中考数学一轮复习数学平行四边形的专项培优练习题(附解析

中考数学一轮复习数学平行四边形的专项培优练习题(附解析
一、选择题
1．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E、F分别为BC、CD的中点，AP⊥EF分别交BD、EF于O、P两点，M、N分别为BO、DO的中点，连接MP、NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．若AB＝1，则四边形BMPE的面积是（）
A．1
7
B．
1
8
C．
1
9
D．
1
10
2．如图,在四边形ABCD中, AD//BC,且AD>BC,BC= 6cm, AD=9cm, P、Q分别从A、C同时出发,P以1cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C向B运动,多少s时直线将四边形ABCD截出一个平行四边形( )
A．1 B．2 C．3 D．2或3
3．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上的一点，且AB=AE，过点A作AF⊥BE，垂足为F，交BD于点G，点H在AD上，且EH∥AF.若正方形ABCD的边长为2，下列结论：①OE=OG；②EH=BE；③AH=222
，其中正确的有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．如图，边长为1的正方形EFGH在边长为4的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF//AB，CK=1．线段KG的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为 ( ).
A ．26
B ．17
C ．172
D ．262
5．如图，在正方形ABCD 中，点G 是对角线AC 上一点，且CG =CB ，连接BG ，取BG 上任意一点H ，分别作HM ⊥AC 于点M ，HN ⊥BC 于点N ，若正方形的边长为2，则HM +HN 的值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．3
D ．22
6．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，2BD AD =，E 、F 、G 分别是OC 、OD 、AB 的中点，下列结论：
①BE AC ⊥；②EG GF =；③EFG GBE ∆∆≌；④EA 平分GEF ∠；⑤四边形BEFG 是菱形．
其中正确的是( )
A ．①②③
B ．①③④
C ．①②⑤
D ．②③⑤
7．在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、AD 上，∠EFB=2∠AFE=2∠BCE ，CD=9，CE=20，则线段AF 的长为（ ）．
A ．32
B ．112
C 19
D ．4
8．如图，在ABCD 中，1234532,,,,AB AD E E E E E =,，依次是CB 上的五个点，并且1122334455CE E E E E E E E E E B =====，在三个结论：（1）33⊥DE AE ；（2）24⊥AE DE ；（3）22AE DE ⊥之中，正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
9．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，且BG=CG，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；
②∠EAG=45°；③CE=2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC=72
5
.其中正确结论的个数是（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
10．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H.给出如下几个结
论：①△AED≌△DFB：②GC平分∠BGD；③S四边形BCDG＝
3
4
CG2；④∠BGE的大小为定
值．其中正确的结论个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为．
12．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED ＝∠CED ；②OE ＝OD ；③BH ＝HF ；④BC ﹣CF ＝2HE ；⑤AB ＝HF ，其中正确的有_____．
13．如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ，延长 EF 交 CD 于 G ，接 CF ，AG ．下列结论：① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°，且BE + DG = EG ；③
ABCD 19
CEF S S ∆=正方形；④ AD = 3DG ，正确是_______ (填序号)．
14．如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝10cm ，BC ＝3cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B '，C '上．在点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB '与边CD 交于点E ，则点E 相应运动的路径长为_____cm ．
15．如图,在平面直角坐标系中,直线112
y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ，则D 点坐标是_______；在y 轴上有一个动点M ，当MDC △的周长值最小时，则这个最小值是_______．
16．已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终
点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．
17．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为AD 的延长线上一点，且DE ＝DC ，点P 为边AD 上一动点，且PC ⊥PG ，PG ＝PC ，点F 为EG 的中点．当点P 从D 点运动到A 点时，则CF 的最小值为___________
18．如图，矩形ABCD 中，CE CB BE ==，延长BE 交AD 于点M ，延长CE 交AD 于点F ，过点E 作EN BE ⊥，交BA 的延长线于点N ，23FE AN ==，，则BC =_________．
19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠BAC ＝45°，则下列结论：①CD ∥EF ；②EF ＝DF ；③DE 平分∠CDF ；④∠DEC ＝30°；⑤AB ＝2CD ；其中正确的是_____（填序号）
20．如图所示，在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E 、F 、G 、H ，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 添加一个条件，使四边形EFGH 成一个菱形，这个条件是__________．
三、解答题
21．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ．
（1）求证：AOE COF ∆≅∆；
