专题06 解三角形(原卷版)-高三数学百所名校好题分项解析汇编之新高考地区专版(2021版)

高三数学百所名校好题分项解析汇编之新高考地区专版(2021版)
专题06 解三角形
一、单选题
1．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2sin b A =，则B =（ ）
A ．6π
B ．6π或56π
C ．3π
D ．3
π或23π 【来源】2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题
2．已知向量(1,2)AB =，(cos ,sin )AC θθ=，则ABC 面积的最大值为（ ）
A ．2
B ．12
C
D ．1
【来源】江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期未数学试题
3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“cos 0b A c -<”，是“ABC 为锐角三角形”的（ ）条件
A ．充分必要
B ．充分不必要
C ．必要不充分
D ．既不充分也不必要
【来源】海南省海南中学2021届高三第五次月考数学试题
4．已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin cos ,b C B b =⋅=
ABC 的周
长最大时，ABC 的面积为（ ）
A B C D ．
【来源】热点07 不等式-2021年高考数学【热点�重点�难点】专练（山东专用）
5．在ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,,a b c 已知cos cos 2,b C c B b +=则
a b
=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【来源】热点04 三角函数与解三角形-2021年高考数学【热点�重点�难点】专练（山东专用）
6．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若23
A π=
，2b =，且ABC 则a 的值为（ ）
A ．12
B ．8
C ．
D ．【来源】热点04 三角函数与解三角形-2021年高考数学【热点�重点�难点】专练（山东专用）
7．一辆汽车在一水平的公路上由北向南行驶，在公路右侧有一高山．汽车行驶到A 处测得高山在南偏西15°方向上，山顶处的仰角为60°，继续向南行驶300m 到B 处测得高山在南偏西75°方向上，则山高为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【来源】广东省深圳明德实验学校2021届高三上学期11月阶段性考试数学试题
8．在ABC 中，角A 、B 所对的边长分别为a 、b ，则“a b =”是“
cos cos a A b B
=”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件 【来源】山东省菏泽市2021届高三上学期期中考试数学试题（A ）
9．已知O 是ABC 的外心，6AB =，10AC =，
若AO x AB y AC =+，且2105(0)x y x +=≠，则ABC 的面积为（ ）
A ．
B ．18
C ．24
D ．【来源】山东省枣庄市滕州市2020-2021学年高三上学期期中数学试题
10．某公园有一个边长为2m 的等边三角形花圃，现要在花圃中修一条篱笆，将花圃分成面积相等的两部分，则篱笆的最短长度为（ ）
A B C ．1m D
【来源】广东省肇庆市2021届高三上学期第一次（11月）统一检测数学试题
11．四面体ABCD 中，,,2AB BC CD BC BC ⊥⊥=，且异面直线AB 与CD 所成的角为60︒.若四面体
ABCD ABCD 的体积的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．3
D ．6
【来源】浙江省绍兴市稽阳联谊学校2020-2021学年高三上学期11月联考数学试题
12．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，2b =，则
()()222224sin 4s s in s n i i si n n A B c A B C =+++，则a =（ ）
A ．4
B ．1
C ．2
D ．3
【来源】广东省清远市2021届高三上学期11月摸底数学试题
13．设ABC 为等腰三角形，2AB AC ==，2π3
A ∠=，AD 为BC 边上的高，将ADC 沿AD 翻折成
ADC '，若四面体ABC D '的外接球半径为，则线段BC '的长度为（ ）
A ．
B
C
D 【来源】浙江省台州市第一中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题
14．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ．若3A π
∠=，4AC = ，
ABC S =，则sin sin a b
A B +=+（ ）
A ．
B
C ．3 D
【来源】山东省德州市2020-2021学年高三上学期期中考试数学试题
15．在ABC 中，若2
2sin cos cos sin a A B
b A B =，则ABC 的形状为（ ）
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰或直角三角形
【来源】天津市第八中学2020-2021学年高三上学期第三次统练数学试题
16．在ABC 中，3a =，2b =，60A =︒，那么sin B 的值为（ ）
A ．3
B ．3-
C ．3
D ．3-
【来源】天津市静海区瀛海学校2020-2021学年高三上学期高三开学考试数学试题
17．在ABC 中，a ，b ，c 分別为内角A ，B ，C 所対边的边长，若()226c a b =-+，3C π=，则ab
的值是（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12 【来源】福建省2021届普通高中学业水平合格性考试（会考 ）适应性练习数学试卷二试题
