复合场中的等时圆模型高三物理一轮复习专题

等时圆现象指质点在圆中不同的弦的一端从静止开始运动到弦的另一端点所用时间相等，且都等于沿某一直径的一端从静止开始运动到另一端所用的时间。

复合场指某空间同时存在重力场、电场、磁场三种场中的两种场或三种场。

做有关等时圆现象的题可练习建模能力、受力分析能力、综合应用牛顿第二定律、运动学公式、电场力、磁场力以及几何知识的能力。

一、复合场中“等时圆〞模型根本规律
1、匀强电场与重力场组成的复合场中“等时圆〞推论
如图1所示竖直平面内有一圆，AB 是圆的直径，在平面内有水平向左的匀强电场，带正电绝缘小滑块受到的重力与电场力的合力方向恰好与AB 平行且由A 指向B ，带正电绝缘小滑块沿经过A 点的任一光滑弦从静止滑到弦轨道与圆交点的时间相等。

证明：如图1所示，设AC 弦与直径AB 夹角为θ，圆
的直径为d ，那么0
90=∠ACB 。

带正电绝缘小滑块沿光
滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为m F a θcos =，位移为θcos d x =，运动时间为 F
md F md a x t 2cos cos 220===θθ 所以沿弦运动具有等时性，运动时间与弦的长短以
及弦和直径的夹角无关。

2、由重力场、匀强电场、匀强磁场叠加的
复合场中中“等时圆〞推论
在图1中，如果有垂直纸面向里的匀强磁场，
带正电绝缘小滑块运动方向与磁场垂直，小滑块沿
轨道运动的加速度不会变化，即其受到的洛伦兹力
不影响质点在轨道上的运动时间，所以上述结论仍
成立即“带正电绝缘小滑块沿经过A 点的任一光
滑弦从静止滑到弦轨道与圆交点的时间相等。

〞
二、复合场中“等时圆〞模型例析
例1：如图2所示，竖直的圆环放在水平向左的匀强电场中，半径为R ，AB 、AC 、AD 三条光滑管道中分别有三个质量均为m 、带正电且A B
C D 图2 600
电量相等的绝缘小球无初速度地从A 端释放后，分别在管道AB 、AC 、AD 中下滑到D 、C 、B 三端点。

AB 竖直，AD 与竖直方向夹角为600，AC 经过圆心。

小球所受重力大小与电场力大小之比为3
3，那么小球其中运动时间最长的管道是〔 〕 A 、 AD B 、AC C 、AB D 、条件缺乏，无法判定
解析：如图3所示，小球所受重力大小与电场力大小
之比为3
3可知，小球所受重力与电场力的合力F 的方向恰好与AD 平行，且由A 指向D 。

过AC 两点画
一个虚线圆，且圆心在AD 上，直径长设为d ，延长管
道AD 到M 。

AB 与虚线圆交于N 点。

设AC 与AD
夹角为θ，小球在管道AC 上运动的加速度
m F a θ
cos =，位移θcos d x =。

小球在光滑管道AC
上从A 点静止释放，到达C 的时间
F
dm F dm a d t 2cos cos 2cos 2===θθθ，等于沿虚线圆直径从A 点静止释放小球后滑到M 点所用时间，与θ和弦长无关，所以从A 点静止释放小球后滑到N 点所用时间也为F
dm t 2=。

AD 短于AM ，AB 长于AN ，所以沿管道AB 运动时间最长。

故正确答案是C 选项
例2、如图4所示，竖直圆环上的两条直径CD 和AB 夹角
为600，CD 竖直，圆环内有两条光滑轨道AM 、AC 。

一个带
负电绝缘光滑小球从A 点静止释放，沿轨道AC 到达C 点时
间为ｔ。

在圆环所在空间加匀强电场，方向与圆环所在平面
平行，小球在A 点时受到的电场力与重力的合力方向恰好由
A 指向
B ，让该小球从A 点静止释放，沿轨道AM 到达M 点时间也为ｔ。

小球质量为ｍ，带电量为－ｑ。

求所加电场的电场强度大小和方向。

解析：如图5所示，在重力场中，小球从A 点静止释放，沿轨道A
C 到达C 点时间 g
d g d t 2cos cos 2==θθ〔ｄ是圆的直径，θ是重力与AC 夹角〕①
在匀强电场和重力场组成的复合场中，电场力与重力的合力
大小设为Ｆ，小球从A 点静止释，沿轨道AM 到达M 点时
间F
md F md t 2cos cos 2==ββ ② 由①②可知F ＝ｍｇ根据三角形定那么和几何知识，重力G 、
电场力F 电及这二力的合力F 构成等边三角形，即F 电=mg=qE ，
得到所求电场强度大小E=mg/q ，小球带负电，所以电场方向
竖直方向夹角为600
，斜向右下方。