（2）四边形EGCF 是平行四边形吗？请说明理由；
（3）若四边形EGCF 是矩形，则线段AB 、AC 的数量关系是______．
22．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点A D 、不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．
（1）求证：PDE QCE ∆≅∆；
（2）若PB PQ =，点F 是BP 的中点，连结EF AF 、，
①求证：四边形AFEP 是平行四边形；
②求PE 的长．
23．感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE ＝，求证：CE CF ＝；
拓展：在图①中，若G 在AD ，且45GCE ∠︒＝，则GE BE GD +＝成立吗？为什么？ 运用：如图②在四边形ABCD 中，()//AD BC BC AD ＞，90A B ∠∠︒＝＝，16AB BC ＝＝，E 是AB 上一点，且45DCE ∠︒＝，4BE ＝，求DE 的长．
24．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是AC 的一点，连接EB ，过点
A 做AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 与BD 相交于点F ．
（1）猜想：如图（1）线段OE 与线段OF 的数量关系为 ；
（2）拓展：如图（2），若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，AM 、DB 的延长线相交于点F ，其他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（2）给出证明；如果不成立，请说明理由．
25．如图，ABCD 中，60ABC ∠=︒，连结BD ，E 是BC 边上一点，连结AE 交BD 于点F ．
（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积； （2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=︒，求证：3BG GD AG +=．
26．如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B 、C 重合），ADE ∆是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，交直线AC 于点F ，连接BE ．
（1）判断四边形BCFE 的形状，并说明理由；
（2）当DE AB ⊥时，求四边形BCFE 的周长；
（3）四边形BCFE 能否是菱形？若可为菱形，请求出BD 的长，若不可能为菱形，请说明理由．
27．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝nAB ，E ，F 分别在AB ，BC 上．
（1）若n ＝1，AF ⊥DE ．
①如图1，求证：AE ＝BF ；
②如图2，点G 为CB 延长线上一点，DE 的延长线交AG 于H ，若AH ＝AD ，求证：AE +BG ＝AG ；
（2）如图3，若E 为AB 的中点，∠ADE ＝∠EDF ．则CF BF
的值是_____________（结果用含n 的式子表示）．
28．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC 的外部作等腰Rt CED ，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．
()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；
()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；
②若25AB =，2CE =，在图②的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．
29．已知，矩形ABCD 中，4,8AB cm BC cm ==，AC 的垂直平分EF 线分别交AD BC 、于点E F 、，垂足为O ．
（1）如图1，连接AF CE 、，求证：四边形AFCE 为菱形；
（2）如图2，动点P Q 、分别从A C 、两点同时出发，沿AFB △和CDE △各边匀速运动一周，即点P 自A F B A →→→停止，点O 自C D E C →→→停止．在运动过程中，
①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当
A C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，则t =____________．
②若点P Q 、的运动路程分别为a b 、 （单位:,0cm ab ≠），已知A
C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则a 与b 满足的数量关系式为____________．
30．已知：正方形ABCD 和等腰直角三角形AEF ，AE=AF （AE ＜AD ），连接DE 、BF ，P 是DE 的中点，连接AP ．将△AEF 绕点A 逆时针旋转．
（1）如图①，当△AEF 的顶点E 、F 恰好分别落在边AB 、AD 时，则线段AP 与线段BF 的位置关系为 ，数量关系为 ．
（2）当△AEF 绕点A 逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第（1）问中的结论仍然成立．
（3）若AB=3,AE=1，则线段AP 的取值范围为 ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据三角形的中位线的性质得到EF∥BD，EF=1
2
BD，推出点P在AC上，得到PE=
1
2
EF，
得到四边形BMPE平行四边形，过M作MF⊥BC于F，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【详解】
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴EF∥BD，EF=1
2 BD，
∵四边形ABCD是正方形，且AB=BC=1，∴BD=2，
∵AP⊥EF，
∴AP⊥BD，
∴BO=OD，
∴点P在AC上，
∴PE=1
2 EF，
∴PE=BM，
∴四边形BMPE是平行四边形，
∴BO=1
2 BD，
∵M为BO的中点，
∴BM=1
4
BD=
2
4
，
∵E为BC的中点，
∴BE=1
2
BC=
1
2
，
过M作MF⊥BC于F，
∴2
BM=
1
4
，
∴四边形BMPE的面积=BE•MF=1
8
，
故选B．【点睛】
本题考查了七巧板，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意设t 秒时，直线将四边形ABCD 截出一个平行四边形，AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t.要使成平行四边形，则就有AP=BQ 或CQ=PD ，计算即可求出t 值.
【详解】
根据题意设t 秒时，直线将四边形ABCD 截出一个平行四边形
则AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t
要使构成平行四边形
则：AP=BQ 或CQ=PD
进而可得：62t t =- 或29t t =-
解得2t = 或3t =
故选D.
【点睛】
本题主要考查四边形中的动点移动问题，关键在于根据平行四边形的性质列出方程求解即可.
3．D
解析：D
【分析】
根据正方形的性质及全等三角形的判定与性质即可分别求证判断.
