高考数学总复习第三篇导数及其应用《导数的概念与运算》课件理苏教版
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由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结 构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从 最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成 若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．
【训练3】 求下列函数的导数：
(1)y＝ x2＋1；(2)y＝sin22x；
(3)y＝e－xsin 2x；(4)y＝ln 1＋x2.
f′(x)＝
1 xln
a
f(x)＝ln x
f′(x)＝1 x5．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝
f′(x)±g′(x)
；
(2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
；
(3)gfxx′＝
f′xgx－fxg′x [gx]2
(g(x)≠0)．
6．复合函数的导数
[－15，－3)，所以a∈[－7，－1)．
答案 [－7，－1)
3．(2011·泰州模拟)设函数f(x)＝x2＋ln x，若曲线y＝f(x)在点
(1，f(1))处的切线方程为y＝ax＋b，则a＋b＝________.
解析
f′(x)＝2x＋
1 x
，k＝f′(1)＝3，即又f(1)＝1，所以切线
方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2，所以a＝3，b＝－2，a＋b
5．(2011·南京模拟)若直线y＝kx－3与曲线y＝2ln x相切，则实
数k＝________.
解析 由y＝2ln x，得y′＝2x.设y＝kx－3与曲线y＝2ln x相切于
点(x0，y0)(x0＞0)，则有k＝
2 x0
，y0＝kx0－3＝－1，y0＝2ln
x0，
所以x0＝e－12，k＝x20＝2 e.
原函数
导函数
f(x)＝C
f′(x)＝ 0
f(x)＝xα(α为常数) f′(x)＝ αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝ cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝ axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ ex
f(x)＝logax(a＞0，a≠1)
内容 导数的概念
要求 A BC √
导数的几何意义
√
导数的运算
√
导数及其
应用
利用导数研究函数的单调性 与极值
√
导数在实际问题中的应用
√
简单的复合函数的导数
√
1．考情：近三年江苏高考对导数的考查越来越重视，导数所 占的比例也在不断增加.2008年出现的第8题和第14题，2009年 出现的第3题和第9题，2010年出现的第14题和第20题都是对导 数内容的考查，2011年出现的第12题、第17题． 2．趋势：(1)导数的概念及其运算 ①导数和几何意义将主要以填空题的形式来考查． ②对导数的运算每年必考，一般不会单独考查，多数与导数的 应用交汇，以考查导数的应用(单调性、极值、最值)为主，同 时考查导数的计算．
＝－12u－12＝－2
31－x＝
3－x 2x－6 .
(3)设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋3π， 则yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cos v·2 ＝4sin2x＋3π·cos2x＋π3＝2sin4x＋23π. (4)设y＝ln u，u＝2x＋5，则yx′＝yu′·ux′ y′＝2x＋1 5·(2x＋5)′＝2x＋2 5.
第13讲 导数的概念与运算
基础梳理 1．平均变化率 函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为fxx22－ －fx1x1.
2．导数及其几何意义
(1)定义
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋
近于0时，比值
Δy Δx
＝
fx0＋Δx－fx0 Δx
无限趋近于一个常数A，则
③预测2013年对本切内容的考查为导数的几何意义及应用．切 线问题将是考查的重点． (2)导数的应用 ①以解答题的形式考查应用导数研究函数的单调性和极值． ②以实际问题为背景，考查导数在生活中的优化问题的应用． ③以解答题的形式考查导数与解析几何、不等式、平面向量等 知识相结合的问题． ④导数是中学选修内容中较为重要的知识，近几年高考对导数 的考查每年都有，填空题、解答题都出现过，而且最近两年有 加强的趋势．
1 x0＋Δx＋
＝ x0 2
1 x0.
求函数f(x)平均变化率的步骤 (1)求函数值的增量Δf＝f(x2)－f(x1)； (2)计算平均变化率ΔΔxf ＝fxx22－ －fx1x1.
【训练1】
利用导数的定义，求出函数y＝x＋
1 x
的导数，并据
此求函数在x＝1处的导数．
解
Δy＝(x＋Δx)＋
1 x＋Δx
答案 2 e
考向一 利用导数的定义求函数的导数
【例1】►用导数的定义，求函数y＝ x在x＝x0处的导数． [审题视点] 利用导数定义求解．
解
liΔxm→0
Δy Δx
＝liΔxm→0
x0＋Δx－ x0 Δx
＝liΔxm→0
x0＋Δx－ x0 x0＋Δx＋ Δx x0＋Δx＋ x0
x0
＝liΔxm→0
【训练2】
已知函数f(x)＝f′
π 4
cos
x＋sin
x，则f
π 4
的值为
________．
解析 ∵f′(x)＝－f′π4·sin x＋cos x，
∴f′π4＝－f′π4·sin 4π＋cos 4π，则f′4π＝ 2－1.