例3、如图6所示，在竖直平面内有两个圆相切于O 点，圆心分别为O 1、O 2、
直径径分别d 1、d 2。

在一、二象限内有竖直向下的匀强电场，场强大小为E ；在圆内有垂直纸面向里的磁场，磁感应强度大小为B 1。

在三、四象限内有竖直向上的匀强电场，场强大小也为E ；在圆内有垂直纸面向外的磁场，磁感应强度大小为B 2。

有两个管道AB 、CD 都经过O 点，
A 、C 在☉O 1上，
B 、D 在☉O 2上。

一带正电绝缘光滑小球，直径略小于管道直径，分别从管道A 端、
C 端从静止释放，经管道内到达B 端、
D 端所用时间分别为t 1、t 2。

小球在电场中受到的电场力小于其重力。

以下说法正确的有〔 〕
A 、管道A
B 比CD 长，所以t 1>t 2
B 、 t 1=t 2
C 、 如果第三象限内没有电场，那么有 t 1>t 2
D 、 因B 2与B 1大小关系不确定，所以t 1与t 2大小关系也不确
定。

解析：光滑小球在管道内运动受到的洛伦兹力与管道垂直，不影
响小球运动的速度和加速度，所以不用考虑磁场对运动时间的影
响。

所以D 选项错。

如图7所示，设小球质量为m ，AB 与Y 轴夹图6
角为θ，在第一、二象限小球受到的重力与电场力合力为F 1，在第三、四象限小球受到的重力与电场力合力为F 2，小球在AO 运动的位移大小为d 1cos θ，小球在OB 运动的位移大小为d 2cos θ， 根据牛顿第二定律和运动学公式有：2112cos cos AO t m F d θθ=得1
12F md t AO =，与θ无关，与管 道在圆中长度无关。

所以112F md t t AO CO =
=，即两小球在☉O 1中局部管道运动时间相等。

22122cos cos cos OB OB AO t m
F t t m F d θθθ+=化简得22122OB OB AO t m
F t t m F d +=可见t OB 也是与θ无关，所以OD OB t t =，又OB AO t t t +=1，OD CO t t t +=2所以 t 1=t 2 。

如果第三象限内没有电场，两小球在竖直方向受到恒力为重力
G ，同理可得2122OB OB AO t m
G t t m F d +=，t OB 仍与θ无关，两小球那么在☉O 2中管道运动时间仍相同，所以t 1=t 2，因此，正确选项只有B 。

三、复合场中“等时圆〞模型变式练习
1：如图8所示，在一竖直放置的圆环中的4根光滑绝缘细杆AE 、AD 、BF 、BC ，其中，BF 竖直且与AD 相交于圆心O ，夹角为450，AE 与BF 平行，AD 与BC 平行。

在圆环平面内水平向右的匀强电场，四个完全相同的带正电的绝缘小圆环分别套在4根光滑绝缘细杆的A 、B 两点，静止释放，使环分别沿AE 、AD 、BF 、BC 滑到圆周上的E 、D 、F 、C 点，所用时间分别为t 1、t 2、t 3、t 4 ，小圆环受到的重力大小与电场力大小相等，那么t 1、t 2、t 3、t 4 大小关系为〔 〕
A 、t 1>t 2>t 3>t 4
B 、t 1>t 2=t 3>t 4
C 、t 3>t 1=t 2>t 4
D 、t 1=t 2>t 3>t 4
2、在如图9所示，在倾角为θ〔θ小于450〕的斜面上固定有一竖直杆PB ，Ｐ点到斜面C 点距离小于A 点到C 点距离，即PC ＜ＡＣ。

整个装置放在匀强电场中，电场方向水平向左。

现有一光滑绝缘轨道一端放在P 点，另一端放在斜面上，让带正电小球从P 点静止释放，使其沿轨道滑到斜面上，所用时间为ｔ，那么该轨道与PB 夹角β为多少时，ｔ最短？ ，小球在电场中所受电场力大小等于其重力大小。

3、如图10所示，水平向左的匀强电场中，有一竖直圆环，环内有垂直纸面向里的匀强磁场，圆环圆心为O ，半径为R ，直径PQ 与水平面夹角为300，PQ 上有一点M ，MO 长为L 。

现在圆环上找一点N ，在M 、N 两点间架设一条光滑轨道，让一带正电绝缘小滑块从M 点无初速度释放，要使小滑块滑到N 点所用时间最短，那么N 点与圆心O 点连线与PQ 夹角θ的正切值为多少？最短时间t 是多少？带正电小滑块所受重力是其在电场中所受电场力的3倍，重力加速度为g 。

变式练习参考答案：
1、C
提示：AD 是复合场等时圆直径，所以t 1=t 2，AE 与BF 平行，小环加速度相同，但AE 短于BF ，所以t 3>t 1，AD 与BC 平行，小环加速度相同，但AD 长于BC ，所以t 2>t 4〕
2、2
450θβ-=。

提示：如图11所示，重力与电场力合力方向为斜向左
下方，与水平夹角为450，在AC 上选取一点D ，使AD
连线与AC 夹角为450，过P 点作一个圆，使圆心在PD
上且与AB 相切于E 点，在PE 两点安放轨道，可以证
明，让小球从P 点静止释放滑到E 点，时间最短。

由几
何知识可求得2
450θβ-=〕
3、RL L R 2tan 2
2-=θ，Rg L R t )
(322-=
提示：带电小滑块所受洛伦兹力不影响其运动时间，所受重力与电场力合力与竖直方向夹角为300且指向左下方。

如图12所示过M 点画圆，使圆与PQ 相切于M 点，与圆环相切于N 点，圆心为O '，由几何知识可知N 、O '、O 三点在同一直线上。

由几何
知识和动力学知识可求得R L R 2tan 22
-=θ，Rg L R t )
(322-=〕。