【详解】
在正方形ABCD 中，AO=BO ，∠AOG=∠BOE ，AC ⊥BD
∵AF ⊥BE ，∴∠EAF+∠BEO=∠BEO+∠OBE=90°，
∴∠OAG=∠OBE ，∴△OAG ≌△OBE ，故OE=OG ，①正确；
∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB ，
∵EH ∥AF ∴HE ⊥BE ，
∴∠AEF+∠AEH=∠ABE+∠CBE,∴∠AEH=∠CBE
又∵AE=AB=CB,∠HAE=∠ECB=45°，∴△AEH ≌△CBE ，
∴EH=BE ，②正确；
∵△AEH ≌△=
∴AH=CE=AC-AE=，③正确.
故选D
【点睛】
此题主要考查正方形的性质与线段的证明，解题的关键是熟知正方形的性质定理及全等三角形的判定与性质.
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
因为题目没有确定正方形EFGH 的位置，所以我们可以将正方形EFGH 的位置特殊化，使点H 与点A 重合，重新画出图形，这样有利于我们解题，过点M 作MO ⊥ED 于O ，则可得出OM 是梯形FEDC 的中位线，从而可求出ON 、OM ，然后在Rt △MON 中利用勾股定理可求出MN ．
【详解】
如图，将正方形EFGH 的位置特殊化，使点H 与点A 重合，过点M 作MO ⊥ED 与O ，则MO 是梯形FEDC 的中位线，
∴EO=OD=52，MO=12（EF+CD ）=52
， ∵点N 、M 分别是AD 、FC 的中点，
∴AN=ND=2， ∴ON=OD-ND=52
-2=12， 在Rt △MON 中，MN 2=MO 2+ON 2， 即MN=2
25126222⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 故选D ．
【点睛】
本题考查了梯形的中位线定理、正方形的性质及勾股定理的知识，属于综合性题目，对待这样既有动态因素又不确定位置的题目，一定要将位置特殊化，这样不影响结果且解题过程简单，要学会在以后的解题中利用这种思想．
5．A
解析：A
【分析】
连接CH ，过G 点作GP ⊥BC 于点P ，根据BHC GHC BCG S S S ∆∆∆+=将HM HN +转化为GP 的长，再由等腰直角三角形的性质进行求解即可得解.
【详解】
连接CH ，过G 点作GP ⊥BC 于点P ，如下图所示：
由题可知：12HBC S BC HN ∆=⨯，12HGC S GC HM ∆=⨯，12
BGC S BC GP ∆=⨯ ∵BHC GHC BCG S S S ∆∆∆+= ∴
111222
BC HN GC HM BC GP ⨯+⨯=⨯ ∵CG =CB ，
∴HN HM GP += ∵四边形ABCD 是正方形，正方形的边长为2
∴45BCA ∠=︒，22AC =∴222CB CG AC ==
= ∵GP ⊥BC
∴GPC ∆是等腰直角三角形 ∴22GP ==∴2HN HM +=
，
故选：A.
【点睛】 本题主要考查了三角形的面积求法，正方形的性质，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.
6．B
解析：B
【分析】
由平行四边形的性质可得OB ＝BC ，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断②错误，通过证四边形BGFE 是平行四边形，可判断③正确，由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确，由∠BAC≠30°可判断⑤错误．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴BO ＝DO ＝
12
BD ，AD ＝BC ，AB ＝CD ，AB ∥BC ， 又∵BD ＝2AD ，
∴OB ＝BC ＝OD ＝DA ，且点E 是OC 中点，
∴BE⊥AC，故①正确，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，EF＝1
2 CD，
∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，
∴GE＝1
2
AB＝AG＝BG
∴EG＝EF＝AG＝BG，无法证明GE＝GF，故②错误，∵BG＝EF，AB∥CD∥EF
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴GF＝BE，且BG＝EF，GE＝GE，
∴△BGE≌△FEG（SSS）故③正确
∵EF∥CD∥AB，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF，
∵AG＝GE，
∴∠GAE＝∠AEG，
∴∠AEG＝∠AEF，
∴AE平分∠GEF，故④正确，
若四边形BEFG是菱形
∴BE＝BG＝1
2 AB，
∴∠BAC＝30°
与题意不符合，故⑤错误
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
如图，取CE的中点H，连接BH，设∠EFB=2∠AFE=2∠ECB=2a，则∠AFB=3a，进而求出BH=CH=EH=10，∠HBC=∠HCB=a，再根据AD∥BC求出EF∥BH，进而得出△EFG和△BGH 均为等腰三角形，则BF=EH=10，再根据勾股定理即可求解.
