【小初高学习】2019高考物理一轮复习 考点大通关 专题4.2 抛体运动学案

专题4.2 抛体运动
考点精讲
一、平抛运动
1．定义
将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动．
2．性质
加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
3．方法
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动，竖直方向的自由落体运动．
4．基本规律(如图)
(1)位移关系
(2)速度关系
（3）飞行时间
t ＝g 2h
，飞行时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关． （4）水平射程
x ＝v 0t ＝v 0g 2h
，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定，与其他因素无关． （5）落地速度
v ＝y 2＝＋2gh 2，以θ表示落地时速度与x 轴正方向间的夹角，有tan θ＝vx vy ＝v02gh
，所以落地速度也只与初速度v 0和下落高度h 有关．
（6）速度改变量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g ，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt 相同，方向恒为竖直向下，如图所示．
5．两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲中A 点和B 点所示．
甲 乙
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α，如图乙所示．
二、斜抛运动
1．定义
将物体以v沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质
加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
3．研究方法
斜抛运动可以看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛(或竖直下抛)运动的合运动．
4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)
(1)水平方向：v0x＝v0cos_θ，F合x＝0.
(2)竖直方向：v0y＝v0sin_θ，F合y＝mg.
题组1 平抛运动
1．关于平抛运动，下列说法正确的是 ( )
A．平抛运动是变加速曲线运动
B．平抛运动是匀变速曲线运动
C．速度变化仅在竖直方向上
D ．任意相等时间内速度的变化量相等
【答案】BCD
2．物体在做平抛运动的过程中，在相等的时间内，下列物理量相等的是（ ）
A ．速度的增量
B ．加速度
C ．位移
D ．平均速度
【答案】AB
【解析】平抛运动是匀变速曲线运动，加速度为重力加速度g ，由加速度定义a ＝Δt Δv
，可知速度增量Δv ＝g Δt ，所以相等时间内速度的增量是相等的，选项A 正确；在任意时刻物体的加速度都等于重力加速度，在相等时间内，加速度不变，选项B 正确；在相等时间内的水平位移相等，但竖直位移不相等，故合位移不相等，选项C 错误；平均速度为合位移与时间的比值，在相等时间内平均速度不相等，选项D 错误。

3．如图所示，x 轴在水平地面内，y 轴沿竖直方向。

图中画出了从y 轴上沿x 轴正向抛出的三个小球a 、b 和c 的运动轨迹，其中b 和c 是从同一点抛出的。

不计空气阻力，则( )
A ．a 的飞行时间比b 的长
B ．b 和c 的飞行时间相同
C ．a 的水平速度比b 的小
D ．b 的初速度比c 的大
【答案】BD
【解析】平抛运动可看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动，因y ＝21
gt 2, y a ＜y b ＝y c ，所以b 和c 飞行时间相等且比a 的飞行时间长，A 错误，B 正确；因x ＝vt ，x a ＞x b ＞x c ，t a ＜t b ＝t c ，故v a ＞v b ＞v c ，C 错误，D 正确。

4. 如图所示，将小球从空中的A 点以速度v 水平向右抛出，不计空气阻力，小球刚好擦过竖直挡板落在地面上的B 点．若使小球的落地点位于挡板和B 点之间，下列方法可行的是( )
A ．在A 点将小球以小于v 的速度水平抛出
B ．在A 点将小球以大于v 的速度水平抛出
C ．在A 点正下方某位置将小球以小于v 的速度水平抛出
D ．在A 点正上方某位置将小球以小于v 的速度水平抛出
【答案】D
5．“套圈圈”是小孩和大人都喜爱的一种游戏。

如图所示，某小孩和大人直立在界外，在同一条竖直线上的不同高度分别水平抛出圆环，并恰好套中前方同一物体。

假设圆环的运动可以视为平抛运动，则( )
A ．大人抛出的圆环运动的时间较短
B ．大人应以较小的速度抛出圆环
C ．小孩抛出的圆环发生的位移较大
D ．小孩抛出的圆环单位时间内速度的变化量较小
【答案】B
【解析】圆环做平抛运动，小孩抛出的圆环的竖直位移较小，水平位移与大人抛出的圆环的水平位移相等，所以小孩抛出的圆环发生的位移较小，选项C 错误；由竖直方向的运动规律得h ＝21gt 2
，大人抛出的圆环的运动的时间长，选项A 错误；在水平方向上，由x ＝v 0t 可知，大人抛出的圆环的速度较小，选项B 正确；圆环的加速度相同，单位时间内速度的变化量Δv ＝g Δt 相同，选项D 错误。

