2021届高考数学一轮知能训练：第七章第7讲抛物线

第7讲 抛物线
1．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 且斜率为2 2的直线交抛物线于A ，B 两点(x A >x B )，则
|AF |
|BF |
＝( )
A.32
B.3
4 C ．3 D ．2 2．如图X7-7-1，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物
线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )
图X7-7-1
A ．4
B ．3 3
C ．4 3
D ．8
3．(2017年新课标Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )
A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 3
4．(2016年新课标Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k
x
(k >0)与C 交于点P ，PF
⊥x 轴，则k ＝( )
A.12 B ．1 C.3
2
D ．2 5．已知不过原点O 的直线交抛物线y 2＝2px 于A ，B 两点，若OA ，AB 的斜率分别为k OA
＝2，k AB ＝6，则OB 的斜率为( )
A ．3
B ．2
C ．－2
D ．－3
6．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (5，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛
物线的准线相交于C ，|BF |＝3，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF
S △ACF
＝( )
A.34
B.45
C.56
D.67
7．(2017年新课标Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )
A ．16
B ．14
C ．12
D ．10 8．如图X7-7-2，点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2
＋y 2＝16的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△F AB 的周长的取值范围是( )
图X7-7-2
A ．(2,6)
B ．(6,8)
C ．(8,12)
D ．(10,14)
9．(多选)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点，若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为9 3，则( )
A ．|BF |＝3
B ．△ABF 是等边三角形
C ．点 F 到准线的距离为3
D ．抛物线C 的方程为y 2＝6x
10．(2018年新课标Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.
11．(2017年新课标Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 2
4
上两点，A 与B 的横坐标之和为4.
(1)求直线AB 的斜率；
(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．
12．(2018年新课标Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.
(1)求直线l 的方程；
(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
第7讲 抛物线
1．D 解析：设直线方程为y ＝2 2(x －1)，与y 2＝4x 联立，得2x 2－5x ＋2＝0，∴(2x
－1)(x －2)＝0，∴x 1＝12，x 2＝2.∵x A >x B ，∴x A ＝2，x B ＝12.∴|AF ||BF |＝⎪
⎪⎪⎪
x A ＋p 2⎪⎪⎪⎪x B ＋p 2＝2＋11
2＋1
＝2.故选D.
2．C 解析：由题意可得F (1,0)，直线AF ：y ＝3(x －1)，
代入y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0，解得x ＝3或x ＝1
3
.
由于点A 在x 轴上方，∴其坐标为(3,2 3)．
∵|AF |＝|AK |＝3＋1＝4，AF 的斜率为3，即倾斜角为60°，∴∠KAF ＝60°，∴△AKF 为等边三角形，
∴△AKF 的面积为3
4
×42＝4 3.
3．C 解析：由抛物线的定义，知|MN |＝|MF |，显然△MNF 为正三角形，|MN |＝|MF |＝|NF |＝4，则M 到直线NF 的距离为2 3.故选C.
4．D 解析：∵F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，∴F (1,0)．
又∵曲线y ＝k
x
(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，∴P (1,2)．∴k ＝2.故选D.
5．D 解析：方法一，∵点A ，B 均在抛物线y 2＝2px 上，
∴设A ⎝⎛⎭⎫y 212p ，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 222p ，y 2.∵ k OA ＝ y 1y 212p
＝ 2p y 1
＝2， ∴p ＝y 1.由k AB ＝y 2－y 1y 22－y 212p
＝2p y 1＋y 2
＝6，知y 1＋y 2＝p 3，∴y 2＝－2p 3.∴k OB ＝y 2y 222p ＝2p
y 2＝－3.
方法二，设A ⎝⎛⎭⎫y 212p ，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 2
22p ，y 2，k OA ＝2p y 1，k OB ＝2p y 2，k AB ＝y 2－y 1y 22－y 21
2p
＝2p y 1＋y 2.由y 1＋y 22p ＝y 12p ＋y 2
2p ，知 1k AB ＝1k OA ＋1
k OB
，结合k OA ＝2，k AB ＝6. ∴16＝12＋1
k OB
，解得k OB ＝－3. 6．D 解析：设直线x ＝my ＋5，联立⎩⎨⎧
x ＝my ＋5
y 2＝4x
，y 2－4my －4 5＝0，B (2，－2 2)，
A ⎝⎛⎭⎫52，10
S △BCF S △ACF ＝BC AC ＝BB 1AA 1＝3x A ＋1＝352
＋1＝6
7.
7．A 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，直线l 1的方程为y ＝k (x －1)，
联立方程⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －1)，
y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，
有x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4
k
2.
同理设直线l 2的方程为y ＝－1
k
(x －1)，有x 3＋x 4＝2＋4k 2.
由抛物线的定义，可得
|AB |＋|DE |＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋2p
＝2＋4k
2＋2＋4k 2＋4＝8＋4⎝⎛⎭⎫1k 2＋k 2≥ 8＋4×2 1k 2
·k 2
＝16，
当且仅当k 2＝1，k ＝±1时等号成立．故选A.
8．C 解析：抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F (2,0)，由抛物线定义可得|AF |＝x A ＋2，圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为(2,0)，半径为4，
∴△F AB 的周长为|AF |＋|AB |＋|BF |＝(x A ＋2)＋(x B －x A )＋4＝6＋x B ，
由抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16可得交点的横坐标为2，则x B ∈(2,6)，∴6＋x B ∈(8,12)，故选C.
9．BCD
10．2 解析：设直线方程x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立，得⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2＝4x ，
x ＝my ＋1，y 2－
4my －4＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.又∠AMB ＝90°，
∴MA →·MB →＝(my 1＋2，y 1－1)·(my 2＋2，y 2－1)＝0. 整理，得(m 2＋1)y 1y 2＋(2m －1)(y 1＋y 2)＋5＝0.
代入，得4m 2－4m ＋1＝0.∴m ＝1
2
，k ＝2.
11．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 22
4
，x 1＋x 2＝4，
于是直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2
＝x 1＋x 2
4＝1.
(2)由y ＝x 24，得y ′＝x
2，设M (x 3，y 3)，
由题设知x 3
2
＝1，x 3＝2，则M (2,1)．
设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，
代入y ＝x 2
4
，得x 2－4x －4m ＝0，
又Δ＝16＋16m >0，∴m >－1.
故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|，
|AB |＝2|x 1－x 2|＝ 2 (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝42(m ＋1)， 由AM ⊥BM ，有|AB |＝2|MN |，
即42(m ＋1)＝2(m ＋1)．解得m ＝7. ∴直线AB 的方程为y ＝x ＋7.
12．解：(1)由题意，得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，
得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2
＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k
2.
∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4
k
2.
由题设知4k 2＋4
k
2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.
因此直线l 的方程为y ＝x －1.
(2)由(1)，得AB 的中点坐标为(3,2)，∴AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－
x ＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2
＝(y 0－x 0＋1)2
2＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝11，y 0
＝－6.
因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.
莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚
的事。

每一日所付出的代价都比前一日高，因为你的生命又消短了一天，所以每一日都要更用心。

这天太宝贵，不就应为酸苦的忧虑和辛涩的悔恨所销蚀，抬起下巴，抓住这天，它不再回来。

加油！！。