∴fπ4＝f′π4cos π4＋sin 4π＝1. 答案 1
考向三 求复合函数的导数 【例3】►求下列复合函数的导数． (1)y＝(2x－3)5；(2)y＝ 3－x； (3)y＝sin22x＋3π；(4)y＝ln(2x＋5)． [审题视点] 正确分解函数的复合层次，逐层求导．
称f(x)在x＝x0处 可导 ，并称常数A为函数f(x)在点x＝x0处的导
数，记作 f′(x0)
．可表示为“当Δx→0时，
fx0＋Δx－fx0 Δx
→A”．
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是过曲线y＝f(x)上 点 (x0，f(x0)) 的切线的斜率．
3．函数f(x)的导函数 若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也 随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数．该函数 称为f(x)的导函数，记作f′(x)． 4．基本初等函数的导数公式
解 (1)设u＝2x－3，则y＝(2x－3)5，
由y＝u5与u＝2x－3复合而成，
∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u5)′(2x－3)′＝5u4·2
＝10u4＝10(2x－3)4.
(2)设u＝3－x，则y＝ 3－x.
由y＝u12与u＝3－x复合而成．
y′＝f′(u)·u′(x)＝(u12)′(3－x)′＝12u－12(－1)
⑤预测2013年高考对本节内容的考查为：有一大一小的题目， 小题主要考查导数的几何意义或函数图象，大题考查运用导数 研究函数的单调性、极值和最值问题． 3．指导由上面的考情分析可知，导数的复习重点是理解导数 的概念，熟记导数的运算法则和求导公式，熟练掌握导数的几 何意义和应用，会利用导数研究函数的单调性与极值．
两个区别 (1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率 为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可 以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
双基自测 1．(2011·镇江统考)函数f(x)＝ex在x＝1处的切线方程是 ________． 解析 由题意，可得切点为(1，e)，f′(x)＝ex，所以切线的斜 率k＝f′(1)＝e，由点斜式得切线为y＝ex. 答案 y＝ex
解析 ∵f′(x)＝ln x＋1，又f′(x0)＝2，∴ln x0＋1＝2. 解得x0＝e，y0＝e＋1. 故f(x)在点(e，e＋1)处的切线 方程为y－(e＋1)＝2(x－e)， 即2x－y－e＋1＝0. 答案 2x－y－e＋1＝0
求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程：(1)求出函数y＝ f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线 的斜率． (2)切线方程为：y＝y0＋f′(x0)(x－x0)．
解 (1)y′＝2
x12＋1·2x＝
x x2＋1.
(2)y′＝(2sin 2x)(cos 2x)×2＝2sin 4x.
(3)y′＝(－e－x)sin 2x＋e－x(cos 2x)×2
＝e－x(2cos 2x－sin 2x)．
(4)y′＝
1 1＋x2·2
11＋x2·2x＝1＋x x2.
考向四 导数的几何意义 【例4】►设f(x)＝xln x＋1，若f′(x0)＝2，则f(x)在点(x0，y0)处 的切线方程为________． [审题视点] 先求出点(x0，y0)的坐标，再根据所求，由点斜式 写出f(x)在点(x0，y0)处的切线方程．
＝1.
答案 1
4．(2011·泰州学情调查)已知点P在曲线y＝
4 ex＋1
上，α为曲线
在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________． 解析 y′＝－ex4＋ex12＝－ex＋4e1x＋2≥－1，所以tan α≥－1，
即－1≤tan α＜0.又0≤α＜π，所以34π≤α＜π.
答案 34π，π
2．(2011·南通调研)已知函数f(x)＝
1 3
x3＋x2＋(2a－1)x＋a2－a＋
1，若f′(x)＝0在(1,3]上有解，则实数a的取值范围为
________．
解析 由f′(x)＝x2＋2x＋(2a－1)＝0在(1,3]上有解，得2a－1
＝－x2－2x－1＋1＝－(x＋1)2＋1.因为x∈(1,3]，所以2a－1∈
(4)y＝－sin 2x1－2cos24x；
(5)y＝1－1 x＋1＋1 x.
