广东高三高中数学期末考试带答案解析

广东高三高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.若集合，，则=（）
A．B．
C．D．
2.在复平面内，复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3.条件，条件，则是的（）
A．充分非必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）
A．B．C．D．
5.三棱锥及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱的长为（）
A．B．C．D．
6.函数是上的奇函数，满足，当时，则当时，
（）
A．B．C．D．
7.已知等差数列的通项公式，设，则当取最小值时，的
取值为（）
A．16B．14C．12D．10
8.已知中，平面内一点满足，若，则（）
A．B．C．D．
9.已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与
双曲线交于、两点，是直角三角形，则该双曲线的离心率是（）
A．B．C．D．
10.设变量、满足：，则的最大值为（）
A．B．C．D．
11.已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且
，则此三棱锥的体积为（）
A．B．C．D．
12.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（）
A．B．C．D．
二、填空题
1.设，则与大小关系是．
2.已知向量，，，若与共线，则．
3.函数在其极值点处的切线方程为．
4.已知数列为等差数列，首项，公差，若，，，，，成等比数列，且，
，，则数列的通项公式．
三、解答题
1.已知函数在处取最小值．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）在中，、、分别是角、、的对边，已知，求角．
2.乐嘉是北京卫视《我是演说家》的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象．某机构
为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）
的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？
（Ⅱ）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0．025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（精确到0．001）
（Ⅲ）从（Ⅰ）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．
附：临界值表参考公式：，n =" a" + b + c + d．
3.如图，在直角梯形中，，，，是中点，将沿折起，使得面．
（Ⅰ）求证：平面⊥平面；
（Ⅱ）若是的中点．求三棱锥的体积．
4.设函数．
（Ⅰ）若函数在处与直线相切，求函数上的最大值．
（Ⅱ）当时，若不等式对所有的，都成立，
求实数的取值范围．
5.已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存过点（2，1）的直线与椭圆相交于不同的两点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
6.选修4-1：几何证明
如图，圆周角的平分线与圆交于点，过点的切线与弦的延长线交于点，交于点
．
（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若四点共圆，且，求．
7.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知直线过点
，倾斜角，再以原点为极点，轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （Ⅰ）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线与曲线分别交于两点，求的值．
8.选修4-5：不等式选讲 已知函数 （Ⅰ）当
时，解不等式
；
（Ⅱ）若存在实数，使得不等式
成立，求实数的取值范围．
广东高三高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.若集合，
，则
=（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】M={x|x ＞2，或x ＜﹣2}，N={x|1＜x≤3}；∴ ∁R M={﹣2≤x≤2}； ∴N∩（∁R M ）={x|1＜x≤2}． 【考点】集合的运算．
2.在复平面内，复数对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D 【解析】复数Z=
对应的点位于第四象限．
【考点】复数的运算与几何意义．
3.条件，条件，则是的（）
A．充分非必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
【答案】A
【解析】条件等价于，条件等价于集合，因为，且，
所以是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件．
【考点】充分必要条件．
4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由程序框图，算法执行过程中，第一次循环，，第二次循环，