【详解】
如图，取CE的中点H，连接BH，设∠EFB=2∠AFE=2∠ECB=2a，则∠AFB=3a，
∵在矩形ABCD 中有AD ∥BC ，∠A=∠ABC=90°，
∴△BCE 为直角三角形，
∵点H 为斜边CE 的中点，CE=20，
∴BH=CH=EH=10，∠HBC=∠HCB=a ，
∵AD ∥BC ，
∴∠AFB=∠FBC=3a ，
∴∠GBH=3a-a=2a=∠EFB ，
∴EF ∥BH ，
∴∠FEG=∠GHB=∠HBC+∠HCB=2a=∠EFB=∠GBH ，
∴△EFG 和△BGH 均为等腰三角形，
∴BF=EH=10，
∵AB=CD=9， ∴222210919AF BF AB =
-=-=
故选C.
【点睛】
本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线. 8．B
解析：B
【分析】
先根据平行四边形性质和等腰三角形性质可得2AE 是BAD ∠的角平分线，4DE 是ADC ∠的角平分线，结论（2）正确．再利用结论（2）可得3390DAE ADE ∠+∠>︒，2290DAE ADE ∠+∠>︒即可判断结论（1）（3）错误，
【详解】
解：设1122334455CE E E E E E E E E E B m ======，则6BC m =， ABCD ，32AB AD =
6AD BC m ∴==，//AD BC ，//AB CD ，4AB CD m ==
在2ABE ∆中，24BE m AB ==
22AE B BAE ∴∠=∠，
//AD BC ，
∴22AE B DAE ∠=∠，
221=2
DAE BAE BAD ∴∠=∠∠， 同理可得：4412
ADE CDE ADC ∠==∠∠， //AB CD ，
∴180BAD ADC ∠+∠=︒，
2490DAE ADE ∴∠+∠=︒
42AE DE ∴⊥，
故（2）正确；
∵32DAE DAE ∠>∠，34ADE ADE ∠>∠，
∴3324DAE ADE DAE ADE ∠+∠>∠+∠，即3390DAE ADE ∠+∠>︒，
∴390AE D ∠<︒
所以3DE 与3AE 不垂直，故（1）不正确；
∵，24ADE ADE ∠>∠，
∴2224DAE ADE DAE ADE ∠+∠>∠+∠，即2290DAE ADE ∠+∠>︒，
∴290AE D ∠<︒
故（3）不正确；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理等，证明2AE 是BAD ∠的角平分线，4DE 是ADC ∠的角平分线是解题关键．
9．D
解析：D
【分析】
根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt △ABG ≌Rt △AFG ；根据角的和差关系求得∠GAF =45°；在直角△ECG 中，根据勾股定理可证CE =2DE ；通过证明
∠AGB =∠AGF =∠GFC =∠GCF ，由平行线的判定可得AG ∥CF ；求出S △ECG ，由S △FCG =35
GCE S ∆即可得出结论．
【详解】
①正确．理由：
∵AB =AD =AF ，AG =AG ，∠B =∠AFG =90°，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ）；
②正确．理由：
∵∠BAG =∠FAG ，∠DAE =∠FAE ．
又∵∠BAD =90°，∴∠EAG =45°；
③正确．理由：
设DE =x ，则EF =x ，EC =12-x ．在直角△ECG 中，根据勾股定理，
得：（12﹣x ）2+62=（x +6）2，解得：x =4，∴DE =x =4，CE =12-x =8，∴CE =2DE ；
④正确．理由：
∵CG=BG，BG=GF，∴CG=GF，∴∠GFC=∠GCF．
又
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；
⑤正确．理由：
∵S△ECG=1
2
GC•CE=
1
2
×6×8=24．
∵S△FCG=3
5GCE
S
∆
=
3
24
5
⨯=
72
5
．
故选D．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．
10．D
解析：D
【分析】
①先证明△ABD为等边三角形,根据“SAS”证明△AED≌△DFB;
②证明∠BGE＝60︒＝∠BCD,从而得点B、C、D、G四点共圆,因此∠BGC＝∠DGC＝60︒;
③过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N.证明△CBM≌△CDN,所以S四边形BCDG＝S四边形CMGN,易求后者的面积;
④∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60︒,故为定值.
【详解】
解：①∵ABC D为菱形,
∴AB＝AD,
∵AB＝BD,
∴△ABD为等边三角形,
∴∠A＝∠BDF＝60︒
又∵AE＝DF,AD＝BD,
∴△AED≌△DFB（SAS）,
故本选项正确;
②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60︒＝∠BCD,即∠BGD+∠BCD＝180︒,
∴点B、C、D、G四点共圆,
∴∠BGC＝∠BDC＝60︒,∠DGC＝∠DBC＝60︒,
∴∠BGC＝∠DGC＝60︒,
故本选项正确;
③过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N（如图）,
则△CBM≌△CDN（AAS）,
∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN
S四边形CMGN＝2S△CMG,
∵∠CGM＝60︒,
∴GM＝1
2
CG,CM＝
3
2
CG,
∴S四边形CMGN＝2S△CMG＝2×1
2
×
1
2
332
,
故本选项正确;
④∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60︒,为定值,
故本选项正确;
综上所述,正确的结论有①②③④,
故选：D.