[审题视点] 若式子能化简，可先化简，再利用公式和运算法
则求导．
解 (1)y′＝6x2＋1. (2)∵y＝x12＋x5x＋2 sin x＝x－32＋x3＋sixn2 x， ∴y′＝(x－32)′＋(x3)′＋(x－2sin x)′ ＝－32x－52＋3x2－2x－3sin x＋x－2cos x. (3)y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11.
(4)∵y＝－sin2x－cos2x＝12sin x，
∴y′＝12sin x′＝12(sin x)′＝12cos x.
(5)y＝1－1
x＋1＋1
x＝11＋－
x＋1－ x1＋
xx＝1－2 x，
∴y′＝1－2 x′＝－211－－xx2′＝1－2 x2.
求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、 积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程 中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系 基本函数求导公式．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒 等变形，但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．
设函数u＝φ(x)在点x处有导数ux′＝φ′(x)
，函数y＝f(u) 在
点x的对应点u处有导数 yu＝f′(u) ，则复合函数 y＝f[φ(x)] 在
点x处也有导数，且yx′＝yu′·ux′
或fx′[φ(x)]＝f′(u)φ′(x)
一个关系 (1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常数； (2)函数y＝f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点x而言 的．如果函数y＝f(x)在区间的(a，b)内每一点x都可导，是指对 于区间(a，b)内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数 f′(x0)．这样就在开区间(a，b)内构成了一个新函数，就是函 数f(x)的导函数f′(x)．在不产生混淆的情况下，导函数也简称 导数．
－
x＋1x
＝Δx－
Δx xx＋Δx
，
Δy Δx
＝1－
xx＋1 Δx，
∴y′＝liΔxm→0 ΔΔyx＝liΔxm→0 1－xx＋1 Δx＝1－x12， ∴y′|x＝1＝1－112＝0.
考向二 导数的运算
【例2】►求下列函数的导数．
(1)y＝2x3＋x－6；
(2)y＝
x＋x5＋sin x2
x；
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
【训练4】 已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线， l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程； (2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积． 解 (1)y′＝2x＋1，f′(1)＝3，∴直线l1的方程为y＝3(x－ 1)，即y＝3x－3， 设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，则直线l2的 方程为： y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)(x－b)．即y＝(2b＋1)x－b2－2， ∵l1⊥l2，∴3(2b＋1)＝－1，∴b＝－23， 所以直线l2的方程为y＝－13x－292.
【训练3】 求下列函数的导数：
(1)y＝ x2＋1；(2)y＝sin22x；
(3)y＝e－xsin 2x；(4)y＝ln 1＋x2.
f′(x)＝
1 xln
a
f(x)＝ln x
f′(x)＝1 x5．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝
f′(x)±g′(x)
；
(2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
；
(3)gfxx′＝
f′xgx－fxg′x [gx]2
(g(x)≠0)．
6．复合函数的导数
[－15，－3)，所以a∈[－7，－1)．
答案 [－7，－1)
3．(2011·泰州模拟)设函数f(x)＝x2＋ln x，若曲线y＝f(x)在点
(1，f(1))处的切线方程为y＝ax＋b，则a＋b＝________.
解析
f′(x)＝2x＋
1 x
，k＝f′(1)＝3，即又f(1)＝1，所以切线
方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2，所以a＝3，b＝－2，a＋b
5．(2011·南京模拟)若直线y＝kx－3与曲线y＝2ln x相切，则实
数k＝________.
解析 由y＝2ln x，得y′＝2x.设y＝kx－3与曲线y＝2ln x相切于
点(x0，y0)(x0＞0)，则有k＝
2 x0
，y0＝kx0－3＝－1，y0＝2ln
x0，
所以x0＝e－12，k＝x20＝2 e.
原函数
导函数
f(x)＝C
f′(x)＝ 0
f(x)＝xα(α为常数) f′(x)＝ αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝ cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝ axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ ex
f(x)＝logax(a＞0，a≠1)
内容 导数的概念
要求 A BC √
导数的几何意义
√
导数的运算
√
导数及其
应用
利用导数研究函数的单调性 与极值
√
导数在实际问题中的应用
√
简单的复合函数的导数
√
1．考情：近三年江苏高考对导数的考查越来越重视，导数所 占的比例也在不断增加.2008年出现的第8题和第14题，2009年 出现的第3题和第9题，2010年出现的第14题和第20题都是对导 数内容的考查，2011年出现的第12题、第17题． 2．趋势：(1)导数的概念及其运算 ①导数和几何意义将主要以填空题的形式来考查． ②对导数的运算每年必考，一般不会单独考查，多数与导数的 应用交汇，以考查导数的应用(单调性、极值、最值)为主，同 时考查导数的计算．
＝－12u－12＝－2
31－x＝
3－x 2x－6 .