，，此时不符合判断条件，执行输出语句，因此输出为．故选B．
【考点】程序框图．
5.三棱锥及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱的长为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC
中AC=4，AC边上的高为，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=．
【考点】三视图．
6.函数是上的奇函数，满足，当时，则当时，
（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵f（3+x）=f（3﹣x），故直线x=3是函数y=f（x）的一条对称轴，
又由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
故原点（0，0）是函数y=f（x）的一个对称中心
则T=12是函数y=f（x）的一个周期，设x∈（﹣6，﹣3）
则x+6∈（0，3）时f（x+6）=2x+6=f（﹣x）=﹣f（x）即f（x）=﹣2x+6
【考点】函数的奇偶性，周期性．
7.已知等差数列的通项公式，设，则当取最小值时，的
取值为（）
A．16B．14C．12D．10
【答案】D
【解析】，，且，所以（），中共13项的和，因此取
，则，即最小，故选D．
【考点】等差数列的性质．
8.已知中，平面内一点满足，若，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在CA上取CE=2EA，过点E作EP∥BC交AB于点P，过点P作PF∥AC交BC于点F，可得
，由平行四边形法则得点P满足，所以，即，
所以．
【考点】向量的线性运算．
9.已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与
双曲线交于、两点，是直角三角形，则该双曲线的离心率是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵△ABE是直角三角形，∴∠AEB为直角，
∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，∴∠AEF=∠BEF=45°，∴|AF|=|EF|，
∵F为左焦点，设其坐标为（﹣c，0），
令x=﹣c，则，则有∴|AF|=，∴|EF|=a+c，
∴=a+c∴c2﹣ac﹣2a2=0 ∴e2﹣e﹣2=0∵e＞1，∴e=2
【考点】双曲线的几何性质．
10.设变量、满足：，则的最大值为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数z=x﹣3y，
当直线经过A （﹣2，2）时，z=|x ﹣3y|，取到最大值，Z max =8．
【考点】简单的线性规划的应用．
11.已知三棱锥的所有顶点都在球
的表面上，是边长为1的正三角形， 为球的直径，且
，则此三棱锥的体积为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】根据题意作出图形：
设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ， 延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=，
∴
，
∴高SD=2OO 1=
，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC =
，
∴．
【考点】棱锥与外接球，体积．
【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．
12.已知定义在上的可导函数
的导函数为
，满足
，且
，则不等式
的
解集为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】设g （x ）=
，则g′（x ）=
∵f （x ）＜f′（x ），∴g′（x ）＞0，即函数g （x ）单调递增． ∵f （0）=2，∴g （0）=，
则不等式
等价为
，即g （x ）＞g （0），
∵函数g （x ）单调递增．∴x ＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）
【考点】导数的应用．
【名师点睛】本题考查导数的应用．解题思路是由函数的单调性得出不等式的解集，关键是利用导数确定函数的单调性．这类问题考查学生的分析问题、解决问题的能力，考查转化与创新能力．这类题是近年来常考题型，许多时候，还要我们构造新函数，以便能应用题设条件确定单调性，而构造的根据是导数的运算法则．
二、填空题
1.设，则与
大小关系是 ．
【答案】log m 2＜log n 2
【解析】∵2m ＞2n ＞22，∴m ＞n ＞2，∴log 2m ＞log 2n ＞1即
∴log m 2＜log n 2
【考点】比较大小，指数函数的性质．
2.已知向量，
，
，若
与共线，则 ．
【答案】1 【解析】∵，
， ∴
又
，且
与共线，则，解得：t=1．
【考点】向量共线．
3.函数在其极值点处的切线方程为 ． 【答案】y=
【解析】依题意得y′=e x +xe x ，令y′=0，可得x=-1，∴y=．
因此函数y=xe x 在其极值点处的切线方程为y=
．
【考点】导数与切线．
【名师点睛】本题考查利用导数求切线方程，解题关键是掌握函数极值的定义，求得极值点与极值．方法是求得导函数，解方程，得极值点，若极值是，则所求切线方程为．本题是填空题，因此只要求得的解后，可以直接写出切线方程．如果是解答题还要判断方程的解
是不是极值点，否则易
出错．