6．将一只小球水平抛出，小球在空中依次飞过1号、2号、3号三个完全相同的窗户，图中曲线为小球在空中运行的轨迹。

若不计空气阻力的影响，以下说法正确的是( )
A ．小球通过3号窗户所用的时间最长
B ．小球通过1号窗户所用的时间最长
C．小球通过3个窗户的时间是相同的
D．3个窗户所截得的小球运动轨迹相同
【答案】B
7．(多选) 如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，则( )
A．当v1＞v2时，α1＞α2
B．当v1＞v2时，α1＜α2
C．无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2
D．α1、α2的大小与斜面的倾角θ有关
【答案】CD.
【解析】从斜面上抛出，又落到斜面上，位移偏向角一定为θ，设速度偏向角为φ，根据速度偏向角和位移偏向角的关系tan φ＝2tan θ，故无论v1、v2关系如何，一定有φ相等，根据α＝φ－θ，均有α1＝α2，且大小与斜面倾角θ有关，选项A、B错误，C、D 正确．
8. 如图所示，从倾角为θ的斜面上的A点以初速度v0水平抛出一个物体，物体落在斜面上的B点，不计空气阻力．求：
(1)抛出后经多长时间物体与斜面间距离最大？
(2)A 、B 间的距离为多少？
【答案】 (1)g v0tan θ (2)02gcos θtan θ
【解析】 法一：(1)以抛出点为坐标原点，沿斜面方向为x 轴，垂直于斜面方向为y 轴，建立坐标系，(如图1所示)
v x ＝v 0cos θ，v y ＝v 0sin θ，
a x ＝g sin θ，a y ＝g cos θ.
物体沿斜面方向做初速度为v x 、加速度为a x 的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初速度为v y 、加速度为a y 的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动．
令v ′y ＝v 0sin θ－g cos θ·t ＝0，即t ＝g v0tan θ.
(2)当t ＝g v0tan θ时，物体离斜面最远，由对称性可知总飞行时间T ＝2t ＝g 2v0tan θ， AB 间距离s ＝v 0cos θ·T ＋21g sin θ·T 2＝02gcos θtan θ.
法二：(1)如图2所示，当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，v 的切线反向延长与v 0交点为此时横坐标的中点P ，则tan θ＝x 1＝v0t 1，t ＝g v0tan θ.
(2)AC ＝y ＝21gt 2＝022g tan2 θ，而AC ∶CD ＝1∶3，
所以AD ＝4y ＝02g tan2θ，AB 间距离s ＝sin θAD ＝02gcos θtan θ
. 法三：(1)设物体运动到C 点离斜面最远，所用时间为t ，将v 分解成v x 和v y ，如图3所示，则由tan θ＝vx vy ＝v0gt ，得t ＝g v0tan θ.
(2)设由A 到B 所用时间为t ′，水平位移为x ，竖直位移为y ，如图4所示，由图可得 tan θ＝x y
，y ＝x tan θ① y ＝21
gt ′2②
x ＝v 0t ′③ 由①②③得：t ′＝g 2v0tan θ
而x ＝v 0t ′＝02g tan θ
， 因此A 、B 间的距离s ＝cos θx ＝02gcos θtan θ
.
题组2 斜抛运动 1．斜抛运动与平抛运动相比较，正确的是( )
A ．斜抛运动是曲线运动，它的速度方向不断改变，不可能是匀变速运动
B ．都是加速度逐渐增大的曲线运动
C ．平抛运动是速度一直增大的运动，而斜抛运动是速度一直减小的运动
D ．都是任意两段相等时间内的速度变化大小相等的运动
【答案】D
2．如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同。

空气阻力不计，则( )
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B在落地时的速度比A在落地时的大
【答案】CD
【解析】抛体运动是匀变速运动，加速度始终为重力加速度g，故选项A错误；抛体运动的空中运动时间仅由高度决定，两小球的运动时间相等，故选项B错误；抛体运动在水平方向的运动是匀速直线运动，相同时间内小球B的水平位移大，故其水平分速度大，两小球运动到最高点时，小球只有方向水平的速度，显然B的速度大，故选项C正确；由于下降的高度相等，故两小球落地时在竖直方向的分速度大小相等，由运动的的合成可知，B球落地时的速度大，故选项D正确。