18．为了增强数学的应用性，强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究.当地有一座山，高度为OT ，同学们先在地面选择一点A ，在该点处测得这座山在西偏北21.7︒方向，且山顶T 处的仰角为30；然后从A 处向正西方向走140米后到达地面B 处，测得该山在西偏北81.7︒方向，山顶T 处的仰角为60︒.同学们建立了如图模型，则山高OT 为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【来源】湖北省十一校考试联盟2020-2021学年高三上学期12月联考数学试题
19．某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处，他沿南偏西60方向走3km 到达C 处，结果他离出发点恰
km ，那么x 的值为（ ）
A B C 或D ．
【来源】福建省龙海市第二中学2020~2021学年高三上学期第二次月考数学试题
20．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》一章给出计算弧田面积所用的公式为：弧
田面积=
12
（弦×矢+矢×矢）.其中弧田由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指的是圆弧所对弦长，矢等于
半径长与圆心到弦的距离之差.如图，现有圆心角为23π的弧田，其弦与半径构成的三角形面积为照上述公式计算，所得弧田面积是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．4+
【来源】山东省德州市2020-2021学年高三上学期期中考试数学试题
二、填空题
21．在ABC 中，若2AB =，512B π∠=，4
C π∠=，则BC =_________. 【来源】上海市浦东新区2021届高三上学期一模数学试题
22．在ABC 中，若2sin sin a b c B A
+=，则ABC 是________三角形． 【来源】广东省高州市2021届高三上学期第一次模拟数学试题
23．在ABC 中，6A π
=，AB =4AC =，则BC 边上的高的长度为________.
【来源】辽宁省辽西联合校2020-2021学年高三（上）期中数学试题
24．如图，在已知的四边形ABCD 中，AD CD ⊥，3AD =，AB =60BDA ∠=︒，135BCD ∠=︒，点E 为AD 边上的动点，则EB EC ⋅的最小值为_________.
【来源】天津市第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考数学试题
25．如图所示，一块长为5m ，宽为3m 缺一角A 的长方形木板，EF 是直线段.木工师傅想要在BC 的中点M 处作EF 延长线的垂线，可是直角曲尺长度不够，无法直接画出此线.请帮忙在BF 边上找到一点N ，使得木工师傅能精准地完成该项任务，此时FN 的长度为______m.
【来源】山东省威海市威海文登区2020-2021学年高三上学期期中考试数学试题
26．已知圆内接四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，AD DC ==，则CA CB ⋅=________.
【来源】江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中数学试题
27．在ABC 中，若3,4b c C π
===，则角B 的大小为______．
【来源】上海市金山中学2021届高三上学期期中数学试题
28．四面体A BCD -中，AB BC ⊥，CD BC ⊥，2BC =，且异面直线AB 和CD 所成的角为60︒，若
四面体ABCD A BCD -的体积的最大值为_________.
【来源】浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三上学期11月期中数学试题
29．已知ABC D 在线段AC 的延长线上，若45BDC ∠=︒，则BD =________.
【来源】辽宁省抚顺市第一中学2020-2021学年高三第一学期期中考试数学试题
30．△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知23,3a c b B ==
=，那么边c 的长为_____． 【来源】北京市丰台区2021届高三上学期期中练习数学试题
31．已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin sin sin 0A B C -=，则sin sin 2sin B C A
-的取值范围为_________ 【来源】福建省平和县第一中学2021届高三上学期期中考试数学试题
32．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若16cos 1611b C a c =-，3b =，c ＝2，则cos B =
________，ABC S =________.
【来源】浙江省金华市东阳中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题
33．在ABC 中.260AC BC B ===︒，.则ABC 的面积等于________．
【来源】天津市耀华中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题
34．若ABC 222)a c b +-，则B ∠=________． 【来源】北京市铁路第二中学2021届高三上学期期中考试数学试题
35．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,A B C ,若ABC 的周长为10+
sin :sin :sin 2:A B C =，则ABC 的面积为_________． 【来源】山东省济宁市2020-2021学年高三第一学期学分认定数学试题
36．ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若函数()32221()13f x x bx a c ac x =
+++-+有极值点，则角B 的范围是________.