(3)设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋3π， 则yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cos v·2 ＝4sin2x＋3π·cos2x＋π3＝2sin4x＋23π. (4)设y＝ln u，u＝2x＋5，则yx′＝yu′·ux′ y′＝2x＋1 5·(2x＋5)′＝2x＋2 5.
第13讲 导数的概念与运算
基础梳理 1．平均变化率 函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为fxx22－ －fx1x1.
2．导数及其几何意义
(1)定义
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋
近于0时，比值
Δy Δx
＝
fx0＋Δx－fx0 Δx
无限趋近于一个常数A，则
③预测2013年对本切内容的考查为导数的几何意义及应用．切 线问题将是考查的重点． (2)导数的应用 ①以解答题的形式考查应用导数研究函数的单调性和极值． ②以实际问题为背景，考查导数在生活中的优化问题的应用． ③以解答题的形式考查导数与解析几何、不等式、平面向量等 知识相结合的问题． ④导数是中学选修内容中较为重要的知识，近几年高考对导数 的考查每年都有，填空题、解答题都出现过，而且最近两年有 加强的趋势．
1 x0＋Δx＋
＝ x0 2
1 x0.
求函数f(x)平均变化率的步骤 (1)求函数值的增量Δf＝f(x2)－f(x1)； (2)计算平均变化率ΔΔxf ＝fxx22－ －fx1x1.
【训练1】
利用导数的定义，求出函数y＝x＋
1 x
的导数，并据
此求函数在x＝1处的导数．
解
Δy＝(x＋Δx)＋
1 x＋Δx
答案 2 e
考向一 利用导数的定义求函数的导数
【例1】►用导数的定义，求函数y＝ x在x＝x0处的导数． [审题视点] 利用导数定义求解．
解
liΔxm→0
Δy Δx
＝liΔxm→0
x0＋Δx－ x0 Δx
＝liΔxm→0
x0＋Δx－ x0 x0＋Δx＋ Δx x0＋Δx＋ x0
x0
＝liΔxm→0
【训练2】
已知函数f(x)＝f′
π 4
cos
x＋sin
x，则f
π 4
的值为
________．
解析 ∵f′(x)＝－f′π4·sin x＋cos x，
∴f′π4＝－f′π4·sin 4π＋cos 4π，则f′4π＝ 2－1.
∴fπ4＝f′π4cos π4＋sin 4π＝1. 答案 1
考向三 求复合函数的导数 【例3】►求下列复合函数的导数． (1)y＝(2x－3)5；(2)y＝ 3－x； (3)y＝sin22x＋3π；(4)y＝ln(2x＋5)． [审题视点] 正确分解函数的复合层次，逐层求导．
称f(x)在x＝x0处 可导 ，并称常数A为函数f(x)在点x＝x0处的导
数，记作 f′(x0)
．可表示为“当Δx→0时，
fx0＋Δx－fx0 Δx
→A”．
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是过曲线y＝f(x)上 点 (x0，f(x0)) 的切线的斜率．
3．函数f(x)的导函数 若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也 随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数．该函数 称为f(x)的导函数，记作f′(x)． 4．基本初等函数的导数公式
解 (1)设u＝2x－3，则y＝(2x－3)5，
由y＝u5与u＝2x－3复合而成，
∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u5)′(2x－3)′＝5u4·2
＝10u4＝10(2x－3)4.
(2)设u＝3－x，则y＝ 3－x.
由y＝u12与u＝3－x复合而成．
y′＝f′(u)·u′(x)＝(u12)′(3－x)′＝12u－12(－1)
⑤预测2013年高考对本节内容的考查为：有一大一小的题目， 小题主要考查导数的几何意义或函数图象，大题考查运用导数 研究函数的单调性、极值和最值问题． 3．指导由上面的考情分析可知，导数的复习重点是理解导数 的概念，熟记导数的运算法则和求导公式，熟练掌握导数的几 何意义和应用，会利用导数研究函数的单调性与极值．
两个区别 (1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率 为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可 以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
双基自测 1．(2011·镇江统考)函数f(x)＝ex在x＝1处的切线方程是 ________． 解析 由题意，可得切点为(1，e)，f′(x)＝ex，所以切线的斜 率k＝f′(1)＝e，由点斜式得切线为y＝ex. 答案 y＝ex
解析 ∵f′(x)＝ln x＋1，又f′(x0)＝2，∴ln x0＋1＝2. 解得x0＝e，y0＝e＋1. 故f(x)在点(e，e＋1)处的切线 方程为y－(e＋1)＝2(x－e)， 即2x－y－e＋1＝0. 答案 2x－y－e＋1＝0
求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程：(1)求出函数y＝ f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线 的斜率． (2)切线方程为：y＝y0＋f′(x0)(x－x0)．
解 (1)y′＝2
x12＋1·2x＝
x x2＋1.
