绝对值方程

绝对值方程
NO1.【一元一次绝对值方程】背景介绍
只有一个未知数，未知数次数为一，且绝对值中含有未知数的方程叫做一元一次绝对值方程。

绝对值方程的主要解法为零点分段法和绝对值的几何意义法
NO2.【解一元一次绝对值方程】原理
一元一次绝对值方程可以大体分为三类： 第一类：-(0)
x a m m =≥第二类：()
x a k x b a b −=−≤第三类：()
x a x b n n a b −+−=≥−A ． 零点分段法：
第一类方程可化为：;x a m x a m −=−=−，分别解这两个一元一次方程即可求得绝对值方程的根
对于第二类方程：当x a ≤时，原方程可化为：()
a x k
b x −=−当a x b ≤≤，原方程可化为：()x a k b x −=−
当x b ≥ ，原方程可化为：()
x a k x b −=−分别解以上方程即可求出x 的值（需要注意的是并不是每一个方程都有解） 对于第三类方程：当x a ≤时，原方程可化为：a x b x n −+−=
当a x b ≤≤，原方程可化为：x a b x n −+−=
当x b ≥ ，原方程可化为：x a x b n −+−=
分别解以上方程即可求出x 的值（需要注意的是并不是每一个方程都有解）
B ． 几何意义法
对于第一类方程可以理解为在数轴上到点a 的距离等于m 的点，观察发现这样的点有两个，分别为m a m a +−和
对于第二类方程可以理解为在数轴上到点a 和点b 的距离之比等于k 的点，当k=1时，该点是点a 和点b 的中点，当k ＞1时，在ab 之间靠近点a 处有一个点，它把数轴在ab 之间的线段，分成两部分，比为1：k ，那么这个点时（k+1）分点，近点a 处；
在ab 两点之外则该点在点b 右侧，与b 的距离等1()1
b a k −−。

对于第三类方程可以理解为在数轴上到点a 和点b 的距离之和等于n 的点，发现在ab 之间的点，距离之和为定值，等于b a −，若n=b a −，则在ab 之间的点的任意一点都符合题意，如果n>b a −,则需要在ab 两侧，与点a 和点b 距离分别为
2n b a −+的点上，经过计算分别为2n b a ++和2
n b a −++；若n<b a −,则不存在这样的点，相应的这个方程无解。

NO3.【解一元一次绝对值方程】识记技巧
识别技巧：
（1）绝对值中含有未知数
（2）一元一次方程
【代数法】
（1）零点分段
（2）大小排列
（3）分别化简
（4）分别求解
【几何意义法】
代数式转化为几何距离
NO4. 【解一元一次绝对值方程】典型题型
例1. 阅读解题：解方程：|3|1x =．
①当30x 时，原方程可化为一元一次方程为31x =，它的解是13
x =
； ②当30x <时，原方程可化为一元一次方程为31x −=，它的解是13x =−． 请你模仿上面例题的解法，解方程：2|3|513x −+=．
【解答】当30x −时，原方程可化为34
x −=它的解是7
x =当30x −<时，原方程可化为()34
x −−=它的解是1
x =−经检验：7x =和1x =−是原方程的根
所以原方程的解是7x =或1
x =−例2. 满足25238a a ++−=的整数a 的值有（
）
A.4个
B.5个
C.7个
D.9个
【答案】A
【解答】原方程可以看成是数轴上表示2a 的点与表示-5、3两个数的点的距离之和，观察可以发现-5和3之间的距离刚好是8，那么2a 需要在-5和3之间
如下图
由此可得2a 为4−，2−，0，2的时候a 取得整数，共四个值
故选：A
例3：3522x x −+=+．
【解答】当3x 时，3522
x x −+=+解得0x =（不合题意，舍去）
当3x <时，3522x x −+=+
解得2x =
综上所述，方程的解为2x =
例4：求方程|2||3|3x x −+−=的实数解． 解：由20x −=，30x −=得两个零点2，3， ①当3x 时，有233x x −+−=，解得4x =． 43x =，4x ∴=是方程的解； ②当23x <<时，有2(3)3x x −−−= 化简得：13=，矛盾，所以当23x <<时方程无解； ③当2x 时，有(2)(3)3x x −−−−=，解得1x =， 12x =<，1x ∴=是方程的解； ∴原方程的解为4x =或1x =．。