【来源】福建省龙海市第二中学2020~2021学年高三上学期第二次月考数学试题
37．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ＝2，A ＝
3
π，则△ABC 的面积为________．
【来源】黑龙江省肇东市第四中学校2020-2021学年高三上学期期中考试数学（文）试题
38．已知ABC 的外心为,34O AO BC BO AC CO BA ⋅=⋅+⋅，则cos B 的取值范围是_____________.
【来源】八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题（二）
39．已知ABC 中，D 是边BC 上一点，3BD DC =，且60BAD ∠=︒，则sin ACB ∠的最大值是______.
【来源】浙江省“数海漫游”2020-2021学年高三上学期8月线上模拟考试数学试题
40．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则9a c +的最小值为__________．
【来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高三11月学业水平测试数学试题
三、解答题
41．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos sin B b A =
（1）求角B 的大小；
（2）若cos 3
A =，求sin(2)A
B -的值； （3）若2b =，2c a =，求边a 的值.
【来源】天津市河北区2020-2021学年高三上学期期末数学试题
42．设常数k ∈R ，2()cos cos f x k x x x =+，x ∈R .
（1）若()f x 是奇函数，求实数k 的值；
（2）设1k =，ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()1f A =，a =
3b =，求ABC 的面积S .
【来源】上海市杨浦区2021届高三上学期一模（期末）数学试题
43．从条件①22cos b a c A -=，②tan cos cos c C a B b A -=，③4cos 5c B a b -=
中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答．
在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =，b =
________，求ABC 的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．
【来源】广东省高州市2021届高三上学期第一次模拟数学试题
44．在①28sin 2B ；②21cos 22B ；③8cos 15
B 中任选一个填在试题中的横线上，并完成该试题的解答.试题：在AB
C 中，
,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,,1,3,sin()a b c b a c A C =+=+= .求ABC 的面积S .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测数学试题
45．在四边形ABCD 中，A C ∠=∠，E 是AD 上的点且满足BED ∆与ABD ∆相似，34AEB π∠=，6DBE π
∠=，6DE =.
（1）求BD 的长度；
（2）求三角形BCD 面积的最大值.
【来源】山东省济南莱州市2020-2021学年高三上学期开学考试数学试题
46．已知2()sin cos cos 4f x x x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
． （1）求()f x 的单调递减区间；
（2）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若02A f ⎛⎫=
⎪⎝⎭
，1a =，求ABC 面积的最大值． 【来源】北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期数学统练5试题
47．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，2222sin 6b c a bc A π⎛
⎫+-=+ ⎪⎝⎭
. （1）求角A 的大小；
（2）求sin cos B C ⋅的取值范围.
【来源】浙江省杭州高级中学钱江校区2020-2021学年高三上学期12月月考数学试题
48．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
sin sin sin sin A C b B C a c
-=-+. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若ABC 为锐角三角形，且2a =，求ABC 周长的取值范围.
【来源】浙江省百校2020-2021学年高三上学期12月联考数学试题
49．已知ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且2a =，3cos 5B =． （1）若4b =，求sin B 、sin A 的值；
（2）若ABC 的面积4ABC S =，求b ，c 的值．
【来源】山东省济南市旅游学校2020-2021学年第一学期高三期中考试数学试题
50．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()()sin sin sin a c A c A B b B -++=. （1）求角B ；
（2）若4a c +=，求ABC 周长的最小值，并求出此时ABC 的面积.
【来源】山东省菏泽市2021届第一学期高三期中考试数学（B ）试题。