4.已知数列为等差数列，首项，公差，若，，，
，，成等比数列，且，
，，则数列的通项公式
．
【答案】
【解析】由题意，，
，得
，即
，
所以
．又等比数列
的公比为3，所以
．根据
可得
．
【考点】等差数列与等比数列的综合应用．
【名师点睛】本题考查等差数列与等比数列的性质，解题关键是求出等差数列的通项公式，而方法是利用等比数列的性质：等比数列
中，若
，则
，特别地若
，则
．由等比数列的性质求得等差数列
的公差，得出其通项公式．
三、解答题
1.已知函数在
处取最小值．
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）在
中，、、分别是角
、
、
的对边，已知
，求角
．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．
【解析】（Ⅰ）由二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数式，即，由（最小值）可求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）及可得，由正弦定理先求得，最后得，只是要注意正弦定理解三角形时可能出现两解．
试题解析：（Ⅰ）
因为函数f （x）在处取最小值，所以，
由诱导公式知，因为，所以．
所以
（Ⅱ）因为，所以，因为角A为ABC的内角，所以．
又因为所以由正弦定理，得，
也就是，
因为，所以或．
当时，；
当时，．
【考点】二倍角公式，两角和与差的正弦公式，正弦定理．
【名师点睛】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件．
解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件．特别在应用正弦定理解三角形时，可能出现两解的情形要特别注意．
2.乐嘉是北京卫视《我是演说家》的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象．某机构为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）
的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？
（Ⅱ）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0．025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（精确到0．001）
（Ⅲ）从（Ⅰ）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．
附：临界值表参考公式：，n =" a" + b + c + d．
【答案】（Ⅰ）喜爱的观众有4名，不喜爱的观众有2名；（Ⅱ）不能；（Ⅲ）．
【解析】（Ⅰ）从60人中抽6人，比例是，按此比例计算可得；（Ⅱ）按所给公式计算出即得；（Ⅲ）6
人中有4人喜爱乐嘉，有2人不喜爱乐嘉，可以把它们编号，喜爱的为，不喜爱的为，从6人中抽取2人的所有可能情况可用列举法列举出来，共15种，其中2人都喜爱乐嘉的有6种，由概率公式计算可得．
试题解析：（Ⅰ）抽样比为，
则样本中喜爱的观众有40×=4名；不喜爱的观众有6﹣4=2名．
（Ⅱ）假设：观众性别与喜爱乐嘉无关，由已知数据可求得，
∴不能在犯错误的概率不超过0．025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．
（Ⅲ）记喜爱乐嘉的4名男性观众为a，b，c，d，不喜爱乐嘉的2名男性观众为1，2；则基
本事件分别为：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，1），（a，2），（b，c），（b，d），（b，1），（b，2），
（c，d），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），（1，2）．
其中选到的两名观众都喜爱乐嘉的事件有6个，
故其概率为P（A）=．
【考点】分层抽样，独立性检验；古典概型．
3.如图，在直角梯形中，，，，是中点，将沿折起，使得面．
（Ⅰ）求证：平面⊥平面；
（Ⅱ）若是的中点．求三棱锥的体积．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）要证面面垂直，就是要证线面垂直，也就是要证线线垂直，由原图知，又由平面得，，需要的两个线线垂直有了，结论可得；（Ⅱ）三棱锥的底面积与高都不易求得，可采用等积转化法，由于有平面，因此，又是中点，可得平面
，从而，还可以由计算得结论．
试题解析：（Ⅰ）证明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥ AD．
又由于CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC
∴四边形ABCD是正方形，∴AD⊥CD，
又PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，
∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PCD
（Ⅱ）解：∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC
∴点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离
又∵PD=DC，E是PC的中点∴ PC⊥DE
由（Ⅰ）知有AD⊥底面PCD，∴ AD⊥ DE．
由题意得AD//BC，故BC⊥DE．