(2)y′＝(2sin 2x)(cos 2x)×2＝2sin 4x.
(3)y′＝(－e－x)sin 2x＋e－x(cos 2x)×2
＝e－x(2cos 2x－sin 2x)．
(4)y′＝
1 1＋x2·2
11＋x2·2x＝1＋x x2.
考向四 导数的几何意义 【例4】►设f(x)＝xln x＋1，若f′(x0)＝2，则f(x)在点(x0，y0)处 的切线方程为________． [审题视点] 先求出点(x0，y0)的坐标，再根据所求，由点斜式 写出f(x)在点(x0，y0)处的切线方程．
＝1.
答案 1
4．(2011·泰州学情调查)已知点P在曲线y＝
4 ex＋1
上，α为曲线
在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________． 解析 y′＝－ex4＋ex12＝－ex＋4e1x＋2≥－1，所以tan α≥－1，
即－1≤tan α＜0.又0≤α＜π，所以34π≤α＜π.
答案 34π，π
2．(2011·南通调研)已知函数f(x)＝
1 3
x3＋x2＋(2a－1)x＋a2－a＋
1，若f′(x)＝0在(1,3]上有解，则实数a的取值范围为
________．
解析 由f′(x)＝x2＋2x＋(2a－1)＝0在(1,3]上有解，得2a－1
＝－x2－2x－1＋1＝－(x＋1)2＋1.因为x∈(1,3]，所以2a－1∈
(4)y＝－sin 2x1－2cos24x；
(5)y＝1－1 x＋1＋1 x.
[审题视点] 若式子能化简，可先化简，再利用公式和运算法
则求导．
解 (1)y′＝6x2＋1. (2)∵y＝x12＋x5x＋2 sin x＝x－32＋x3＋sixn2 x， ∴y′＝(x－32)′＋(x3)′＋(x－2sin x)′ ＝－32x－52＋3x2－2x－3sin x＋x－2cos x. (3)y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11.
(4)∵y＝－sin2x－cos2x＝12sin x，
∴y′＝12sin x′＝12(sin x)′＝12cos x.
(5)y＝1－1
x＋1＋1
x＝11＋－
x＋1－ x1＋
xx＝1－2 x，
∴y′＝1－2 x′＝－211－－xx2′＝1－2 x2.
求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、 积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程 中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系 基本函数求导公式．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒 等变形，但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．
设函数u＝φ(x)在点x处有导数ux′＝φ′(x)
，函数y＝f(u) 在
点x的对应点u处有导数 yu＝f′(u) ，则复合函数 y＝f[φ(x)] 在
点x处也有导数，且yx′＝yu′·ux′
或fx′[φ(x)]＝f′(u)φ′(x)
一个关系 (1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常数； (2)函数y＝f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点x而言 的．如果函数y＝f(x)在区间的(a，b)内每一点x都可导，是指对 于区间(a，b)内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数 f′(x0)．这样就在开区间(a，b)内构成了一个新函数，就是函 数f(x)的导函数f′(x)．在不产生混淆的情况下，导函数也简称 导数．
－
x＋1x
＝Δx－
Δx xx＋Δx
，
Δy Δx
＝1－
xx＋1 Δx，
∴y′＝liΔxm→0 ΔΔyx＝liΔxm→0 1－xx＋1 Δx＝1－x12， ∴y′|x＝1＝1－112＝0.
考向二 导数的运算
【例2】►求下列函数的导数．
(1)y＝2x3＋x－6；
(2)y＝
x＋x5＋sin x2
x；
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
【训练4】 已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线， l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程； (2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积． 解 (1)y′＝2x＋1，f′(1)＝3，∴直线l1的方程为y＝3(x－ 1)，即y＝3x－3， 设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，则直线l2的 方程为： y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)(x－b)．即y＝(2b＋1)x－b2－2， ∵l1⊥l2，∴3(2b＋1)＝－1，∴b＝－23， 所以直线l2的方程为y＝－13x－292.