方法突破
方法1 补水平线处理平抛运动的方法
诠释：根据物体平抛运动轨迹，选择适当的位置补画水平方向的平面，将运动分解，给解题带来极大的方便。

题组3补水平线处理平抛运动的方法
1．如图所示，某同学分别在同一直线上的A、B、C三个位置投掷篮球，结果都击中篮筐，击中篮筐时篮球的速度方向均沿水平方向，大小分别为v1、v2、v3，若篮球出手时高度相同，速度的方向与水平方向的夹角分别是θ1、θ2、θ3，则下列说法正确的是( )
A. v1<v2<v3
B. v1>v2>v3
C. θ1>θ2>θ3
D. θ1<θ2<θ3
1【答案】 BD
2. (多选)如图所示，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A.已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出( )
A．轰炸机的飞行高度
B．轰炸机的飞行速度
C ．炸弹的飞行时间
D ．炸弹投出时的动能
【答案】 ABC
3．如图所示，在水平放置的半径为R 的圆柱体的正上方的P 点将一个小球以水平速度v 0沿垂直于圆柱体的轴线方向抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q 点沿切线飞过，测得O 、Q 连线与竖直方向的夹角为θ，那么小球完成这段飞行的时间是( )
A ．t ＝gtan θv0
B ．t ＝v0gtan θ
C ．t ＝v0Rsin θ
D ．t ＝v0
Rcos θ
【答案】C 【解析】小球做平抛运动，tan θ＝v0vy ＝v0gt ，则时间t ＝g v0tan θ，选项A 、B 错误；在水平方向上有R sin θ＝v 0t ，则t ＝v0Rsin θ
，选项C 正确，选项D 错误。

4．如图所示，小球以v 0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t 为(重力加速度为g )( )
A ．v 0tan θ B.g 2v0tan θ
C.g v0cot θ
D.g 2v0cot θ
【答案】D
【解析】如图所示，
要使小球到达斜面的位移最小，则小球落点与抛出点的连线应与斜面垂直，所以有tan θ＝y x ，而x ＝v 0t ， y ＝21gt 2，解得t ＝g 2v0cot θ.
方法2四种求解平抛运动飞行时间的方法
诠释：合运动和分运动之间具有等时性，故利用水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动来确定平抛运动的时间。

题组4 四种求解平抛运动飞行时间的方法
1．如图所示，在一次空地演习中，离地H 高处的飞机以水平速度v 1发射一颗炮弹欲轰炸地面目标P ，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度v 2竖直向上发射炮弹拦截。

设拦截系统与飞机的水平距离为s ，若拦截成功，不计空气阻力，则v 1、v 2关系应满足( )
A ．v 1＝v 2
B ．v 1＝s H v 2
C ．v 1＝ g H v 2
D ．v 1＝H s
v 2
【答案】D
【解析】只要满足h 1＋h 2＝H ，即21gt 2＋(v 2t －21gt 2)＝H ，拦截就会成功，而t ＝v1s ，解以上两式可得v 1＝H s
v 2。

2．如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t 到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g 。

下列说法正确的是( )
A ．小球水平抛出时的初速度大小为gt tan θ
B ．小球在t 时间内的位移方向与水平方向的夹角为2θ
C ．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D ．若小球初速度增大，则θ减小
【答案】D
3．如图所示，在倾角为θ的斜面上A 点，以水平速度v 0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上B 点所用的时间为( )
A.g 2v0sin θ
B.g 2v0tan θ
C.g v0sin θ
D.g v0tan θ
【答案】B
【解析】设小球从抛出至落到斜面上的时间为t ，在这段时间内水平位移和竖直位移分别为x ＝v 0t ，y ＝21
gt 2。