【点睛】
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定、等边三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握菱形的性质．
二、填空题
11．5
【详解】
由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DE，交AC于点P，那PE+PB的值最小．在Rt△CDE中，由勾股定理先计算出DE的长度，即为PE+PB的最小值．连接DE，交AC于点P，连接BD．
∵点B与点D关于AC对称，
∴DE的长即为PE+PB的最小值，
∵AB=4，E是BC的中点，
∴CE=2，
在Rt △CDE 中，
DE=25．
考点：(1)、轴对称-最短路线问题；(3)、正方形的性质．
12．①②③④
【分析】
①根据角平分线的定义可得∠BAE =∠DAE =45°，可得出△ABE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE 2=，从而得到AE =AD ，然后利用“角角边”证明△ABE 和△AHD 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE =DH ，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE =∠AED =67.5°，根据平角等于180°求出∠CED =67.5°，从而判断出①正确； ②求出∠AHB =67.5°，∠DHO =∠ODH =22.5°，然后根据等角对等边可得OE =OD =OH ，判断出②正确；
③求出∠EBH =∠OHD =22.5°，∠AEB =∠HDF =45°，然后利用“角边角”证明△BEH 和△HDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得BH =HF ，判断出③正确；
④根据全等三角形对应边相等可得DF =HE ，然后根据HE =AE ﹣AH =BC ﹣CD ，BC ﹣CF =BC ﹣（CD ﹣DF ）=2HE ，判断出④正确；
⑤判断出△ABH 不是等边三角形，从而得到AB ≠BH ，即AB ≠HF ，得到⑤错误．
【详解】
∵在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠DAE =45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE 2=
． ∵AD 2=，∴AE =AD ．
在△ABE 和△AHD 中，∵90BAE DAE ABE AHD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，∴△ABE ≌△AHD （AAS ），
∴BE =DH ，∴AB =BE =AH =HD ，∴∠ADE =∠AED 12
=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED =180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED =∠CED ，故①正确；
∵∠AHB 12
=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE =∠AHB （对顶角相等），∴∠OHE =∠AED ，∴OE =OH ．
∵∠DOH =90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH =67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DOH =∠ODH ，∴OH =OD ，∴OE =OD =OH ，故②正确；
∵∠EBH =90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH =∠OHD ．
在△BEH 和△HDF 中，∵EBH OHD BE DH AEB HDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，∴△BEH ≌△HDF （ASA ），∴BH =HF ，
HE =DF ，故③正确；
由上述①、②、③可得CD =BE 、DF =EH =CE ，CF =CD ﹣DF ，∴BC ﹣CF =（CD +HE ）﹣（CD ﹣HE ）=2HE ，所以④正确；
∵AB =AH ，∠BAE =45°，∴△ABH 不是等边三角形，∴AB ≠BH ，∴即AB ≠HF ，故⑤错误；
综上所述：结论正确的是①②③④．
故答案为①②③④．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
13．①②④
【分析】
①根据折叠得△ABE ≌△AFE ，证明△EFC 是等腰三角形，得到∠EFC=∠ECF ，根据
∠BEF=∠EFC+∠FEC ，得出∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF ，即可证明AE ∥FC ，故①正确；②根据四边形ABCD 是正方形，且△ABE ≌△AFE ，证明Rt △AFG ≌Rt △ADG ，得出
∠FAG=∠GAD ，根据∠BAF+∠FAD=90°，推出∠EAF+∠FAG=45°，可得∠EAG=45°，根据全等得：BE=FE ，DG=FG ，即可得BE+DG=EF+GF=EG ，故②正确；③先求出S △ECG ，根据EF ：FG=2a ：3a =3：2，得出S △EFC ：S △FCG =3：2，即S △EFC =2110
a ，再根据S ABCD =a 2，得出S △CEF ：S △ABCD =
2110a ：2a ，即S △CEF =110S ABCD ，故③错误；④设正方形的边长为a ，根据勾股定理得
2
a ，设DG=x ，则CG=a-x ，FG=x ，EG=2a +x ，再根据勾股定理求出x ，即可得出结论，故④正确．
【详解】
解：①由折叠可得△ABE ≌△AFE ，
∴∠BEA=∠AEF ，BE=EF ，
∵E 是BC 中点，
∴BE=CE=EF ，
∴△EFC 是等腰三角形，
∴∠EFC=∠ECF ，
∵∠BEF=∠EFC+∠FEC ，
