次方程.
课堂检测
链接中考
由于受H7N9禽流感的影响,我市某城区今年2月份鸡的价格比1
月份下降a%,3月份比2月份下降b%,已知1月份鸡的价格为24
元/千克.设3月份鸡的价格为m元/千克,则( D )
A. m=24(1-a%-b%)
B. m=24(1-a%)b%
C. m=24-a%-b%
D. m=24(1-a%)(1-b%)
地名 时间 王家庄 10:00
青山 13:00 秀水 15:00
50 + 70 × (13 - 10) + 50 15 - 13
你会用方程方法解决这个实际问题吗？
导入新知 用方程来解决
汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀 水三地的时间如表所示，翠湖在青山、秀 水两地之间，距青山50千米，距秀水70千 米．王家庄到翠湖的路程有多远？
等量关系：女生人数- 男生人数=8， 列方程：0.52x- (1-0.52)x=8.
探究新知
例4 某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售 价为2元．该店在“6·1”儿童节举行文具优惠售卖活动， 铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果 两种笔共卖出60支，卖得金额87元.求卖出铅笔的支数.
两车所用的时间关系为：快车比慢车早到1h,
即：（慢车用时）- （快车用时）=1
x x 1 60 70
A
慢车 1h 快车 B
探究新知
（3）如果用y表示快车行完AB的总时间，你能从快车与慢车 的路程关系中找到等量关系，从而列出方程吗？
慢车 1h
A
快车 B
等量关系: 快车y小时路程=慢车（y+1）小时路程. 方程： 70 y =60（y+1）.
探究新知
一元一次方程
只含有一个未知数, 未知数的次数都是1,
（一元）
（一次）
等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
探究新知
素养考点 1 一元一次方程的识别
不是整 例1 哪些是一元一次方程？
式方程 （1） 1 1
不是等式
（3）
x-6
2x 1
； （2）3a 9 15 ； ； （4）2m 15 3 ；
是不等 式，不 是方程
（5）3x－5＝5x＋4 ； （6）x2＋2 x-6 0 ；
（7）3x＋1.8＝3 y .
含有两个
解析： 只含有一个未知数（元）未，知未数知数的次数都是1
（次）的整式方程叫做一元一次方程．
（4）（5）是一元一次方程.
巩固练习
下列哪些是一元一次方程？
（1）3y-7 ；
（2）7a+8=10 ；√
我们知道当x=5时，170+15x的值是245，所以方程 170+15x = 245中的未知数的值应是5．
探究新知
2x-3=5x-15
解：把x=3代入方程： 左边=2×3-3 = 3， 右边=5×3-15 = 0， 因为左边≠右边， 所以x=3不是方程的解. x= 4, 5, 6时呢?
x=4是方程2x-3=5x-15的解.
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系 列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.
巩固练习
根据下列问题，设出未知数，列出方程： (1)某长方形足球场的周长为310米，长和宽之差为25 米，求这个足球场的宽．
解：设这个足球场的宽为x米，依题意，得 2x＋2(x＋25)＝310.
(2)甲队有54人，乙队有66人，问从甲队调给乙队几人，可 使甲队的人数是乙队人数的三分之一 ？
（3）16y-7=9-2y ； √ （4）7y-y2=12；
（5）-4.5y-12=x-10 ； （7）7-13 y 9 .
（6）3b-3<10 ；
探究新知 素养考点 2 利用一元一次方程的定义求字母的值
例2 若关于x的方程 2x n 1 9 0 是一元一次方程，则 n 的值为 2或－2.
【变式题】 方程 (m 1)x m 1 0 是关于x的一元一次方
探究新知
（4）如果用z表示慢车行完AB的总时间，你能找到等量 关系列出方程吗?
慢车 1h
A
快车 B
等量关系：慢车z小时路程=快车提前1小时走的路程.
方程：70（z-1）=60z.
探究新知
比较：列算式和列方程. 列算式:列出的算式表示解题的计算过程, 只能 用已知数.对于较复杂的问题,列算式比较困难.
1. 理解方程及一元一次方程的概念，会检验一 个数是不是方程的解.
探究新知
知识点 1 方程和一元一次方程的概念
在小学，我们已经见过像 2x=50，3x+1=4，5x-7=8 这样简 单的方程，还有下面列出的式子：
如： x 50 x 70
3
5
又如: 6x-11=12
x+1=2x-5
x2 –8x+2=0 |x+5| =2
（3）一个梯形的下底比上底多2 cm，高是5 cm，面 积是40 cm2，求上底．
1 2 (上底+下底）×高=梯形面积
解：设上底为x cm，则下底为(x+2)cm. 1 (x x 2)5 40 ， 是一元一次方程.
2
课堂检测
拓广探索题
已知方程 (m 2)x( m 1) 3 m 5 是关于x的一元一次方程，求m 的值，并写出其方程．
地名 时间 王家庄 10:00
青山 13:00 秀水 15:00
如果设王家庄到翠湖的路程为x千米，你能列出方程吗？
70千米 x千米 50千米
王家庄
青山 翠
秀水
湖
示意图
素养目标
3. 通过列方程的过程，感受方程作为刻画现实世界 有效模型的意义，从而体会数学的方程模型思想.
2.通过实际问题的分析找出等量关系列出方程.
探究新知
方法归纳
判断一个数值是不是方程的解的步骤：
1. 将数值代入方程左边进行计算;
2. 将数值代入方程右边进行计算;
3. 若左边＝右边，则是方程的解，反之，则不是．
巩固练习
下列一元一次方程中，解为 x 1 的是（ B ）
A. 2x 1 4 C. 2x 3 5
B. x 1 2
D. x 2 2x 1
解：设x月后这台计算机的使用时间达到2450h. 等量关系：已用时间+再用时间=检修时间， 列方程：1700 150x 2450 .
探究新知 (3) 某校女生占全体学生数的52%，比男生多8人，这 个学校一共有多少学生？
解：设这个学校的学生人数为x，那么女生人数为 0.52x，男生人数为(1- 0.52)x.
课堂检测
基础巩固题
1. x =1是下列哪个方程的解 （ B ）
A. 1 x 2
C.
x
2
1
x
2
B. 2x 1 4 3x
D. x 4 5x 2
2. 若 x =1是方程x2 －2mx +1=0的一个解，则m的值为（ C ）
A. 0
B. 2
C. 1
D. -1
课堂检测
3. 下列方程：
①x 2 1 ；②3x 11 ；③ x 5x 1 ；④y2 4 y 3 ；