2019-2020学年人教版高中数学必修四培优新方案浙江专用课件：第二章 2.1 平面向量的实际背景

[针对训练] 下列说法正确的是( ) A．若 a 与 b 平行，b 与 c 平行，则 a 与 c 一定平行 B．共线向量一定在同一直线上 C．若|a|>|b|，则 a>b D．单位向量的长度为 1 解析：A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与 c不一定平行．B中，共线向量不一定在同一直线上．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大 小．显然D正确． 答案：D
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[方法技巧] 寻找共线向量或相等向量的方法 (1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平
行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏 掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点 的向量．
(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长 度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
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预习课本P74～76，思考并完成以下问题
(1)向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ (2)怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？ (3)两个向量(向量的模)能否比较大小？ (4)如何判断相等向量或共线向量？向量―A→B 与向量―B→A 是相 等向量吗？ (5)零向量与单位向量有什么特殊性？0 与 0 的含义有什么区别？
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[解析] 两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起 点和终点的位置无关，故①不正确．
单位向量的长度为 1，当所有单位向量的起点在同一点 O 时，终点都在以 O 为圆心，1 为半径的圆上，故②正确．
③④显然正确，故所有正确命题的序号为②③④. [答案] ②③④
字母表示：用小写字母a，b，c，…表示，
手写时必须加箭头
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[点睛] 有向线段与向量的区别和联系 从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而
区 有向线段有起点、方向、长度三个要素．因 别 此，这是两个不同的量．在空间中，有向线段
是固定的线段，而向量是可以自由平移的 有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有 联 向线段，每一条有向线段对应着一个向量，但 系 每一个向量对应着无数多条有向线段
[点睛] 定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有 确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无 数个，它们大小相等，但方向不一定相同．
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3．向量间的关系 (1)相等向量：长度 相等 且方向 相同 的向量，叫做相等向量， 记作：a＝b. (2)平行向量：方向 相同或相反 的非零向量，也叫 共线向量 ； a平行于b，记作 a∥b ；规定零向量与任一向量 平行 .
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[解] (1)由于点 A 在点 O 北偏东 45°处，所以在坐标纸上点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|―O→A |＝4 2， 小方格边长为 1，所以点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格 数都为 4，于是点 A 位置可以确定，画出向量―O→A 如图所示．
[解] (1)与 a 的长度相等、方向相反的向量有―O→D ，―B→C ，―A→O ， ―→ FE .
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(2)与 a 共线的向量有―E→F ，―B→C ，―O→D ，―F→E ，―C→B ，―D→O ，―A→O ， ―D→A ，―A→D .
(3)与 a 相等的向量有―E→F ，―D→O ，―C→B ；与 b 相等的向量有―D→C ， ―E→O ，―F→A ；与 c 相等的向量有―F→O ，―E→D ，―A→B .
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[针对训练] 1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量―B→C 相等的向量．
解：与向量―B→C 相等的向量有―O→D ，―A→O ，―F→E . 2．[变条件，变设问]在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边
长如何？ 解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长 AF＝|a|＝1.
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[点睛] (1)理解平行向量的概念时，需注意平行向量和平行 直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可 以重合的．
(2)共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几 何中“共线”的含义．实际上，共线向量(平行向量)有以下四种 情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相 等；方向相反且模不等．这样，也就找到了共线向量与相等向量 的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线 向量．
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(2)向量的模是一个正实数．
( ×)
(3)单位向量的模都相等．
( √)
(4)向量―A→B 与向量―B→A 是相等向量．
( ×)
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2． 有下列物理量：①质量；②温度；③角度；
④弹力；⑤风速．
其中可以看成是向量的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B 3．下列结论中正确的是( )
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题型一 向量的有关概念 [典例] 给出下列命题： ①两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等； ②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一 个圆上； ③在菱形 ABCD 中，一定有―A→B ＝―D→C ； ④若 a＝b，b＝c，则 a＝c. 其中所有正确命题的序号为________．
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题型二 向量的表示 [典例] 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为 1)，用 直尺和圆规画出下列向量：
(1) ―O→A ，使|―O→A |＝4 2，点 A 在点 O 北偏东 45°； (2) ―A→B ，使|―A→B |＝4，点 B 在点 A 正东； (3) ―B→C ，使|―B→C |＝6，点 C 在点 B 北偏东 30°.
①由 a＝b 可知 a∥b 且|a|＝|b|；
②由 a＝b 不能得到 a∥b 且|a|＝|b|；
③a 与 b 方向相同且|a|＝|b|等价于 a＝b；
④由 a 与 b 方向相反或|a|＝|b|可知 a＝b.
A．①③
B．②④
C．③④
D．①③④
答案：A
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4.如图，四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边 形，则与―E→D 相等的向量有______． 答案：―A→B ，―D→C
[针对训练] 已知飞机从 A 地按北偏东 30°的方向飞行 2 000 km 到达 B 地， 再从 B 地按南偏东 30°的方向飞行 2 000 km 到达 C 地，再从 C 地按西南方向飞行 1 000 2 km 到达 D 地． (1)作出向量―A→B ，―B→C ，―C→D ，―D→A ； (2)问 D 地在 A 地的什么方向？D 地距 A 地多远？ 解：(1)向量―A→B ，―B→C ，―C→D ，―D→A 如图所示． (2)由图知，D 地在 A 地的东南方向，距 A 地 1 000 2 km.
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题型三 共线向量或相等向量
[典例] 如图所示，O 是正六边形 ABCDEF a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与 a 共线的向量有哪些？ (3)请一一列出与 a，b，c 相等的向量．
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一、教材知识梳理
1．向量的概念和表示方法
(1)概念：既有 大小 ，又有 方向 的量称为向量．
(2)向量的表示：
几何表示：用 有向线段 来表示向量，有
向线段的长度表示向量的 大小 ，箭头所
表 指的方向表示向量的 方向 ，即用有向线
示 法
段的起点、终点字母表示，如―A→B ，…
(3)向量相等具有传递性，即 a＝b，b＝c，则 a＝c.而向量的 平行不具有传递性，若 a∥b，b∥c，未必有 a∥c.因为零向量平行 于任意向量．
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二、基本小题检验
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量能比较大小．
(×)
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[方法技巧] 1．判断一个量是否为向量应从两个方面入手 (1)是否有大小； (2)是否有方向． 2．理解零向量和单位向量 (1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等． (2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．
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[方法技巧] 用有向线段表示向量的方法 用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最 后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角 三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适 的比例关系作出向量．
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2．向量的长度(或称模)与特殊向量
(1)向量的长度定义：向量的 大小 叫做向量的长度． (2)向量的长度表示：向量―A→B ，a 的长度分别记作： |―A→B |，|a| .
(3)特殊向量：
① 长度为0 的向量为零向量，记作 0； ② 长度等于1个单位 的向量，叫做单位向量．
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(2)由于点 B 在点 A 正东方向处，且|―A→B |＝4，所以在坐标 纸上点 B 距点 A 的横向小方格数为 4，纵向小方格数为 0，于是 点 B 位置可以确定，画出向量―A→B 如图所示．
(3)由于点 C 在点 B 北偏东 30°处，且|―B→C |＝6，依据勾股定理 可得：在坐标纸上点 C 距点 B 的横向小方格数为 3，纵向小方格 数为 3 3≈5.2，于是点 C 位置可以确定，画出向量―B→C 如图所 示．