∴∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF ，
∴AE ∥FC ，故①正确；
②∵四边形ABCD 是正方形，且△ABE ≌△AFE ，
∴AB=AF=AD ，∠B=∠D=∠AFG ，
∴△AFG 和△ADG 是直角三角形，
∴在Rt △AFG 和Rt △ADG 中 AF AD AG AG ==⎧⎨⎩
， ∴Rt △AFG ≌Rt △ADG （HL ），
∴∠FAG=∠GAD ，
又∵∠BAF+∠FAD=90°，
∴2∠EAF+2∠FAG=90°，
即∠EAF+∠FAG=45°，
∴∠EAG=45°，
由全等得：BE=FE ，DG=FG ，
∴BE+DG=EF+GF=EG ，故②正确；
③对于Rt △ECG ，
S △ECG =12×EC ×CG=12×2a ×23a =216
a ， ∵EF ：FG=2a ：3
a =3：2， 则S △EFC ：S △FCG =3：2，即S △EFC =
2110a ， 又∵S ABCD =a 2，
则S △CEF ：S △ABCD =2110
a ：2a ，即S △CEF =110S ABCD ，故③错误； ④设正方形的边长为a ，
∴AB=AD=AF=a ，BE=EF=2
a =EC ，
由勾股定理得， 设DG=x ，则CG=a-x ，FG=x ， EG=2
a +x ， ∴EG 2=EC 2+CG 2，即（
2a +x ）2=（2a ）2+（a-x ）2， 解得x=3a ，CG=23
a ， 即AD=3DG 成立，故④正确．
【点睛】
本题考查了正方形的折叠问题，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．
141
【分析】
探究点E 的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．
【详解】
如图1中，当点M 与A 重合时，AE ＝EN ，设AE ＝EN ＝xcm ，
在Rt △ADE 中，则有x 2＝32+（9﹣x ）2，解得x ＝5，
∴DE ＝10﹣1-5＝4（cm ），
如图2中，当点M 运动到MB ′⊥AB 时，DE ′的值最大，DE ′＝10﹣1﹣3＝6（cm ），
如图3中，当点M 运动到点B ′落在CD 时， 22221310NB C N C B ''''=+=+=
DB ′（即DE ″）＝10﹣1﹣10＝（9﹣10）（cm ），
∴点E 的运动轨迹E →E ′→E ″，运动路径＝EE ′+E ′B ′＝6﹣4+6﹣（910101）（cm ）．
101．
【点睛】
本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运
用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
15．(3,2)-
【分析】
如图（见解析），先根据一次函数的解析式可得点A 、B 的坐标，从而可得OA 、OB 、AB 的长，再根据正方形的性质可得90BAD ∠=︒，DA AB =，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,AE OB DE OA ==，由此即可得出点D 的坐标；同样的方法可求出点C 的坐标，再根据轴对称的性质可得点C '的坐标，然后根据轴对称的性质和两点之间线段最短得出MDC △的周长值最小时，点M 的位置，最后利用两点之间的距离公式、三角形的周长公式即可得．
【详解】
如图，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，作点C 关于y 轴的对称点C '，交y 轴于点F ，连接C D '，交y 轴于点M '，连接C M '，则CF y ⊥轴 对于112
y x =+ 当0y =时，
1102
x +=，解得2x =-，则点A 的坐标为(2,0)A - 当0x =时，1y =，则点B 的坐标为(0,1)B
2,1,OA OB AB ∴====四边形ABCD 是正方形
90BAD ∴∠=︒
，CD DA AB ===90DAE OAB ABO OAB ∴∠+∠=∠+∠=︒
DAE ABO ∴∠=∠
在ADE 和BAO 中，90AED BOA DAE ABO DA AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ADE BAO AAS ∴≅
1,2AE OB DE OA ∴====
213OE OA AE ∴=+=+=
则点D 的坐标为(3,2)D -
同理可证：CBF BAO ≅
1,2CF OB BF OA ∴====
123OF OB BF ∴=+=+=
则点C 的坐标为(1,3)C -
由轴对称的性质得：点C '的坐标为(1,3)C '，且CM C M '=
MDC ∴△
的周长为CD DM CM DM C M '++=+
由两点之间线段最短得：当点M 与点M '重合时，DM C M '+取得最小值DC '
(3,2),(1,3)D C '- 22(31)(23)17DC '∴=--+-=
则MDC △的周长的最小值为5517DC '+=+
故答案为：(3,2)-，517+．
【点睛】
本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、轴对称的性质等知识点，正确找出MDC △的周长最小时，点M 的位置是解题关键． 16．1或7．
【分析】
存在2种情况满足条件，一种是点P 在BC 上，只需要BP=CE 即可得全等；另一种是点P 在AD 上，只需要AP=CE 即可得全等
【详解】
设点P 的运动时间为t 秒，
当点P 在线段BC 上时，则2BP t =，
∵四边形ABCD 为长方形，
∴AB CD =，90B DCE ∠=∠=︒，
此时有ABP DCE ∆∆≌，
∴BP CE =，即22t =，解得1t =；
当点P 在线段AD 上时，则2BC CD DP t ++=，
∵4AB =，6AD =，
∴6BC =，4CD =，
∴()()6462162AP BC CD DA BC CD DP t t =++-++=++-=-，
∴162AP t =-，
此时有ABP CDE ∆∆≌，
∴AP CE =，即1622t -=，解得7t =；
综上可知当t 为1秒或7秒时，ABP ∆和CDE ∆全等.