如图所示，
由几何关系知tan θ＝x y ＝v0t gt2＝2v0gt ，所以小球的运动时间为t ＝g 2v0
tan θ。

点评：无论何种方法求平抛运动的时间都离不开平抛运动的速度分解和位移分解，利用两个分解可以求平抛运动的时间。

方法3解决平抛运动的临界与极值问题的方法 诠释：在平抛运动中，由于时间由高度决定，水平位移由高度和初速度决定，因而在越过障碍物时，有可能会出现恰好过去或恰好过不去的临界状态，还会出现运动位移的极值等情况．平抛运动中出现临界状态时，对应于临界状态下的运动可得简单的极值问题，否则可通过表达式利用二次函数、三角函数、导数等得到条件极值。

题组5 解决平抛运动的临界与极值问题的方法
1．如图所示，一个电影替身演员准备跑过一个屋顶，然后水平跳跃并离开屋顶，在下一个建筑物的屋顶上着地。

如果他在屋顶跑动的最大速度是4.5m/s ，那么下列关于他能否安全跳过去的说法正确的是(g 取9.8m/s 2)( )
A ．他安全跳过去是可能的
B ．他安全跳过去是不可能的
C ．如果要安全跳过去，他在屋顶跑动的最小速度应大于6.2m/s
D ．如果要安全跳过去，他在屋顶跑动的最大速度应小于4.5m/s
【答案】BC
【解析】根据y ＝21gt 2，当他降落在下一个屋顶时，下落的高度y ＝4.9m ，所用时间t ＝g 2y
＝9.82×4.9s ＝1.0s ，最大水平位移：x ＝v m t ＝4.5×1.0m＝4.5m<6.2m ，所以他不能安全到达下一个屋顶。

要想安全跳过去，他的跑动速度至少要大于1.06.2
m/s ，即6.2m/s 。

故B 、C 正确。

2.一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m ，一小球以水平速度v 飞出，g 取10 m/s 2，欲打在第四台阶上，则v 的取值范围是( )
A. m/s ＜v ≤2 m/s B．2 m/s ＜v ≤3.5 m/s
C. m/s ＜v ＜ m/s D ．2 m/s ＜v ＜ m/s
【答案】A
【解析】.根据平抛运动规律有：x ＝vt ，y ＝21gt 2，若打在第3台阶与第4台阶边沿，则根据几何关系有：vt ＝21gt 2，得v ＝21gt ，如果落到第四台阶上，有：3×0.4＜21gt 2≤4×0.4，代入v ＝21
gt ，得 m/s ＜v ≤2 m/s，A 正确．
3．如图所示，若质点以初速度v 0正对倾角为θ＝37°的斜面水平抛出，要求质点到达斜面时位移最小，则质点的飞行时间为 ( )
A.4g 3v0
B.8g 3v0
C.3g 8v0
D.3g 4v0
【答案】C 【解析】要使质点到达斜面时位移最小，则质点的位移应垂直斜面，如图所示，
有x ＝v 0t ，y ＝21gt 2，且tan θ＝y x ＝gt21＝gt 2v0，所以t ＝gtan θ2v0＝gtan 37°2v0＝3g 8v0，选项C 正确。

4. 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h .不计空气的作用，重力加速度大小为g .若乒乓球的发射速率v
在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )
A.2L16h g <v <L 16h g
B.4L1h g <v < 12226h ）g
C.2L16h g <v <2112226h ）g
D.4L1h g <v <2112226h ）g
【答案】 D
5.如图所示，水平屋顶高H ＝5 m ，围墙高h ＝3.2 m ，围墙到房子的水平距离L ＝3 m ，围墙外空地宽x ＝10 m ，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，g 取10 m/s 2
.求：
(1)小球离开屋顶时的速度v 0的大小范围；
(2)小球落在空地上的最小速度的大小．
【答案】(1)5 m/s≤v 0≤13 m/s (2)5 m/s
【解析】(1)设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v 01，则小球的水平位移：L ＋x ＝v 01t 1
小球的竖直位移：H ＝21gt 12
由以上两式解得 v 01＝(L ＋x ) 2H g ＝13 m/s
设小球恰好越过围墙边缘时的水平初速度为v 02，则此过程中小球的水平位移：L ＝v 02t 2 小球的竖直位移：H －h ＝21gt 22
由以上两式解得：v 02＝5 m/s
小球抛出时的速度大小的范围为5 m/s≤v 0≤13 m/s. (2)小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙的边缘落在空地上时，落地速度最小．
竖直方向：v y 2
＝2gH 又有：v min ＝022y 2y 2
解得：v min ＝5 m/s.。