又∵PC∩BC=C
∴DE⊥面PBC．
∴
又∵AD⊥底面PCD，∴ AD⊥CP，
∵AD∥BC，∴AD⊥ BC ∴
∴
【考点】面面垂直的判断，棱锥的体积．
4.设函数．
（Ⅰ）若函数在处与直线相切，求函数上的最大值．
（Ⅱ）当时，若不等式对所有的，都成立，
求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）题意告诉我们函数在处的导数值为0，函数值为，由此可得，在上确定和的解集，从而得出函数的单调性，得极大值；（Ⅱ）本小题是不等式恒成立问题，解题的关键是问题转化．不等式对所有的都成立，则对所有的
都成立，即对所有的都成立，这里有两个参数，先选取作
为主元，则是的一次函数，在时，它是增函数，因此时它取得最小值，因此问题又化为对恒成立，易得．
令，则为一次函数，
试题解析：（Ⅰ）由题知
函数在处与直线相切
解得
当时，令得；
令，得
上单调递增，在[1，e]上单调递减，
（Ⅱ）当时，
若不等式对所有的都成立，
则对所有的都成立，
即对所有的都成立，
令，则为一次函数，
上单调递增
对所有的都成立
，
（注：也可令对所有的都成立，分类讨论得
对所有的都成立，，酌情给分）
【考点】导数与切线，导数与函数的最值，不等式恒成立．
5.已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存过点（2，1）的直线与椭圆相交于不同的两点，满足？若存在，求
出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在直线满足条件，其方程为．
【解析】（Ⅰ）求椭圆标准方程，就是列出关于的两个方程，本题中有离心率是一个，另外一个是把点的坐标代入标准方程，由此结合或解得值；（Ⅱ）解析几何中的探索性问题，一般都是
假设存在，设直线方程为，代入椭圆的方程整理得．同时
设两点的坐标分别为，则有（保证有两交点），（用表示），再把已知条件用坐标表示，并把代入可解得值，若无实数解，说明不存在．
试题解析：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意得
解得，故椭圆的方程为．
（Ⅱ）若存在直线满足条件，不妨设直线方程为，代入椭圆的方程得
．
因为直线与椭圆相交于不同的两点，
设两点的坐标分别为，
所以
所以．
又，
因为，即，
，
．
即．
所以，解得．
因为为不同的两点，所以．
于是存在直线满足条件，其方程为．
【考点】椭圆的标准方程，探索性问题，直线与椭圆的综合问题．
【名师点睛】1．运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a、b的方程组，一般情况下可根据椭圆的几
何性质，以及椭圆过某个点来确定．
2．直线和圆锥曲线的综合问题，一般设直线方程，设交点坐标，通过直线方程与椭圆方程组成的
方程组，消元后，利用韦达定理得（或者），再把已知条件用坐标表示出来，并把代入，化简、变形，解方程等得出结论．这体现了“设而不求”方法的具体应用．
6.选修4-1：几何证明
如图，圆周角的平分线与圆交于点，过点的切线与弦的延长线交于点，交于点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若四点共圆，且，求．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）要证线线平面，一般可先证同位角相等或内错角相等，题中有弦切角，圆周角，由切线的性质可得；（Ⅱ）要求，此处可能要用到三角形内角和定理，在中，设，则，
而由四点共圆及平行线又可得，这样由内角和定理可得，从而得解．
试题解析：（Ⅰ）的平分线与圆交于点
．
（Ⅱ）因此四点共圆，所以，
由（Ⅰ）知
所以．
设，
因为，所以，
所以，
在等腰三角形中，，
则，所以．
【考点】圆周角定理与弦切角定理，四点共圆．
7.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知直线过点，倾斜角，再以原点为极点，轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线分别交于两点，求的值．
【答案】（Ⅰ）直线的参数方程：，曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）4．
【解析】（Ⅰ）由直线参数方程的标准式，（其中是直线上的一点，是它
的倾斜角）可得参数方程，由公式可得曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）利用直线参数方程标准式中参
数的几何意义，把直线参数方程代入曲线的方程可得的二次方程，此方程的解为，则，而，由此有．
试题解析：（Ⅰ）直线的参数方程：，
曲线的极坐标方程为，可得曲线的直角坐标方程
（Ⅱ）将直线的参数方程代入，得
设上述方程的两根为、，则
由直线参数方程中参数t的几何意义可得
【考点】直线的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化．
8.选修4-5：不等式选讲
已知函数
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）．；（Ⅱ）．
【解析】含绝对值的函数，由绝对值定义去掉绝对值符号化为分段函数形式，解不等式时，只要分段求
解，最后合并即可；（Ⅱ）若存在使不等式恒成立，即小于等于的最大值，由绝对值的性质可有，从而只要解不等式即得．
试题解析：（Ⅰ）当时，，
等价于或或，
解得或，不等式的解集为．
（Ⅱ）由不等式性质可知，
若存在实数，使得不等式成立，则，
解得，实数的取值范围是．
【考点】解含绝对值的不等式，不等式恒成立，绝对值的性质．。