故答案为：1或7．
【点睛】
本题考查动点问题，解题关键是根据矩形的性质可得，要证三角形的全等，只需要还得到
一条直角边相等即可
17．22
【分析】
由正方形ABCD的边长为4，得出AB=BC=4，∠B=90°，得出AC=42，当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，则EG的中点为D，即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的路径为DF，由D是AE的中点，F是EG的中点，得出DF是△EAG 的中位线，证得∠FDA=45°，则F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最
小，此时CF=1
2
AG=22．
【详解】
解：连接FD
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AB=BC=4，∠B=90°，
∴AC=2，
当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，
∴EG的中点为D，即F与D重合，
当点P从D点运动到A点时，则点F运动的轨迹为DF，∵D是AE的中点，F是EG的中点，
∴DF是△EAG的中位线，
∴DF∥AG，
∵∠CAG=90°，∠CAB=45°，
∴∠BAG=45°，
∴∠EAG=135°，
∴∠EDF=135°，
∴∠FDA=45°，
∴F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，
此时CF最小，
此时CF=1
2
AG=22
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
18．663
【分析】
==，得到△FEM是等边三角形，根据含30°直通过四边形ABCD是矩形以及CE CB BE
角三角形的性质以及勾股定理得到KM，NK，KE的值，进而得到NE的值，再利用30°直角三角形的性质及勾股定理得到BN，BE即可．
【详解】
解：如图，设NE交AD于点K，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠MFE=∠FCB，∠FME=∠EBC
==，
∵CE CB BE
∴△BCE为等边三角形，
∴∠BEC=∠ECB=∠EBC=60°，
∵∠FEM=∠BEC，
∴∠FEM=∠MFE=∠FME=60°，
∴△FEM是等边三角形，FM=FE=EM=2，
∵EN⊥BE，
∴∠NEM=∠NEB=90°，
∴∠NKA=∠MKE=30°，
∴KM=2EM=4，NK=2AN=6，
∴在Rt△KME中，KE=2223
-=，
KM EM
∴NE=NK+KE=6+23，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，
∴BN=2NE=12+43，
∴BE=22663
-=+，
BN NE
∴BC=BE=663，
故答案为：663
【点睛】
本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用30°直角三角形的性质．
19．①②③⑤
【分析】
根据三角形中位线定理得到EF＝1
2
AB，EF∥AB，根据直角三角形的性质得到DF＝
1
2
AC，
根据三角形内角和定理、勾股定理计算即可判断．【详解】
∵E，F分别是BC，AC的中点，
∴EF＝1
2
AB，EF∥AB，
∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴EF∥CD，故①正确；
∵∠ADC＝90°，F是AC的中点，
∴DF＝CF=1
2 AC，
∵AB=AC，EF＝1
2 AB，
∴EF＝DF，故②正确；
∵∠CAD=∠ACD=45°，点F是AC中点，
∴△ACD是等腰直角三角形，DF⊥AC，∠FDC=45°，∴∠DFC=90°，
∵EF//AB，
∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°，
∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=135°，
∴∠FED＝∠FDE＝22.5°，
∵∠FDC＝45°，
∴∠CDE=∠FDC-∠FDE=22.5°，
∴∠FDE=∠CDE，
∴DE平分∠FDC，故③正确；
∵AB＝AC，∠CAB＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝67.5°，
∴∠DEC＝∠FEC﹣∠FED＝45°，故④错误；
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴AC2=2CD2，
∴CD，
∵AB=AC，
∴AB＝2CD，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
20．答案不唯一，例AC=BD 等
【分析】
连接AC、BD，先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的特点添加条件即可.【详解】
连接AC，
∵点E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，EF=1
2 AC，
同理HG∥AC，HG=1
2 AC,
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
连接BD,同理EH=FG,EF∥FG，
当AC=BD时，四边形EFGH是平行四边形，
故答案为：答案不唯一，例AC=BD 等.
【点睛】
此题考查三角形中位线性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定.
三、解答题
21．（1）见解析；（2）四边形EGCF为平行四边形，理由见解析；（3）AC=2AB．【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到OE=OF即可证得结论；
（2）利用AOE COF
∆≅∆得到∠EAO=∠FCO，AE=CF，由此推出AE∥CF，EG=CF即可证得四边形EGCF是平行四边形；
（3）AC=2AB ，根据平行四边形的性质推出AB=AO ，利用点E 是OB 的中点，得到AG ⊥OB ，即可得到四边形EGCF 是矩形.
【详解】
（1）四边形ABCD 为平行四边形，
OA OC ∴=，OB OD =，
点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，
12OE OB ∴=，12
OF OD =， 则OE OF =，
在AOE ∆与COF ∆中
OA OC AOE COF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
AOE COF ∴∆≅∆；
（2）AOE COF ∆≅∆，
EAO FCO ∴∠=∠，AE CF =，
//AE CF ∴，
又GE AE =，
GE CF ∴=，
∴四边形EGCF 为平行四边形；
（3）当AC=2AB 时，四边形EGCF 是矩形.
∵AC=2AB ，AC=2AO ，
∴AB=AO ，
∵点E 是OB 的中点，
∴AG ⊥OB ，
∴∠GEF=90°，
∴四边形EGCF 是矩形.
故答案为：AC=2AB .
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定及性质，矩形的判定定理，等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握各知识点并运用解题是关键.
22．（1）见解析；（2
）①见解析；②6
PE =
【分析】
（1）由四边形ABCD 是正方形知∠D=∠ECQ=90°，由E 是CD 的中点知DE=CE ，结合∠DEP=∠CEQ 即可得证；
（2）①由PB=PQ 知∠PBQ=∠Q ，结合AD ∥BC 得∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD ，由△PDE ≌△QCE 知PE=QE ，再由EF ∥BQ 知PF=BF ，根据Rt △PAB 中AF=PF=BF 知
∠APF=∠PAF ，从而得∠PAF=∠EPD ，据此即可证得PE ∥AF ，从而得证； ②设AP x =，则1PD x =-，1CQ x =-，2BQ x =-，利用三角形中位线定理得到
()122EF x =
-，由EF AP =，构造方程即可求得23
x =，在Rt PDE ∆中，利用勾股定理即可求解．
【详解】 （1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠D=∠ECQ=90°，
∵E 是CD 的中点，
∴DE=CE ，
又∵∠DEP=∠CEQ ，
∴△PDE ≌△QCE （ASA ）；
（2）①∵PB=PQ ，
∴∠PBQ=∠Q ，
∵AD ∥BC ，
∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD ，
∵△PDE ≌△QCE ，
∴PE=QE ，
∵PF=BF ，
∴EF 是PBQ ∆的中位线，
∴EF ∥BQ ，
∴在Rt △PAB 中，AF=PF=BF ，
∴∠APF=∠PAF ，
∴∠PAF=∠EPD ，
∴PE ∥AF ，
∵EF ∥BQ ∥AD ，
∴四边形AFEP 是平行四边形；
②设AP x =，则1PD x =-，
∴1CQ x =-，
∴2BQ x =-，
∵EF 是PBQ ∆的中位线， ∴()122EF x =
-， ∵EF
AP =， ∴()122
x x -=， ∴23x =，
在Rt PDE ∆中，222PD DE PE +＝，即22221(1)()32PE -+＝，
∴6PE =
． 【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质以及勾股定理等知识点．掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）GE=BE+GD 成立，理由见解析；（3）
685
【分析】
（1）利用已知条件，可证出△BCE ≌△DCF (SAS )，即可得到CE=CF ；
（2）借助（1）的结论得出∠BCE =∠DCF ，再通过角的计算得出∠GCF =∠GCE ，由SAS 可得△ECG ≌△FCG ，则EG=GF ，从而得出GE=DF+GD=BE+GD ；
（3）过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ，先证四边形ABCG 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)，再设DE =x ，利用（1）、（2）的结论，在Rt △AED 中利用勾股定理构造方程即可求出DE ．
【详解】
（1）证明：如图①，在正方形ABCD 中，BC=CD ，∠B =∠ADC =90°，
∴∠CDF=90°，即∠B =∠CDF =90°，
在△BCE 和△DCF 中， BC DC B CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BCE ≌△DCF (SAS )，
∴CE=CF ；
（2）解：如图①，GE=BE+GD 成立，理由如下：
由（1）得△BCE ≌△DCF ，
∴∠BCE=∠DCF ，
∴∠ECD +∠ECB=∠ECD +∠FCD ，
即∠ECF =∠BCD =90°，
又∵∠GCE =45°，
∴∠GCF =∠ECF −∠ECG =45°，则∠GCF=∠GCE ，
在△GEC 和△GFC 中，
CE CF GCE GCF GC GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△GEC ≌△GFC (SAS )，。